Důležité výsledky z funkcionální analýzy patří:
Jednotné omezenost principleEdit
jednotné omezenost principu, nebo–Steinhaus Banachova věta je jedním ze základních výsledků ve funkcionální analýze. Spolu s Hahn-Banachovou větou a větou o otevřeném mapování je považován za jeden ze základních kamenů pole. Ve své základní podobě, tvrdí, že pro rodinu spojitých lineárních operátorů (a tím i vymezené subjekty), jejichž doména je Banachova prostoru, pointwise omezenost je ekvivalentní rovnoměrné omezenost operátor normou.
věta byla poprvé publikována v roce 1927 Stefan Banachova, Hugo Steinhaus, ale to bylo také prokázáno, nezávisle Hans Hahn.
Věta (Princip Jednotné Hranice). Nechť X je Banachův prostor a Y je normovaný vektorový prostor. Předpokládejme, že F je soubor spojitých lineárních operátorů od X do Y. Pokud pro všechny x v X má
sup T ∈ F ‖ T ( x ) ‖ Y < ∞ , {\displaystyle \sup \nolimits _{T\in F}\|T(x)\|_{Y}<\infty ,}
pak
sup T ∈ F ‖ T ‖ B ( X , Y ) < ∞ . {\displaystyle \ sup \nolimits _{T \ in F}\ / T\/ _ {B (X,Y)}<\infty .}
spektrální teoriemeditovat
existuje mnoho vět známých jako spektrální věta, ale zejména jedna má mnoho aplikací ve funkční analýze.
Věta: Nechť A je ohraničená self-adjoint operátor na Hilbertově prostoru H. Potom tam je měřítkem prostoru (X, Σ, μ) a skutečnou hodnotou v podstatě ohraničené měřitelné funkce f na X a unitární operátor U:H → L2µ(X) takové, že
U ∗ T U = {\displaystyle U^{*}TU=\;}
kde T je operátor násobení:
( x ) = f ( x ) φ ( x ) . {\displaystyle (x)=f(x)\varphi (x).\;}
a ‖ T ‖ = ‖ f ‖ ∞ {\displaystyle \|T\|=\|f\|_{\infty }}
To je začátek rozsáhlé výzkumné oblasti funkční analýzy volal provozovatel teorie; viz také spektrální měření.
existuje také analogická spektrální věta pro ohraničené normální operátory na Hilbertových prostorech. Jediný rozdíl v závěru je, že nyní f {\displaystyle f}
může být komplexní.
Hahn-Banach theoremeditovat
Hahn–Banachova věta je ústředním nástrojem ve funkční analýze. To umožňuje rozšíření, ohraničené lineárních funkcionálů definovaných na podprostor nějakého vektorového prostoru, aby celý prostor, a to také ukazuje, že tam jsou „dost“ spojitých lineárních funkcionálů definovaných na každý normovaný vektorový prostor, aby se studium duální prostor „zajímavé“.
Hahn–Banachova věta: je-Li p : V → R je sublinear funkce a φ : U → R je lineární funkční na lineární podprostor U ⊆ V, která je ovládána p na U, tj.
φ ( x ) ≤ p ( x ) ∀ x ∈ U – {\displaystyle \varphi (x)\leq p(x)\qquad \forall x\in U}
pak existuje lineární rozšíření ψ : V → R, φ, aby celý prostor V, tj. existuje lineární funkční ψ takové, že
ψ ( x ) = φ ( x ) ∀ x ∈ U , {\displaystyle \psi (x)=\varphi (x)\qquad \forall x\in U,}
ψ ( x ) ≤ p ( x ) ∀ x ∈ V . {\displaystyle \ psi (x)\leq p (x)\qquad \ forall x \ in v.}
Otevřít mapování theoremEdit
open mapping theorem, také známý jako Banachova–Schauder věta (pojmenované po Stefan Banachova a Juliusz Schauder), je základní výsledek, který uvádí, že pokud spojitý lineární operátor mezi Banachových prostorů je surjektivní, pak je to otevřená mapa. Přesněji:
otevřená věta o mapování. Pokud X a Y jsou Banachovy prostory a A : X → Y je surjektivní spojitý lineární operátor, pak a je otevřená mapa (tj. pokud U je otevřená množina v X, pak A(U) je otevřená v Y).
důkaz používá baireovu větu o kategorii a úplnost X I Y je pro větu zásadní. Výrok věty již není pravdivý, pokud se některý prostor považuje za normovaný prostor, ale je pravdivý, pokud se X a Y považují za fréchetovy prostory.
teorie uzavřeného grafuedit
věta o uzavřeném grafu uvádí následující:Pokud X je topologický prostor a Y je kompaktní Hausdorffův prostor, pak je graf lineární mapy T od X do Y uzavřen, pokud je t spojitý.