02. Unsicherheitsanalyse - Chemie 105 Laborhandbuch

Das Endergebnis eines chemischen Experiments, z. B. der Wert von ΔH für eine bestimmte Reaktion oder der Durchschnitt mehrerer Molaritäten, der aus einer Säure-Base-Titration erhalten wird, wird häufig aus mehreren verschiedenen Messwerten berechnet. Die Unsicherheit des Ergebnisses wird durch die Unsicherheit jeder einzelnen Messung beeinflusst. Angenommen, man findet die Dichte (Masse/Volumen) eines Metallstücks, indem man es auf einer Analysenwaage wägt (Massenunsicherheit ± 0.0001 g) und bestimmte sein Volumen durch das verdrängte Wasser in einem Messzylinder (Volumenunsicherheit ± 0,5 ml). Der Fehler oder die Unsicherheit in der berechneten Dichte muss die Fehler aus beiden Messungen enthalten, und daher müssen wir lernen, unsere Fehler durch eine Berechnung zusammenzufassen, um unsere endgültige Antwort mit einem angemessenen Unsicherheits- / Fehlerwert melden zu können. Unsicherheitsanalyse (auch bekannt als Fehlerausbreitung) ist der Prozess der Berechnung der Unsicherheit eines Wertes, der aus mehreren Messgrößen berechnet wurde. Die Unsicherheitsanalyse unterliegt einigen einfachen Regeln. Wir werden die Regeln ohne ihre auf Differentialrechnung basierenden Ableitungen vorstellen. Einige praktische Probleme werden am Ende dieses Abschnitts gegeben. Bevor Sie beginnen, lesen Sie unbedingt die Zusammenfassung der wesentlichen Kennzahlen in den Anhängen des Laborhandbuchs.

Unsicherheit (auch bekannt als Fehler)

Unsicherheit wird auch als „Fehler“ bezeichnet.“ Jeder gemessene oder berechnete Wert hat eine gewisse Unsicherheit im gemeldeten Wert. Dies bezieht sich nicht auf Fehler, sondern auf unvermeidbare Fehler aufgrund der Art des Experiments. Wenn Sie beispielsweise die Breite einer Traube mit einem Lineal messen, geben Sie möglicherweise einen Wert von 12,3 mm an, aber in dieser letzten Ziffer wäre definitiv ein Fehler enthalten. Mit den Häkchen auf dem Lineal haben Sie den letzten Wert in Ihrer Messung geschätzt, daher ist mit Ihrer letzten Ziffer in einer Messung eine Unsicherheit verbunden.

Alle Unsicherheiten werden mit 1 signifikanten Zahl angegeben. Der gemeldete Wert sollte dann auf dieselbe Ziffer wie die Unsicherheit gerundet werden. Wenn Sie Unsicherheiten kennen, sollten die signifikanten Zahlen des gemeldeten Werts eher durch die Unsicherheit als durch Standard-Sig-Fig-Regeln bestimmt werden.

Es ist auch wichtig, dass Sie in Ihren Unsicherheitsberechnungen mehrere signifikante Zahlen verwenden, um eine genaue Darstellung Ihrer Gesamtunsicherheit zu erhalten. Wenn Sie eine Reihe von Berechnungen durchführen, behalten Sie alle Ziffern in Ihren Berechnungen bei, bis Sie ALLE Berechnungen abgeschlossen haben. Runden Sie Ihre „letzte Unsicherheit“ nur auf eine signifikante Zahl ab.

Geben Sie alle endgültig berechneten Antworten mit ihrer gerundeten absoluten Unsicherheit an, nicht mit ihrer relativen Unsicherheit.

Es gibt zwei Möglichkeiten, Unsicherheit darzustellen:

Absolute Unsicherheit (AU) ist ein Maß für die Unsicherheit mit den gleichen Einheiten wie der gemeldete Wert. Zum Beispiel beträgt die Breite der Traube 12,3 ± 0,2 mm, wobei 0,2 mm die AU ist.
Relative Unsicherheit (RU) stellt AU als Bruchteil (oder Prozentsatz) dar. Hinweis: Verwenden Sie Bruch während der Berechnungen.

Zum Beispiel 0,2 mm / 12,3 mm = 0,02 (2%). Die Breite der Traube beträgt 12,3 mm ± 0,02, wobei 0.02 (2%) ist die RU.

Absolute Unsicherheit (AU)

Eine Messgröße wird oft mit Unsicherheit angegeben. Absolute Unsicherheit ist die Unsicherheit in den gleichen Einheiten wie die Messung:

meas = (23,27 ± 0,01) g

wobei 0,01 g die absolute Unsicherheit ist.

Es gibt zwei Hauptbeiträge zur absoluten Unsicherheit: Genauigkeit und Präzision.

Genauigkeit (systematischer Fehler)

Systematischer Fehler wird manchmal für bestimmte Instrumente gemeldet. Beispielsweise beanspruchen Nonius-Temperaturfühler eine Genauigkeit innerhalb von 0,03 º C. Dies bedeutet, dass für jeden spezifischen Temperaturfühler ein systematischer Fehler von bis zu 0,03 º C auftreten kann. In ähnlicher Weise sind Analysenwaagen auf 0,0001 g genau.

Präzision (Reproduzierbarkeitsfehler)

Reproduzierbarkeitsfehler wird in erster Linie auf zwei verschiedene Arten bestimmt:

Fähigkeit, ein Instrument zu lesen. Wenn Sie beispielsweise ein Lineal verwenden, das in cm unterteilt ist, können Sie möglicherweise feststellen, dass ein Draht zwischen 9, 2 und 9, 6 cm lang ist. Dies könnte 9,4 ± 0,2 cm geschrieben werden. Indem Sie Ihre Fähigkeit schätzen, das Lineal zu lesen, können Sie die absolute Unsicherheit abschätzen. In diesem Fall beträgt der Reproduzierbarkeitsfehler ± 0,2 cm. Wenn Sie alternativ eine Analysenwaage verwenden und die Zehntausendstelstelle zwischen 1 und 5 schwankt, beträgt der Reproduzierbarkeitsfehler ± 0,0002 g.

Mehrere Messungen. Wenn mehrere Messungen gemittelt werden, kann der Reproduzierbarkeitsfehler durch die Standardabweichung der Messungen angenähert werden.

Die meiste Zeit werden wir es nur mit Reproduzierbarkeitsunsicherheit zu tun haben. Wenn wir jedoch beide kennen, wird AU berechnet:

AU = systematischer Fehler + Reproduzierbarkeitsunsicherheit

Bei der oben genannten Analysenwaage:

AU = 0,0001 g + 0,0002 g = 0,0003g

Anmerkungen:

Dies sind positive Werte mit einer signifikanten Zahl.
Kann Einheiten haben, wenn der zugeordnete Wert Einheiten hat.

Relative Unsicherheit (RU)

Die relative Unsicherheit ist ein Bruchteil. Wenn Sie einen Bleistift mit 10 cm ± 1 cm messen, beträgt die relative Unsicherheit ein Zehntel seiner Länge (RU = 0,1 oder 10%). RU ist einfach die absolute Unsicherheit geteilt durch den gemessenen Wert. Es wird als Bruchteil (oder Prozent) angegeben):

$relative Unsicherheitsgleichung$

Für das unter AU angegebene Beispiel:

meas = (23,27 ± 0,01) g

AU = 0,01 g

Anmerkungen:

RUs werden typischerweise als unitless Fraktionen berichtet, doch wie bei jedem Bruch, es ist auch ein Prozentsatz.
RUs haben keine Einheiten.
RU × „meas“ = AU, wenn Sie jemals von RU zurück nach AU konvertieren möchten.
Wenn Sie aufgefordert werden, ein EVU zu melden, runden Sie es bitte wie bei AU auf eine signifikante Zahl ab.

Ausbreitung der Unsicherheit

Wenn Sie Berechnungen für Zahlen durchführen, deren Unsicherheiten bekannt sind, können Sie die Unsicherheit in der berechneten Antwort anhand von zwei einfachen Regeln bestimmen. Dies wird als Ausbreitung der Unsicherheit bezeichnet. Die Regeln für die Unsicherheitsausbreitung sind für Additions- / Subtraktionsoperationen im Vergleich zu Multiplikations- / Divisionsoperationen sehr unterschiedlich. Diese Regeln sind nicht austauschbar. Die hier vorgestellten Regeln bestimmen die maximal mögliche Unsicherheit.

Addition und Subtraktion: Verwenden Sie immer AUs.
Bei der Berechnung der Unsicherheit für die Summe oder Differenz von Messwerten ist AU des berechneten Wertes die Quadratwurzel aus der Summe der Quadrate der absoluten Unsicherheiten der einzelnen Terme.
Beispiel:
Im Labor haben Sie zwei Bände (A + B) hinzugefügt und dann ein Volumen (C) abgezogen, was wäre Ihr endgültig gemeldetes Volumen (V) und es ist AU:

V = A + BC

A = 19 ml ± 4 ml

B = 28,7 ml ± 0,3 ml

C = 11,89 ml ± 0,08 ml

S = A + B-C = 47,7 ml−11,89 ml = 35,81 ml

AUs = 4.092mL

Endgültige gemeldete Antwort: S = 36mL ± 4mL

Anmerkungen:
- AU wird auf eine Sig-Zahl gerundet und die endgültige Antwort wird auf die Dezimalstelle der AU gerundet.
- RU kann mit der Gleichung RU = AU/|value/ berechnet werden.
- Auch wenn Sie Messwerte subtrahieren, achten Sie darauf, SIe zu addieren.
Beispiel: (Unterstreichungen werden verwendet, um signifikante Ziffern anzuzeigen)

Berechnen Sie qtotal und die zugehörigen AU− und RU-Werte unter Verwendung der Gleichung:

qtotal = – (qsolution + qcal)

wobei qsolution und qcal Messwerte sind:

qsolution = 1450 ± 2×101 J

qcal = 320 ± 5×101 J

Lösung:
1. Berechnen Sie qtotal und ignorieren Sie Unsicherheiten:
2. AU für qtotal:
  
  AU = 53,85J
3. Relative Unsicherheit aus absoluter Unsicherheit berechnen:
4. Melden Sie Ihre endgültige Antwort an die richtige Anzahl signifikanter Zahlen basierend auf der AU:
Multiplikation und Division: Addieren Sie immer RUs, niemals AUs.
Bei der Berechnung der Unsicherheit für das Produkt oder Verhältnis von Messwerten ist RU des berechneten Wertes die Quadratwurzel aus der Summe der Quadrate der relativen Unsicherheiten der einzelnen Terme.

M = A × B

( HINWEIS: M × RUM = AUM, das für die Meldung der endgültigen Antwort und der endgültigen AU benötigt wird.)

Beispiel:

A = 36 ml ± 4 ml

B = 28 g / ml ± 2 g /ml

M = A × B = 36 ml × 28 g /ml = 1008.000g (bei der Berechnung immer ungerundete Werte verwenden)

RUM = 0.132

Um die endgültige Unsicherheit für diese Berechnung anzugeben, müssen Sie die RU für die endgültige Antwort in eine AU umwandeln und dann, nachdem Sie die AU auf eine signifikante Zahl gerundet haben, Ihre Antwort auf die Dezimalstelle der AU runden:

AUM = = 0.132 × 1008.0g = 133g –> gerundet auf 1 sig Abb: 1×102g

Endgültige gemeldete Antwort: 1,0 × 103 g ± 1 × 102 g

Anmerkungen:
- AUA×B ≠ AUA + AUB.
- AU kann immer mit der Gleichung AU = RU × |value/ berechnet werden.
- Achten Sie darauf, RU mit ungerundeten AU-Werten zu berechnen.
Beispiel:

Berechnen Sie qcal und seine AU anhand der Gleichung:

qcal = CΔT

wobei C und ΔT Messwerte sind:

C = (54 ± 7) J/ °C

ΔT = 6,0 ± 0,1 °C

Lösung:
1. Qcal berechnen, Unsicherheiten ignorieren:
2. Relative Unsicherheiten bestimmen:
3. Berechnen Sie die Gesamt-RU für qcal mit der Quadratwurzel der Summe der Quadrate Formel:
  
  RUqcal = 0.131
4. Berechnen Sie die absolute Unsicherheit aus der relativen Unsicherheit:
5. Geben Sie Ihre endgültige Antwort an, indem Sie AU auf eine signifikante Zahl und Ihre Antwort auf die Dezimalstelle Ihrer AU runden:
SCHLUSSBEMERKUNG: wenn Sie Operationen wie Addition und Multiplikation in derselben Berechnung kombinieren, befolgen Sie bitte die Standardreihenfolge der Operationen mit den ungerundeten Werten während Ihrer gesamten Berechnung, bis Sie Ihre „endgültige Antwort“ erhalten.“ An diesem Punkt verwenden Sie Ihre endgültige AU, die auf eine signifikante Zahl gerundet ist, um Ihre „endgültige Antwort“ auf die Dezimalstelle Ihrer AU zu runden.