astronom Galileo Galilei v jeho Il Saggiatore napsal, že “ je napsána v jazyce matematiky a jeho znaky jsou trojúhelníky, kruhy a jiné geometrické obrazce.“Umělci, kteří se snaží a snaží se studovat přírodu, musí nejprve podle Galilea plně porozumět matematice. Matematici se naopak snažili interpretovat a analyzovat umění optikou geometrie a racionality. Matematik Felipe Cucker naznačuje, že matematika, a to zejména geometrie, je zdrojem pravidel pro „pravidlo-řízený umělecké tvorby“, i když ne jediný. Některé z mnoha pramenů výsledného komplexního vztahu jsou popsány níže.
matematika jako umění
matematik Jerry P. King popisuje matematiku jako umění, o tom, že „klíče k matematice jsou krása a elegance, a ne tupost a technika“, a že krása je motivující silou pro matematický výzkum. Král cituje matematik G. H. Hardyho 1940 esej matematik omluvu. V Tom, Hardy diskutuje, proč najde dvě věty klasických časů jako první rychlost, jmenovitě euclidův důkaz existuje nekonečně mnoho prvočísel, a důkaz, že druhá odmocnina z 2 je iracionální. King hodnotí toto poslední proti Hardyho kritériím matematické elegance: „vážnost, hloubka, obecnost, neočekávanost, nevyhnutelnost a ekonomika“ (Králova kurzíva) a popisuje důkaz jako „esteticky příjemný“. Maďarský matematik Paul Erdős souhlasil s tím, že matematika má krásu, ale důvody považoval za nevysvětlitelné: „proč jsou čísla krásná? Je to jako ptát se, proč je Beethovenova devátá symfonie krásná. Pokud nevidíte proč, někdo vám to nemůže říct. Vím, že čísla jsou krásná.“
matematické nástroje pro artEdit
matematiku lze rozeznat v mnoha uměních, jako je hudba, tanec, malba, architektura a sochařství. Každá z nich je bohatě spojena s matematikou. Mezi připojení k výtvarnému umění, matematika může poskytnout nástroje pro umělce, jako jsou pravidla lineární perspektivy, jak to popsal Brook Taylor a Johann Lambert, nebo metody deskriptivní geometrie, nyní aplikovány v software modelování těles, sahající až Albrecht Dürer a Gaspard Monge. Umělci z Luca Pacioli ve Středověku a Leonardo da Vinci a Albrecht Dürer v Renesanci využili a rozvíjet matematické představy, ve snaze o jejich umělecké práci. Použití perspektivy začal, i přes některé embryonální použití v architektuře Starověkého Řecka, s italskými malíři, jako Giotto v 13. století; pravidla jako úběžník byly poprvé formulovány Brunelleschim v o 1413, jeho teorie, které ovlivňují Leonardo a Dürer. Práce Isaaca Newtona na optickém spektru ovlivnila Goethovu teorii barev a následně umělce jako Philipp Otto Runge, J. M. W. Turner, Prerafaelité a Wassily Kandinsky. Umělci se také mohou rozhodnout analyzovat symetrii scény. Nástroje mohou být aplikovány matematici, kteří zkoumají umění, nebo umělci inspirované matematiky, jako jsou M. C. Escher (inspirován H. S. M. Coxeter) a architekt Frank Gehry, který ještě slabě tvrdil, že computer aided design mu umožnily vyjádřit sám sebe ve zcela novým způsobem.
umělec Richard Wright tvrdí, že matematické objekty, které mohou být konstruovány může být viděn buď „jako procesy simulovat jevy“ nebo jako „počítačové umění“. Zvažuje povahu matematického myšlení a pozoruje, že fraktály byly matematikům známy po celé století, než byly jako takové uznány. Wright uzavírá konstatováním, že je vhodné podrobit matematické objekty, aby všechny metody použité k „vyrovnat se s kulturní artefakty jako umění, napětí mezi objektivitou a subjektivitou, jejich metaforické významy a charakter reprezentační systémy.“On dává jako instance obrázek z Mandelbrot set, obraz, generovaný buněčný automat algoritmus, a počítač-vykreslení obrazu, a popisuje, s odkazem na Turingův test, zda algoritmické produkty mohou být umění. Sasho Kalajdzievski ‚ s Math and Art: Úvod do Vizuální Matematiky vyžaduje podobný přístup, při pohledu na vhodně vizuální matematiky témata, jako jsou dlažby, fraktály a hyperbolické geometrie.
Některé z prvních děl, počítačového umění byly vytvořeny Desmond Paul Henry je „Kreslení Stroj 1“, analog stroje založené na zaměřovač počítači a vystavoval v roce 1962. Stroj byl schopen vytvářet složité, abstraktní,asymetrické, křivočaré, ale opakující se čáry. Více nedávno, Hamid Naderi Yeganeh vytvořil sugestivní tvary z reálného světa objektů, jako jsou ryby a ptáci, pomocí vzorců, které jsou postupně měnit tak, aby čerpat rodiny křivky nebo lomené čáry. Umělci jako Mikael Hvidtfeldt Christensen vytvořit pracuje generativní nebo algoritmické umění psaní skriptů pro software systému, jako je například Struktura Synth: umělec efektivně řídí systém aplikovat požadovanou kombinaci matematických operací do zvoleného souboru údajů.
-
Matematické socha Bathsheba Grossman, 2007
-
Fractal sochařství: 3D Fraktal 03/H/dd o Hartmut Skerbisch, 2003
-
Fibonacciho slovo: detail kresby Samuel Monnier, 2009
-
Počítačové umění obraz produkován Desmond Paul Henry je „Kreslení Stroj 1“, vystavoval 1962
-
Pták v Letu, Hamid Naderi Yeganeh, 2016, vyrobeno s rodinou matematické křivky.
Od matematiky k artEdit
matematik a teoretický fyzik Henri Poincaré je Věda a Hypotéza byla široce číst Kubistů, včetně Pablo Picasso a Jean Metzinger. Byl důkladně obeznámen s Bernhard Riemann práce na non-Euklidovský geometrie, Poincaré byl více než vědom toho, že Euklidovský geometrie je jen jedním z mnoha možných geometrických konfigurací, spíše než jako absolutní objektivní pravdy. Možná existence čtvrté dimenze inspirovala umělce k otázce klasické renesanční perspektivy: neeuklidovská geometrie se stala platnou alternativou. Koncept, že malba může být vyjádřena matematicky, v barvě a formě, přispěl ke kubismu, uměleckému hnutí, které vedlo k abstraktnímu umění. Metzinger v roce 1910 napsal, že: „stanoví volnou, mobilní perspektivu, ze které tento geniální matematik Maurice Princet odvodil celou geometrii“. Později, Metzinger napsal ve svých pamětech:
Maurice Princet k nám často … jako umělec pojal matematiku, jako Estetik se dovolával n-dimenzionálních kontinuí. Miloval, aby se umělci zajímali o nové pohledy na prostor, který Schlegel a někteří další otevřeli. V tom se mu to podařilo.
impuls k vytváření výukových nebo výzkumných modelů matematických forem přirozeně vytváří objekty, které mají symetrie a překvapivé nebo příjemné tvary. Některé z nich inspirovaly umělce, jako jsou dadaisté Man Ray, Marcel Duchamp a Max Ernst, A po Man Rayovi Hiroshi Sugimoto.
Man Ray fotografoval některé z matematických modelů v Institutu Henri Poincaré v Paříži, včetně Objet mathematique (Matematický objekt). Poznamenal, že to představovalo enneper povrchy s konstantním negativním zakřivením, odvozené od pseudo-koule. Tento matematický základ byl pro něj důležitý, protože mu umožnil popřít, že objekt byl „abstraktní“, místo toho tvrdil, že je stejně skutečný jako pisoár, který Duchamp udělal do uměleckého díla. Man Ray připustil, že vzorec objektu “ pro mě nic neznamenal, ale samotné formy byly stejně rozmanité a autentické jako kterékoli jiné povahy.“Použil své fotografie matematických modelů jako postavy ve své sérii, kterou udělal na Shakespearových hrách, jako je jeho obraz Antony a Kleopatra z roku 1934. Umění reportér Jonathan Keats, psaní v ForbesLife, tvrdí, že Man Ray fotografoval „eliptický paraboloids a kuželové body ve stejné smyslné světla, jako jeho fotky, Kiki de Montparnasse“, a „geniálně repurposes chladné výpočty z matematiky, odhalit topologie touhy“. Sochaři dvacátého století jako Henry Moore, Barbara Hepworth a Naum Gabo se inspirovali matematickými modely. Moore o své strunné matce a dítěti z roku 1938 napsal: „zdrojem mých strunných postav bylo nepochybně Muzeum vědy … Fascinovaly mě matematické modely, které jsem tam viděl … Nebyla to vědecká studie těchto modelů, ale schopnost dívat se skrz struny jako s ptačí klecí a vidět jednu formu v jiné, která mě nadchla.“
umělci Theo van Doesburg a Piet Mondrian založil hnutí De Stijl, které chtějí „vytvořit vizuální slovník složené z elementárních geometrických forem srozumitelné a použitelné pro všechny disciplíny“. Mnoho z jejich děl viditelně sestává z ovládaných čtverců a trojúhelníků, někdy také s kruhy. De Stijl umělci pracovali v malbě, nábytku, interiérovém designu a architektuře. Po rozpadu De Stijl Van Doesburg založil Avant-garde Art Concret hnutí, popisují jeho letech 1929-1930 Aritmetický Složení, série čtyř černé čtverečky na diagonále a na druhou pozadí, jako „strukturu, která může být řízena, definitivní povrch bez šance prvky nebo jednotlivé caprice“, ale „není chybí v duchu, nechybí univerzální a není … prázdné, protože je vše, co odpovídá vnitřnímu rytmu“. Umělecká kritička Gladys Fabre poznamenává, že v obraze pracují dva pokroky, a to rostoucí černé čtverce a střídající se pozadí.
matematika teselace, mnohostěn, tvarování prostoru, a self-reference za předpokladu, grafik M. C. Escher (1898-1972) s doživotní stojí za materiály pro jeho dřevoryty. V náčrtu Alhambra Escher ukázal, že umění lze vytvořit pomocí polygonů nebo pravidelných tvarů, jako jsou trojúhelníky, čtverce a šestiúhelníky. Escher používal nepravidelné mnohoúhelníky při obkládání roviny a často používal odrazy, klouzavé odrazy a překlady k získání dalších vzorů. Mnoho z jeho prací obsahují nemožné konstrukcí, vyrobený pomocí geometrických objektů, které nastavit rozpor mezi perspektivní promítání a tři rozměry, ale jsou příjemné pro lidský zrak. Escher Vzestupně a Sestupně je založen na „nemožné schody“, vytvořený lékařský vědec Lionel Penrose a jeho syn matematik Roger Penrose.
některé z mnoha Escherových kreseb byly inspirovány rozhovory s matematikem h. S. M. Coxeterem o hyperbolické geometrii. Escher se zvláště zajímal o pět specifických polyhedrů, které se v jeho díle mnohokrát objevují. Platonické pevné látky—čtyřstěny, krychle, octahedrons, dodecahedrons a mnohostěny—jsou obzvláště prominentní v pořádku a Chaosu a Čtyři Pravidelných Těles. Tyto hvězdicovité postavy se často nacházejí v jiném obrázku, který dále zkresluje pozorovací úhel a konformaci mnohostěnů a poskytuje mnohostrannou perspektivní kresbu.
vizuální složitost matematických struktur, jako jsou teselace a polyhedra, inspirovala řadu matematických uměleckých děl. Stewart Rakev dělá polyedrické hádanky ve vzácné a krásné lesy; George W. Hart pracuje na teorii mnohostěnů a modeluje objekty inspirované nich; Magnus baywa ag unterfranken dělá „obzvláště krásné“ modely komplexních stellated mnohostěn.
zkreslené perspektivy anamorfóza byly prozkoumány v umění od šestnáctého století, kdy Hans Holbein Mladší začleněna silně zkreslený lebku v jeho 1533 malování Velvyslanců. Mnoho umělců od té doby, včetně Eschera, využili anamorfní triky.
matematika topologie inspirovala několik umělců v moderní době. Sochař John Robinson (1935-2007) vytvořil díla jako Gordian Knot A Bands of Friendship, zobrazující teorii uzlů v leštěném bronzu. Další práce Robinsona zkoumají topologii torusů. Genesis je založena na Boromejské kroužky – sada tři kruhy, dva z nich odkaz, ale v které celou strukturu nelze rozebrat bez porušení. Sochař Helaman Ferguson vytváří složité povrchy a další topologické objekty. Jeho práce jsou vizuální reprezentace matematických objektů; osminásobný způsob je založen na projektivní speciální lineární skupině PSL (2,7), konečné skupině 168 prvků. Sochařka Bathsheba Grossman podobně zakládá svou práci na matematických strukturách. Umělec Nelson Saiers obsahuje matematické pojmy a věty v jeho umění z toposes a systémy na čtyři barvy věta a iracionality π.
projekt svobodných umění zkoumá souvislosti mezi matematikou a uměním prostřednictvím möbiova pásu, flexagonů, origami a panoramatické fotografie.
matematické objekty včetně lorenzova potrubí a hyperbolické roviny byly vytvořeny pomocí vláknitého umění včetně háčkování. Americká tkalkyně Ada Dietz napsala monografii Algebraické výrazy v ručně tkaných textiliích z roku 1949, definující vzory tkaní založené na expanzi vícerozměrných polynomů. Matematička Daina Taimiņa předvedla vlastnosti hyperbolické roviny háčkováním v roce 2001. To vedlo Margaret a Christine Wertheim na háčkování coral reef, který se skládá z mnoha mořských živočichů, jako jsou nudibranchs, jejichž tvary jsou založeny na hyperbolické roviny. Matematik J. C. P. Miller použil buněčný automat Rule 90 k návrhu tapisérií zobrazujících jak stromy, tak abstraktní vzory trojúhelníků. „Mathekniticians“ Pat Ashforth a Steve Plummer použití pletené verze matematických objektů, jako jsou hexaflexagony v jejich učení, i když jejich Mengerova houba ukázala jako příliš problematické pletená a je vyrobena z plastu plátno místo. Jejich projekt“ mathghans “ (Afghánci pro školy) zavedl pletení do britských učebních osnov matematiky a technologie.
-
čtyřrozměrný prostor ke kubismu: Esprit Jouffret je 1903 Traité élémentaire de géométrie à quatre dimensions.
-
De Stijl: Theo van Doesburg geometrické Složení já (still Life), 1916
-
Pedagogika umění: Magnus baywa ag unterfranken s některými z jeho stellated mnohostěn, 2009
-
möbiova páska v háčkování šátek, 2007
-
Anamorphism: Velvyslanci Hans Holbein Mladší, 1533, se silně zkreslený lebku v popředí
-
Háčkované korálový útes: mnoho zvířat modelovaných jako hyperbolická letadla s různými parametry Margaret a Christine Wertheim. Föhr Útes, Tübingen, 2013
Ilustrující mathematicsEdit
Modelování není zdaleka jediným možným způsobem, jak ilustrovat matematické pojmy. Giotto Stefaneschi Triptych, 1320, ilustruje rekurze v podobě mise en abyme, centrální panel z triptychu obsahuje, dolní levý, klečící postava Kardinál Stefaneschi, drží triptych jako oběť. Giorgio de Chirico je metafyzické malby jako jeho 1917 Velký Metafyzický Interiér prozkoumat otázku úrovně reprezentace v umění zobrazující obrazy v jeho obrazech.
umění může být příkladem logických paradoxů, jako v některých obrazech surrealisty René Magritte, které lze číst jako sémiotické vtipy o záměně mezi úrovněmi. V La condition humaine (1933) zobrazuje Magritte stojan (na skutečném plátně), který plynule podporuje pohled oknem, které je v obraze orámováno „skutečnými“ závěsy. Podobně Escherova tisková Galerie (1956) je tisk, který zobrazuje zkreslené město, které obsahuje galerii, která rekurzivně obsahuje obraz, a tak ad infinitum. Magritte využila koulí a kvádrů na hospodářskou realitu jiným způsobem, malování je vedle sortiment domy v jeho 1931 Mentální Aritmetika, jako kdyby byly dětské stavební bloky, ale dům o velikosti. The Guardian poznamenal, že „děsivý obraz toytown“ prorokoval uzurpaci modernismu „útulných tradičních forem“, ale také si hraje s lidskou tendencí hledat vzory v přírodě.
Salvador Dalí je poslední obraz, vlaštovčí Ocas (1983), byl součástí série inspirované René thomova teorie katastrof. Španělský malíř a sochař Pablo Palazuelo (1916-2007) se zaměřil na zkoumání formy. Vyvinul styl, který popsal jako geometrii života a geometrii veškeré přírody. Skládající se z jednoduchých geometrických tvarů s podrobnými vzorování a zbarvení, v dílech jako Úhlové jsem a Automnes, Palazuelo se vyjádřil v geometrické transformace.
umělec Adrian Šedé postupy kámen vyrovnávání, využití tření a těžiště vytvořit výrazný a zdánlivě nemožné skladby.
Umělci, nicméně, ne nutně vzít geometrie doslova. Jako Douglas Hofstadter píše ve svém 1980 reflexe na lidské myšlení, Gödel, Escher, Bach, prostřednictvím (mimo jiné) matematika umění: „rozdíl mezi Escher kreslení a non-Euklidovský geometrie je, že v druhém, srozumitelné výklady lze nalézt za nedefinované podmínky, což má za následek srozumitelné celkový systém, vzhledem k tomu, že pro bývalý, konečný výsledek není slučitelný s pojetím světa, bez ohledu na to, jak dlouho zírá na fotky.“Hofstadter pojednává o zdánlivě paradoxní litografické galerii M. C. Eschera; zobrazuje přímořské město obsahující uměleckou galerii, která jako by obsahovala obraz přímořského města, tam je „podivná smyčka, nebo zamotaná hierarchie“ na úrovně reality v obraze. Sám umělec, jak Hofstadter poznamenává, není vidět; jeho realita a vztah k litografii nejsou paradoxní. Obraz je centrální void má také přitahovalo zájem matematiků Bart de Smit a Hendrik Lenstra, kteří navrhují, že by to mohlo obsahovat Droste efekt kopii sebe sama, otáčet, a zmenšil se; tohle by mohla být další ilustraci rekurze mimo to poznamenal Hofstadter.
analýza dějin uměníEditovat
algoritmická analýza obrazů uměleckých děl, například pomocí rentgenové fluorescenční spektroskopie, může odhalit informace o umění. Takové techniky mohou odhalit obrázky ve vrstvách barvy později zakryty umělec; pomoc historiků umění k vizualizaci uměleckého díla před tím, než popraskané nebo vybledlé; pomoc říct kopii z originálu, nebo rozlišit kresebný styl mistra z jeho učňů.
Jackson Pollock je odkapávací malba má určitou fraktální dimenze; mezi umělci, kteří mohou mít vliv Pollock je řízený chaos, Max Ernst malované Lissajousovy obrazce přímo do kyvné děravého kbelíku malovat na plátno.
počítačový vědec Neil Dodgson prošetřit, zda Bridget Riley stripe obrazy lze popsat matematicky, k závěru, že zatímco vzdálenost může „poskytnout některé charakterizace“ a globální entropie pracoval na nějaké obrazy, autokorelace selhal jako je Riley vzory byly nepravidelné. Místní entropie fungovala nejlépe a dobře korelovala s popisem uměleckého kritika Roberta Kudielky.
estetická míra amerického matematika George Birkhoffa z roku 1933 navrhuje kvantitativní metriku estetické kvality uměleckého díla. Nesnaží se měřit konotace díla, jako je to, co by obraz mohl znamenat, ale je omezen na „prvky řádu“ polygonální postavy. Birkhoff první kombinuje (v součtu) pět takových prvků: zda je vertikální osy symetrie; zda je optické rovnováhy; kolik rotační symetrie má; jak tapety-jako postava je, a zda tam jsou neuspokojivé vlastnosti jako mají dva vrcholy příliš blízko u sebe. Tato metrika, O, má hodnotu mezi -3 a 7. Druhá metrika, C, počítá prvky obrázku, což je pro mnohoúhelník počet různých přímek obsahujících alespoň jednu z jeho stran. Birkhoff pak definuje své estetické měřítko objektu krásu jako O/C. Toto může být interpretováno jako rovnováhu mezi potěšením pohledu na objekt, který dává, a množství úsilí potřebné, aby se to. Birkhoffův návrh byl kritizován různými způsoby, v neposlední řadě za to, že se snažil dát krásu do vzorce, ale nikdy netvrdil, že to udělal.
podněty k matematickému výzkumueditovat
Umění má někdy stimulován rozvoj matematiky, jako když Brunelleschi teorie perspektivy v architektuře a malířství začal cyklus výzkumu, který vedl k práci Brook Taylor a Johann Heinrich Lambert na matematické základy perspektivního kreslení, a nakonec matematiky projektivní geometrie Girard Desargues a Jean-Victor Poncelet.
Japonské papírové skládací umění origami byl přepracován matematicky Tomoko Fusé pomocí modulů, shodné kousky papíru, jako jsou čtverce, a dělat je do polyhedra nebo dlažby. Skládání papíru použil v roce 1893 T. Sundara Rao ve svých geometrických cvičeních ve skládání papíru k prokázání geometrických důkazů. Matematika skládání papíru byla zkoumána v maekawově větě, Kawasakiho větě a axiomech Huzita-Hatori.
-
stimul k projektivní geometrii: Albertiho diagram ukazující kruh viděný v perspektivě jako elipsa. Della Pittura, 1435-6
-
Matematické origami: na Jaře Do Akce, Jeff Beynon, vyrobené z jednoho papíru obdélník.
Iluze na Op artEdit
Optické iluze jako Fraser spirála nápadně ukazují omezení v lidské vizuální vnímání, vytváří to, co historik umění Ernst Gombrich nazývá „nepochopitelný trik.“Černá a bílá lana, která vypadají, že tvoří spirály, jsou ve skutečnosti soustředné kruhy. V polovině dvacátého století, Op-art nebo optické umění styl malby a grafiky využívány tyto účinky vytvořit dojem pohybu a blikající nebo vibrační vzory viděl v práci umělců jako Bridget Riley, Spyros Horemis, a Victor Vasarely.
Posvátné geometryEdit
pramen umění od Starověkého Řecka a dále vidí Boha jako geometr na světě, a svět je geometrie tedy jako posvátné. Víra, že Bůh stvořil vesmír podle geometrického plánu, má starodávný původ. Plútarchos připisoval víru Platónovi a napsal, že „Platón řekl, že Bůh neustále geometrizuje“ (Convivialium disputationum, liber 8,2). Tento obraz ovlivnil západní myšlení od té doby. Platónské pojetí odvozené ve svém tahu z Pythagorejské představy o harmonii v hudbě, kde poznámky byly rozmístěny v dokonalé proporce, odpovídající délky struny lyry; vskutku, Pythagoreans rozhodl, že vše bylo uspořádáno podle Počtu. Stejně tak, v platonickém myšlení, pravidelné nebo platonické pevné látky diktují proporce nalezené v přírodě a v umění. Osvětlení ve 13. století Codex Vindobonensis ukazuje Bůh čerpání z vesmíru s kružítko, což může odkazovat se na jeden verš ve Starém Zákoně: „Když založil nebesa, byla jsem tam: když mu nastavit kompas na tváři hluboké“ (Přísloví 8:27), . V roce 1596 matematický astronom Johannes Kepler modeloval vesmír jako soubor vnořených platonických pevných látek a určoval relativní velikosti oběžných drah planet. William Blake Dávných Dnů (zobrazující Urizen, Blake je ztělesněním rozumu a práva) a jeho obraz fyzik Isaac Newton, nahá, shrbená a kreslení s kompasem, používat symboliku kružítka na kritiku konvenční rozum a materialismus jako úzkoprsý.Ukřižování Salvadora Dalího z roku 1954 (Corpus Hypercubus) zobrazuje kříž jako hypercube, představující božskou perspektivu spíše se čtyřmi rozměry než obvyklými třemi. V Dalího svátosti Poslední večeře (1955) je Kristus a jeho učedníci vyobrazeni uvnitř Obřího dodecahedronu.
-
Bůh geometer. Codex Vindobonensis, c. 1220
-
stvoření, s ložiskem Pantocrator . Bible, St. Louis, c. 1220-40
-
Johannes Kepler je Platonické pevné model planetární vzdálenost ve sluneční soustavě z Mysterium Cosmographicum, 1596
-
William Blake je starý Dnů, 1794
-
William Blake je Newton, c. 1800