vysokoškolský profesor chce porovnat skóre svých studentů s celostátním průměrem. Vybere si jednoduchý náhodný vzorek (SRS) 20 studentů, kteří na standardizovaném testu získají v průměru 50,2. Jejich skóre má směrodatnou odchylku 2,5. Celostátní průměr testu je 60. Chce vědět, zda její studenti skórovali výrazně níže, než je celostátní průměr.
testy významnosti se provádějí v několika krocích.
krok 1Edit
nejprve uveďte problém z hlediska distribuce a určete parametry, které Vás zajímají. Uveďte vzorek. Budeme předpokládat, že skóre (X) studentů na profesora třídy jsou přibližně normální rozdělení s neznámými parametry μ a σ
Krok 2Edit
Státní hypotéz v symboly a slova.
H O : μ = 60 {\displaystyle H_{O}:\quad \mu =60}
nulová hypotéza je, že její studenti skóroval na stejné úrovni s celostátním průměrem.
H A : μ < 60 {\displaystyle H_{A}:\quad \mu <60}
alternativní hypotéza je, že její studenti skóroval nižší, než je celostátní průměr.
krok 3editovat
Zadruhé určete test, který má být použit. Protože máme SRS malé velikosti a neznáme směrodatnou odchylku populace, použijeme t-test s jedním vzorkem.
vzorec pro T-statistický T pro test s jedním vzorkem je následující:
T = X − 60 S / 20 {\displaystyle T={\frac {{\overline {X}}-60}{Y/{\sqrt {20}}}}}
kde X {\displaystyle {\overline {X}}}
je výběrový průměr a S je výběrová směrodatná odchylka.
poměrně častou chybou je říci, že vzorec pro statistiku t-testu je:
T = x − μ s / n {\displaystyle T={\frac {{\overline {x}}-\mu }{y/{\sqrt {n}}}}}
To není statistika, protože μ je neznámý, což je zásadní bod v takový problém. Většina lidí si toho ani nevšimne. Dalším problémem tohoto vzorce je použití x a s. Je třeba je považovat za vzorové statistiky a ne za jejich hodnoty.
správný obecný vzorec je:
T = X − c S / n {\displaystyle T={\frac {{\overline {X}}-c}{S/{\sqrt {n}}}}}
ve kterém c je hypotetická hodnota μ zadaný nulovou hypotézu.
(směrodatná odchylka vzorku dělená druhou odmocninou velikosti vzorku je známá jako „standardní chyba“ vzorku.)
krok 4Edit
uveďte rozdělení statistiky testu podle nulové hypotézy. Podle H0 statistika T bude následovat studentova rozdělení s 19 stupňů volnosti: T ∼ τ ⋅ ( 20 − 1 ) {\displaystyle T\sim \tau \cdot (20-1)}
.
Krok 5Edit
Výpočet pozorované hodnoty t testovací statistika T, zadáním hodnoty, a to následovně:
t = x − 60 s / 20 = 50.2 − 60.0 2.5 / 20 = − 9.8 2.5 / 4.47 = − 9.8 0.559 = − 17.5 {\displaystyle t={\frac {{\overline {x}}-60}{y/{\sqrt {20}}}}={\frac {50.2-60.0}{2.5/{\sqrt {20}}}}={\frac {-9.8}{2.5/4.47}}={\frac {-9.8}{0.559}}=-17.5}
Krok 6Edit
Určit tzv. p-hodnota hodnota t je testovací statistika T odmítneme nulovou hypotézu pro příliš malé hodnoty T, takže jsme spočítali levé p-hodnota:
p-hodnota = P ( T ≤ t, H 0 ) = P ( T ( 19 ) ≤ − 17.5 ) ≈ 0 {\displaystyle =P(T\leq t;H_{0})=P(T(19)\leq -17.5)\approx 0}
Student je distribuce dává T ( 19 ) = 1.729 {\displaystyle T(19)=1.729}
na pravděpodobnost 0.95 a stupňů volnosti, 19. Hodnota p je aproximována na 1,777 e-13.
krok 7Edit
nakonec interpretujte výsledky v kontextu problému. Hodnota p naznačuje, že výsledky se téměř jistě nestaly náhodou a máme dostatečné důkazy k odmítnutí nulové hypotézy. Profesorovi studenti získali výrazně nižší skóre, než je celostátní průměr.