Verbunden mit den Energiezuständen der Elektronen des Atoms sind vier Quantenzahlen: n, ℓ, mℓ und ms. Diese spezifizieren den vollständigen, einzigartigen Quantenzustand eines einzelnen Elektrons in einem Atom und bilden seine Wellenfunktion oder sein Orbital. Beim Lösen, um die Wellenfunktion zu erhalten, reduziert sich die Schrödinger-Gleichung auf drei Gleichungen, die zu den ersten drei Quantenzahlen führen. Daher sind die Gleichungen für die ersten drei Quantenzahlen alle miteinander verknüpft. Die azimutale Quantenzahl entstand bei der Lösung des polaren Teils der Wellengleichung, wie unten gezeigt, abhängig vom sphärischen Koordinatensystem, Dies funktioniert im Allgemeinen am besten mit Modellen mit einem gewissen Grad an sphärischer Symmetrie.
Illustration des quantenmechanischen Orbitaldrehimpulses.
Der Drehimpuls eines Atomelektrons, L, hängt mit seiner Quantenzahl ℓ durch die folgende Gleichung zusammen:
L 2 Ψ = ℏ 2 ℓ ( ℓ + 1 ) Ψ {\displaystyle \mathbf {L} ^{2}\Psi =\hbar ^{2}{\ell (\ell +1)}\Psi }
wobei ħ die reduzierte Plancksche Konstante, L2 der orbitale Drehimpulsoperator und Ψ {\displaystyle \Psi } die Wellenfunktion des Elektrons ist. Die Quantenzahl ℓ ist immer eine nicht negative ganze Zahl: 0, 1, 2, 3 usw. L hat keine wirkliche Bedeutung außer in seiner Verwendung als Drehimpulsoperator. Wenn man sich auf den Drehimpuls bezieht, ist es besser, einfach die Quantenzahl ℓ zu verwenden.
Atomorbitale haben charakteristische Formen, die durch Buchstaben gekennzeichnet sind. In der Abbildung beschreiben die Buchstaben s, p und d (eine Konvention mit Ursprung in der Spektroskopie) die Form des Atomorbitals.
Ihre Wellenfunktionen haben die Form von sphärischen Harmonischen und werden daher durch Legendre-Polynome beschrieben. Die verschiedenen Orbitale, die sich auf verschiedene Werte von ℓ beziehen, werden manchmal als Unterschalen bezeichnet und mit lateinischen Kleinbuchstaben (aus historischen Gründen ausgewählt) wie folgt bezeichnet:
| Azimutal Zahl (ℓ) |
Historisch Buchstabe |
Maximum Elektronen |
Historisch Name |
Form |
|---|---|---|---|---|
| 0 | s | 2 | scharf | sphärisch |
| 1 | p | 6 | principal | drei hantelförmige polar ausgerichtete Orbitale; ein Lappen an jedem Pol der x−, y- und z-Achse (+ und – Achse) |
| 2 | d | 10 | diffuse | neun Hanteln und ein Donut (oder „einzigartige Form #1“ siehe dieses Bild von sphärischen Harmonischen, dritte Reihe Mitte) |
| 3 | f | 14 | fundamental | „einzigartige Form # 2“ (siehe dieses Bild der sphärischen Harmonischen, untere Reihe Mitte) |
| 4 | g | 18 | ||
| 5 | h | 22 | ||
| 6 | i | 26 | ||
| Die Buchstaben nach der Unterschale f folgen nur dem Buchstaben f in alphabetischer Reihenfolge, mit Ausnahme des Buchstabens j und der bereits verwendeten. | ||||
Jeder der verschiedenen Drehimpulszustände kann 2 (2ℓ + 1) Elektronen aufnehmen. Dies liegt daran, dass die dritte Quantenzahl Mℓ (die lose als quantisierte Projektion des Drehimpulsvektors auf die z-Achse angesehen werden kann) in ganzzahligen Einheiten von −ℓ nach ℓ verläuft und es somit 2ℓ + 1 mögliche Zustände gibt. Jedes einzelne n, ℓ, mℓ -Orbital kann von zwei Elektronen mit entgegengesetzten Spins besetzt sein (gegeben durch die Quantenzahl ms = ± ½), was insgesamt 2 (2ℓ + 1) Elektronen ergibt. Orbitale mit höheren ℓ als in der Tabelle angegeben sind durchaus zulässig, aber diese Werte decken alle bisher entdeckten Atome ab.
Für einen gegebenen Wert der Hauptquantenzahl n reichen die möglichen Werte von ℓ von 0 bis n – 1; daher besitzt die n = 1-Schale nur eine s-Unterschale und kann nur 2 Elektronen aufnehmen, die n = 2-Schale besitzt eine s- und eine p-Unterschale und kann insgesamt 8 Elektronen aufnehmen, die n = 3-Schale besitzt s-, p- und d-Unterschalen und hat maximal 18 Elektronen und so weiter.
Ein vereinfachtes Ein-Elektronen-Modell führt zu Energieniveaus, die allein von der Hauptzahl abhängen. In komplexeren Atomen teilen sich diese Energieniveaus für alle n > 1 auf und platzieren Zustände mit höherem ℓ über Zuständen mit niedrigerem ℓ. Zum Beispiel ist die Energie von 2p höher als von 2s, 3d tritt höher als 3p auf, was wiederum über 3s liegt usw. Dieser Effekt bildet schließlich die Blockstruktur des Periodensystems. Kein bekanntes Atom besitzt ein Elektron mit ℓ höher als drei (f) in seinem Grundzustand.
Die Drehimpuls-Quantenzahl ℓ bestimmt die Anzahl der planaren Knoten, die durch den Kern gehen. Ein planarer Knoten kann in einer elektromagnetischen Welle als der Mittelpunkt zwischen Kamm und Tal beschrieben werden, der die Größe Null hat. In einem s-Orbital gehen keine Knoten durch den Kern, daher nimmt die entsprechende azimutale Quantenzahl ℓ den Wert 0 an. In einem p-Orbital durchquert ein Knoten den Kern und daher hat ℓ den Wert 1. L {\displaystyle L} hat den Wert 2 ℏ {\displaystyle {\sqrt {2}}\hbar } .
Abhängig vom Wert von n gibt es eine Drehimpuls-Quantenzahl ℓ und die folgende Reihe. Die aufgeführten Wellenlängen gelten für ein Wasserstoffatom:
n = 1 , L = 0 {\displaystyle n=1,L=0} , Lyman–Reihe (ultraviolett) n = 2 , L = 2 ℏ {\displaystyle n=2,L={\sqrt {2}}\hbar } , Balmer-Reihe (sichtbar) n = 3 , L = 6 ℏ {\displaystyle n=3,L={\sqrt {6}}\hbar } , Ritz-Paschen-Reihe (nahes Infrarot) n = 4 , L = 2 3 ℏ {\displaystyle =4,L=2{\sqrt {3}}\hbar } , Brackett-Reihe (kurzwelliges Infrarot) n = 5, L = 2 5 ℏ {\displaystyle n=5,L=2{\sqrt {5}}\hbar } , Pfund-Reihe (mittelwelliges Infrarot).