Abweichender Stress und Invarianten
Geschrieben von: Pantelis Liolios / Sept. 16, 2020
Der Spannungstensor kann als Summe zweier Spannungstensoren ausgedrückt werden, nämlich des hydrostatischen Spannungstensors und des deviatorischen Spannungstensors. In diesem Artikel werden wir den hydrostatischen und den deviatorischen Teil des Spannungstensors definieren und die Invarianten des Spannungs-Deviator-Tensors berechnen. Die Invarianten der deviatorischen Spannung werden häufig in Fehlerkriterien verwendet.
Betrachten Sie einen Spannungstensor \( \sigma_{ij} \), der auf einen Körper wirkt. Der beanspruchte Körper neigt dazu, sowohl sein Volumen als auch seine Form zu verändern. Der Teil des Spannungstensors, der dazu neigt, das Volumen des Körpers zu verändern, wird als mittlerer hydrostatischer Spannungstensor oder volumetrischer Spannungstensor bezeichnet. Der Teil, der dazu neigt, den Körper zu verzerren, wird als Spannungsdeviator-Tensor bezeichnet. Daher kann der Spannungstensor ausgedrückt werden als:
wobei \( \delta_{ij} \) das Kronecker-Delta ist (mit \( \delta_{ij}= 1 \) wenn \( i=j \) und \( \delta_{ij}=0 \) wenn \( i\neq j \) ), \( p \) ist die mittlere Spannung gegeben durch:
wobei \( I_{1} \) die erste Invariante des Spannungstensors ist (siehe auch: Hauptspannungen und Spannungsinvarianten). Das Produkt \( p\delta_{ij} \) ist der hydrostatische Spannungstensor und enthält nur Normalspannungen. Der deviatorische Spannungstensor kann erhalten werden, indem der hydrostatische Spannungstensor vom Spannungstensor subtrahiert wird:
Um die Invarianten des Spannungsabweichungstensors zu berechnen, folgen wir dem gleichen Verfahren, das im Artikel Hauptspannungen und Spannungsinvarianten verwendet wird. Es muss erwähnt werden, dass die Hauptrichtungen des Spannungs-Deviator-Tensors mit den Hauptrichtungen des Spannungs-Tensors übereinstimmen. Die charakteristische Gleichung für \( s_{ij} \) ist:
wobei \( J_{1} \), \( J_{2} \) und \( J_{3} \) die erste, zweite bzw. dritte deviatorische Stressinvariante sind. Die Wurzeln des Polynoms sind die drei deviatorischen Hauptspannungen \( s_{1} \), \( s_{2} \) und \( s_{3} \). \( J_{1} \), \( J_{2} \) und \( J_{3} \) können mit den folgenden Ausdrücken berechnet werden:
wobei \( I_{1} \), \( I_{2} \) und \( I_{3} \) die drei Invarianten des Spannungstensors sind und \( \det(s_{ij}) \) die Determinante von \( s_{ij} \) ist. Es sollte erwähnt werden, dass seit \( J_{1}=s_{kk}= 0 \) der Spannungsabweichertensor einen Zustand reiner Scherung beschreibt.
Beispiel
Berechnen Sie den Spannungsabweichertensor und seine Invarianten für den folgenden Spannungstensor:
Lösung anzeigen…
Zuerst berechnen wir den mittleren Druck \( p \):
Aus Gleichung (3) berechnen wir den Spannungsabweichertensor:
Für die Spannungsabweicher-Tensorinvarianten verwenden wir Gleichungen (5) und erhalten:
Schließlich ist die charakteristische Gleichung:
Stichworte: Algebra | Eigenwerte | Invarianten | Mechanik / Tensoren