Wichtige Ergebnisse der Funktionsanalyse sind:
Einheitliches Boundedness-Prinzipbearbeiten
Das einheitliche Boundedness-Prinzip oder Banach-Steinhaus-Theorem ist eines der grundlegenden Ergebnisse der Funktionsanalyse. Zusammen mit dem Hahn–Banach-Theorem und dem Open-Mapping-Theorem gilt es als einer der Eckpfeiler des Feldes. In seiner Grundform behauptet es, dass für eine Familie kontinuierlicher linearer Operatoren (und damit begrenzter Operatoren), deren Domäne ein Banachraum ist, die punktweise Gebundenheit der einheitlichen Gebundenheit in der Operatornorm entspricht.
Der Satz wurde erstmals 1927 von Stefan Banach und Hugo Steinhaus veröffentlicht, aber auch unabhängig von Hans Hahn bewiesen.
Theorem (Einheitliches Gebundenheitsprinzip). Sei X ein Banachraum und Y ein normierter Vektorraum. Angenommen, F ist eine Sammlung kontinuierlicher linearer Operatoren von X bis Y. Wenn man für alle x in X
sup T ∈ F ‖ T ( x ) ‖ Y < ∞ hat , {\displaystyle \sup \nolimits _{T\in F}\|T(x)\/_{Y}<\infty ,}
dann
sup T ∈ F ‖ T ‖ B ( X , Y ) < ∞ . {\displaystyle \sup \nolimits _{T\in F}\/T\|_{B(X,Y)}<\infty .}
Spektraltheorembearbeiten
Es gibt viele Sätze, die als Spektraltheorem bekannt sind, aber einer hat insbesondere viele Anwendungen in der Funktionsanalyse.
Satz: Sei A ein begrenzter selbstadjungierter Operator auf einem Hilbert-Raum H. Dann gibt es einen Maßraum (X, Σ, μ) und eine reellwertige im Wesentlichen begrenzte messbare Funktion f auf X und einen einheitlichen Operator U:H → L2µ(X), so dass
U ∗ T U = A {\displaystyle U^{*}TU=A\;}
wobei T der Multiplikationsoperator ist:
( x ) = f ( x ) φ ( x) . {\displaystyle (x)=f(x)\varphi (x).\;}
und ‖ T ‖ = ‖ f ‖ ∞ {\displaystyle \|T\|=\|f\|_{\inf} }}
Dies ist der Beginn des riesigen Forschungsgebiets der Funktionsanalyse namens Operator Theory; siehe auch das spektrale Maß.
Es gibt auch einen analogen Spektralsatz für begrenzte Normale Operatoren auf Hilbert-Räumen. Der einzige Unterschied in der Schlussfolgerung ist, dass jetzt f {\displaystyle f}
kann komplex bewertet sein.
Hahn-Banach-Theorembearbeiten
Der Hahn–Banach-Theorem ist ein zentrales Werkzeug in der Funktionsanalyse. Es ermöglicht die Erweiterung von begrenzten linearen Funktionalen, die in einem Unterraum eines Vektorraums definiert sind, auf den gesamten Raum, und es zeigt auch, dass in jedem normierten Vektorraum „genug“ kontinuierliche lineare Funktionale definiert sind, um das Studium des dualen Raums „interessant“ zu machen.
Hahn-Banach-Theorem: Wenn p : V → R eine sublineare Funktion ist und φ : U → R ein lineares Funktional auf einem linearen Teilraum U ⊆ V ist, der von p auf U dominiert wird, d.h.
φ ( x ) ≤ p ( x ) ∀ x ∈ U {\displaystyle \varphi (x)\leq p(x)\qquad \forall x\in U}
dann gibt es eine lineare Verlängerung ψ : V → R, φ, um den ganzen Raum V, d.h., es existiert ein lineares funktional ψ, so dass
ψ ( x ) = φ ( x ) ∀ x ∈ U {\displaystyle \psi (x)=\varphi (x)\qquad \forall x\in U}
ψ ( x ) ≤ p ( x ) ∀ x ∈ V . {\displaystyle \psi (x)\ leq p (x)\qquad \ für alle x\ in V.}
Open Mapping theoremEdit
Der Open Mapping Theorem, auch bekannt als Banach–Schauder Theorem (benannt nach Stefan Banach und Juliusz Schauder ), ist ein grundlegendes Ergebnis, das besagt, dass, wenn ein kontinuierlicher linearer Operator zwischen Banachräumen surjektiv ist, es sich um eine offene Karte handelt. Genauer gesagt:
Offener Abbildungssatz. Wenn X und Y Banachräume sind und A: X → Y ein surjektiver kontinuierlicher linearer Operator ist, dann ist A eine offene Karte (d. h. wenn U eine offene Menge in X ist, dann ist A (U) in Y offen).
Der Beweis verwendet den Satz der Baire-Kategorie, und die Vollständigkeit von X und Y ist für den Satz wesentlich. Die Aussage des Satzes ist nicht mehr wahr, wenn einer der beiden Räume nur als normierter Raum angenommen wird, sondern wenn X und Y als Fréchet-Räume angenommen werden.
Satz des geschlossenen Graphenbearbeiten
Der Satz des geschlossenen Graphens besagt Folgendes:Wenn X ein topologischer Raum und Y ein kompakter Hausdorff-Raum ist, dann ist der Graph einer linearen Karte T von X nach Y genau dann geschlossen, wenn T stetig ist.