Výchylkového napětí a invarianty
přidal: Pantelis Liolios | Září. 16, 2020
tenzor napětí lze vyjádřit jako součet dvou napětí tenzory, a to: hydrostatický tenzor napětí a deformace tenzor napětí. V tomto článku definujeme hydrostatickou a deviatorickou část tenzoru napětí a vypočítáme invarianty tenzoru deviatoru napětí. Invarianty deviatorického napětí se často používají v kritériích selhání.
zvažte tenzor napětí \ (\sigma_{ij} \) působící na tělo. Stresované tělo má tendenci měnit jak svůj objem, tak svůj tvar. Část tenzoru napětí, která má tendenci měnit objem těla, se nazývá střední tenzor hydrostatického napětí nebo tenzor objemového napětí. Část, která má tendenci deformovat tělo, se nazývá tenzor deviatoru stresu. Tenzor napětí tedy může být vyjádřen jako:
kde \( \delta_{ij} \) je Kroneckerovo delta (\( \delta_{ij}=1 \), jestliže \( i=j \) a \( \delta_{ij}=0 \), jestliže \( i\neq j \) ), \( p \) je střední napětí dána:
kde \( I_{1} \) je první invariant pro tenzor napětí (viz také: Hlavní napětí a stres invarianty). Produkt \ (p \ delta_{ij} \) je tenzor hydrostatického napětí a obsahuje pouze normální napětí. Výchylkového napětí tenzor lze získat odečtením hydrostatické napětí tenzor z tenzoru:
aby bylo možné vypočítat invarianty napětí odchylujícího tenzor budeme sledovat stejný postup použitý v čl. Hlavní napětí a stres invarianty. Je třeba zmínit, že hlavní směry tenzoru deviatoru napětí se shodují s hlavními směry tenzoru napětí. Charakteristická rovnice pro \ (s_{ij} \) je:
kde \( J_{1} \), \( J_{2} \) a \( J_{3} \) jsou první, druhý a třetí výchylkového invarianty, resp. Kořeny polynomu jsou tři hlavní deformace zdůrazňuje, \ ( s_{1} \), \( s_{2} \) a \( s_{3} \). \ (J_{1} \), \ (J_{2} \) a \ (J_{3} \) lze vypočítat pomocí následujících výrazů:
kde \( I_{1} \), \( I_{2} \) a \( I_{3} \) jsou tři invarianty tenzoru a \( \det(s_{ij}) \) je determinant \( s_{ij} \). Je třeba zmínit, že od \ (J_{1}=s_{kk}=0 \) popisuje tenzor deviatoru napětí stav čistého střihu.
Příklad
Spočítat napětí odchylujícího tenzor a jeho invarianty pro následující tenzor napětí:
Ukázat řešení…
za Prvé můžeme vypočítat střední tlak \( p \):
Z rovnice (3) můžeme vypočítat napětí tenzor odchylujícího:
Pro stres odchylujícího se tenzorové invarianty, použijeme rovnic (5) a dostaneme:
Konečně charakteristické rovnice je:
Kategorie: algebra| vlastních čísel| invarianty| mechanika| tenzory