In der linearen Algebra ist eine erweiterte Matrix eine Matrix, die durch Anhängen der Spalten zweier gegebener Matrizen erhalten wird, normalerweise zum Zweck der Durchführung derselben elementaren Zeilenoperationen für jede der gegebenen Matrizen.
Gegeben mit den Matrizen A und B,wobei
A = , B = , {\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&3&2\\2&0&1\\5&2&2\ ende{bmatrix}},\quad B={\begin{bmatrix}4\\3\\1\end{bmatrix}},}
die erweiterte Matrix (A|B) wird als
( A | B ) = geschrieben. {\displaystyle (A|B)=\links.}
Dies ist nützlich beim Lösen linearer Gleichungssysteme.
Für eine gegebene Anzahl von Unbekannten hängt die Anzahl der Lösungen für ein lineares Gleichungssystem nur vom Rang der Matrix ab, die das System darstellt, und vom Rang der entsprechenden erweiterten Matrix. Insbesondere ist nach dem Satz von Rouché–Capelli jedes lineare Gleichungssystem inkonsistent (hat keine Lösungen), wenn der Rang der erweiterten Matrix größer ist als der Rang der Koeffizientenmatrix; Wenn andererseits die Ränge dieser beiden Matrizen gleich sind, muss das System mindestens eine Lösung haben. Die Lösung ist genau dann eindeutig, wenn der Rang der Anzahl der Variablen entspricht. Andernfalls hat die allgemeine Lösung k freie Parameter, wobei k die Differenz zwischen der Anzahl der Variablen und dem Rang ist; Daher gibt es in einem solchen Fall eine Unendlichkeit von Lösungen.
Eine erweiterte Matrix kann auch verwendet werden, um die Umkehrung einer Matrix zu finden, indem sie mit der Identitätsmatrix kombiniert wird.