Kannst du ohne Mathematik in STEM sein?
Mathematik ist die Grundlage aller MINT-Bildung. Dort – das ist meine Geschichte und ich bleibe dabei. Aber meine Behauptung muss wirklich durchdacht werden, denn es ist nicht offensichtlich, dass für jeden MINT-Abschluss Mathematik auf höherer Ebene notwendig ist. Zuerst, Einige Definitionen sind in Ordnung: Als Grundannahme für die Bewerbung am College für ein MINT-Hauptfach gehe ich davon aus, dass der Student mindestens die mathematischen Kursarbeiten abgeschlossen hat oder bis zum Abitur abschließen wird, die im Allgemeinen vom Common Core oder dem National Mathematics Advisory Panel abgedeckt werden. Denken Sie daran, ich sagte Minimum – und nicht als Garantie für die Zulassung; Sie können davon ausgehen, dass das Fehlen von Kalkül in der High School ein signifikanter negativer Faktor für die Zulassung sein wird. Verständnis von Algebra, Geometrie und High-School-Kalkül, zusammen mit einem grundlegenden Verständnis der Statistik, gute Noten in jedem und ein Maß an Freude sind alle wichtig; Es sollte Alarmglocken auslösen, wenn ein Schüler sagt: „Ich habe den Mathematikunterricht nicht wirklich genossen“ oder noch schlimmer: „Ich habe gute Noten bekommen, aber ich habe es gehasst“.
Mathematik auf höherer Ebene als MINT-Hauptfach deckt drei Hauptbereiche der Mathematik ab: Kalkül und Differentialgleichungen, Statistik und Logik. Der erste ist ein wesentlicher Aspekt des Ingenieurwesens – ein Maschinenbau- oder Bauingenieur verwendet dies für die Strukturanalyse, und der Elektrotechnikmajor muss Differentialgleichungen für Berechnungen des elektromagnetischen Feldes verwenden. Physik, Biologie, Chemie: Alle verwenden Kalkül, um Veränderung, Änderungsrate und Änderungsbetrag zu analysieren. Um eine Vorstellung davon zu bekommen, was der Student tatsächlich am College machen wird, werfen Sie einen Blick auf die MIT Open Course Lecture Series – in dieser Vorlesung einen Überblick über Differentialgleichungen und ihre Anwendung. Aus diesem Grund suchen Bachelor-STEM-Zulassungsstellen nach einer guten Erfolgsbilanz in der Highschool-Mathematik: Kalkül, AP-Kalkül, falls angeboten, und gute ACT / SAT-Ergebnisse. In den folgenden Abschnitten können Sie über Anwendungen der Analysis in ingenieur- und naturwissenschaftlichen Disziplinen lesen.
Statistiken sind ein weiteres wichtiges Werkzeug im Kit des MINT-Majors. Da so viel von der Interaktion mit der realen Welt Annäherung, Ungenauigkeit, Messfehler und unvollständige Datenreihen beinhaltet, ist die statistische Analyse, wie Wissenschaftler oder Ingenieure die Wissenslücken füllen. Und wenn Sie versucht sind, eine gerade Linie durch einige Datenpunkte zu ziehen, führen Sie visuell und mental Statistiken durch. Selbst wenn die Grundlage einer statistischen Berechnung aus einer vollständigen Datenreihe besteht, kann die Statistik zukünftige Ereignisse vorhersagen. Später können Sie über die Anwendung und Bedeutung der Statistik in verschiedenen MINT-Disziplinen lesen.
Logisch und rekursiv führt die Entscheidungsanalyse zu guten Entscheidungen. Das mathematische Toolkit für die Entscheidungsanalyse baut auf den Grundlagen der frühen Schulzeit Textaufgaben und Mengenlehre wie Venn-Diagramme. Flussdiagramme, in denen Sie aufgefordert werden, einen Pfad basierend auf Ja / Nein-Fragen und Logikdiagrammen auszuwählen, die aus Und-, Oder- und Nicht-Fragen bestehen, werden häufig in der Epidemiologie und im Computerspeicher verwendet. Nachfolgend finden Sie eine Übersicht über die Tools und deren Anwendung.
Reine Mathematik – Beweise ohne Zahlen und der Denkprozess
Reine Mathematik
Eine der Ironien der Mathematik ist, dass sie vom Standpunkt der praktischen Anwendung völlig nutzlos erscheinen kann, aber dennoch eine strenge und intern konsistente Wissenschaft mit Theorien zum Beweis oder zur Widerlegung ist. Oft als die ‚reinsten‘ MINT-Dur, die Disziplin hat einige der wichtigsten Werkzeuge in der ingenieur- und naturwissenschaftlichen Ausbildung und Berufe verwendet produziert; ohne Algebra, Geometrie und Analysis wäre die Physik unserer modernen Welt so geheimnisvoll und undurchdringlich wie die Titanen der griechischen Mythologie. Viele Universitäten, die Mathematik-Bachelor-Abschlüsse anbieten, bieten Anleitungen wie: Viele akademische und industrielle Positionen, die Mathematikern offen stehen, erfordern eine Ausbildung, die über einen Bachelor-Abschluss hinausgeht, Studenten, die beabsichtigen, Mathematik zu ihrem Beruf zu machen, müssen normalerweise planen, das Studium fortzusetzen. Nachdem dies behauptet wurde, ist der Denkprozess, der von einem strengen Mathematikmajor entwickelt wurde, eine nützliche Fähigkeit bei der weiteren Verfolgung der Computerprogrammierung und -modellierung.
Ein weiterer Weg, der zum Praktischen führt, ist das Grundstudium der Angewandten Mathematik. Dies ist ein wichtiges Studienfach, da es sich, wie der Name schon sagt, auf Anwendungen der Mathematik konzentriert. Statistik und Entscheidungsanalyse sind zwei Bereiche der Konzentration für die angewandte Mathematik Major, und die Fähigkeiten in einem angewandten Mathematik Lehrplan gelernt sind auf eine breite Palette von technischen und naturwissenschaftlichen Problemen, wie Computational Fluid Dynamics, fehlertolerante Kommunikationssysteme, Ölraffinerie Optimierung und Versicherungsmathematik.
Es könnte für Sie bereits offensichtlich sein (in diesem Fall denken Sie wie ein Mathematiker), dass es erhebliche Überschneidungen zwischen den Hauptfächern Mathematik und angewandte Mathematik gibt, und es ist nicht ungewöhnlich, dass eine Universität beide Abschlüsse anbietet – wobei ersteres zu einem Graduiertenstudium und weiter zu Forschung und Wissenschaft führt, und letzteres zu einer Karriere in einem MINT-Bereich mit Schwerpunkt auf quantitativen Methoden. Wenn ein Student eine Leidenschaft für Mathematik hat, sich aber nicht sicher ist, was er damit anfangen soll, empfiehlt sich ein Programm wie das UC Berkeley Mathematics Department, das eine Deklaration von Major erst nach Abschluss von 4 oder 5 Mathematikunterricht im Grundstudium zulässt: Multivariable Analysis, Lineare Algebra, Differentialgleichungen und Diskrete Mathematik.
Anwendungen der Mathematik
Die Analysis und Differentialgleichungen
Im Kern und in Laienbegriffen besteht die Analysis aus Integralen und Differentialgleichungen; ersteres ist die Berechnung der Fläche innerhalb einer Kurve, und ein Differential ist die Steigung einer Tangente an dieser Kurve.
Der Fundamentalsatz der Infinitesimalrechnung
Was dies wichtig macht, ist, dass Fläche und Steigung beide sehr nützliche Darstellungen realer physikalischer Phänomene sind – und somit die Modellierung, Analyse und Vorhersage der realen Welt aus mathematischen Modellen ermöglichen. Überlegen Sie, wie wichtig das ist: wenn wir beispielsweise die Geschwindigkeit eines Autos und die Entfernung zum Rand einer Klippe kennen, können wir vorhersagen, wie stark das Bremspedal gedrückt werden muss … OHNE tatsächlich ein paar Autos über den Rand zu fahren, bevor wir es herausfinden. Dimensionierung der elektrischen Verkabelung, Auswahl des richtigen I-Trägers für eine Brücke, und entscheiden, wo ein Damm gebaut werden soll – alles möglich durch die Potenz von Integralen und Differentialgleichungen. Sobald ein Schüler in Kalkül kommt, werden sie anfangen, Integrale um sie herum zu sehen: Füllen einer Soda-Tasse – Integrationsfläche über die Höhe. Fahrt zur Schule – Integration der Entfernung im Laufe der Zeit. Differentiale – die Steigung einer Tangente – tauchen ebenfalls auf, wie die Höhe und Entfernung eines Rasensprengers oder der Abfahrtswinkel einer Baseball-Pitching-Maschine. Das Verständnis der zugrunde liegenden Mathematik der physischen Welt ist der erste Schritt bei der Vorhersage von Ergebnissen auf der Grundlage von Berechnungen – ein wesentlicher Aspekt der MINT-Ausbildung und -Praxis.
Statistik und Big Data
Es gibt so viele Witze über Statistiken, wie es Geleebohnen in einem Glas gibt, wobei die meisten von ihnen auf der Idee basieren, dass man mit den ‚richtigen‘ Statistiken alles beweisen kann. Statistiken lassen sich grob in zwei Kategorien einteilen (und echte Statistiker würden zusammenzucken, wenn sie das lesen): deskriptiv und prädiktiv. In der deskriptiven Statistik kann eine Analyse eines Teils des Datensatzes den Benutzer mit einer berechneten Konfidenz den Inhalt des gesamten Satzes schätzen lassen. Angenommen, Sie bitten jedes Mitglied Ihrer Fußballmannschaft, sich abzuwägen, aber einer von ihnen ist krank. Von den Teammitgliedern, die wiegen, beträgt das Durchschnittsgewicht 175, mit einem Minimum von 150 und einem Maximum von 205. Was ist mit dem fehlenden Spieler? Sie können sehr sicher sein (aber nicht absolut sicher!), dass ihr Gewicht zwischen 150 und 205 liegt, und abhängig von der Anzahl der Spieler könnten Sie sogar Ihre Sicherheit angeben, sagen Wir 99% sicher.
Alles andere an Statistiken ist der prädiktive Aspekt: Wenn ich diese und jene Statistiken über meine Datenreihen kenne, kann ich die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses vorhersagen – die Wahrscheinlichkeit, dass ein Spieler mit einem Schlagdurchschnitt von 0,325 drei Läufe mit Spielern auf dem 1. und 3. Platz nach Hause bringt. Oder wenn ich den Genauigkeitsbereich von metallurgischen Tests kenne, die Mengen, die benötigt werden, um 18% Chrom und 8% Nickel mit einem Maximum von 0 zu legieren.1% Kohlenstoff im Eisen, zum eines spezifischen Grades des Edelstahls herzustellen.
Hier ist ein Beispiel für Statistiken, für die Anwendung in biomedizinischen Tests und die aus UC Berkeley Class Notes auf Bayes ‚Theorem extrahiert wird: Angenommen, eine Person in 100.000 hat eine sehr seltene Krankheit, für die es einen ziemlich genauen Test gibt. Der Test ist in 99% der Fälle korrekt, wenn er auf jemanden mit der Krankheit angewendet wird, und in 99,5% der Fälle korrekt, wenn er auf jemanden angewendet wird, der die Krankheit nicht hat. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass jemand, der positiv auf die Krankheit getestet wurde, tatsächlich an der Krankheit leidet? Wie Sie sich vorstellen können, hat ein Verständnis der Mathematik tatsächliche und signifikante Konsequenzen in der Welt dieser Person.
Big Data ist ein häufig verwendeter Begriff und führte zur Berufsbezeichnung Data Scientist. Beide beziehen sich auf die Fähigkeit, den gesamten Datensatz anstelle einer statistischen Stichprobe auszuwerten und zu manipulieren. Dies stellt die deskriptiven Aspekte der Statistik auf den Kopf: Anstatt eine Datenreihe zu beschreiben, die auf der Vereinfachung statistischer Parameter wie Mittelwert und Median basiert, kann ich den gesamten Datensatz verstehen. Massive Arrays, die durch das Sammeln von immer mehr Daten erstellt werden, ermöglichen es dem Datenwissenschaftler, auf einer granulareren Ebene nach Mustern und Vorhersagen zu suchen, als dies mit herkömmlichen Statistiken jemals möglich war.
Logik und Entscheidungsanalyse
Shakespeare schrieb eine grundlegende Aussage der Logik in Hamlet, Akt III Szene I: „Sein oder nicht sein …“, die in der Mathematik „wahr oder nicht wahr“ wäre. Schüler lernen die Konzepte von Venn-Diagrammen – mit dem Begriff ‚Union‘ bedeutet ‚und‘, während der Begriff ‚Kreuzung‘ bedeutet ‚oder‘. Mit diesen drei Wörtern – und, oder, nicht – kann eine ganze Sprache der Logik aufgebaut werden.
Schauen wir uns ein praktisches Beispiel aus der Informatik an. Denken Sie daran, sich in Ihr E-Mail-Konto einzuloggen. Die Logik könnte lauten: „WENN die E-Mail vorhanden ist UND das Kennwort mit der E-Mail übereinstimmt, melden Sie sich als Benutzer an“. Einfach, oder? Was passiert, wenn die E-Mail existiert, aber das Passwort nicht übereinstimmt? Oder wenn sie übereinstimmen, aber Sie haben diesen speziellen Computer noch nie benutzt? Wie Sie sich vorstellen können, gibt es Tausende von Fragen, die jeweils mit einem UND-, ODER- oder NICHT-Vergleich gestellt werden müssen, und die Zuordnung durch die Zweige dieser Logikbäume ist ein wesentlicher Bestandteil des Informatikstudiums.
Entscheidungsbaum: Auswahlmöglichkeiten, Chancen und Werte
Decision Analytics kombiniert die Verzweigungslogik von Ja- und Nein-Fragen mit der statistischen Wahrscheinlichkeit jedes Ergebnisses (wie oft ist es ein „Ja“?), um fundierte Entscheidungen zu treffen. Ein Entscheidungsbaum hat Knoten, die Entscheidungen (Entscheidungen), Chancen (statistisch bestimmte Ergebnisse) und Werte (die Metrik zur Bewertung eines Ergebnisses) sind. Ein Geowissenschaftler könnte eine Simulation verwenden, bei der mehrere Variablen verwendet werden, die von einer lognormalen Verteilung gesteuert werden, um vorherzusagen, wie viel Öl sich in jedem Teil eines Ölfelds befindet, was eine gute Entscheidung darüber unterstützt, wo der nächste Brunnen gebohrt werden soll. Wenn der Entscheidungsbaum zu Kosten und Einnahmen für jedes Ergebnis führt, wird diese Analyse als Erwartungswert bezeichnet.
Verwendung verschiedener Zahlenbasissysteme
Die in der Logik verwendete Mathematik wird als Boolesche Mathematik bezeichnet; in booleschen Operationen ist jede Variable entweder eine 1 oder eine 0. Ein wichtiges Konzept ist, dass es für n Variablen 2n mögliche Kombinationen von Werten gibt; zB für 8 Variablen gibt es 256 eindeutig verschiedene Kombinationen von 1s und 0s. Dies bedeutet, dass eine 8-stellige Binärzahl die Dezimalzahlen Null bis 255 darstellen kann. Wieder kann unser Informatikstudent diese Mathematik verwenden, um jeden Buchstaben, jede Zahl und jedes Symbol zu bestimmen, die eingegeben werden können (oder mindestens 256 davon!), unter Verwendung der häufig verwendeten ASCII-Tabelle.
Boolesche mathematische Operatoren und Diagramme
Nun, das kümmert sich um Binär (Basis 2) und dezimal (Basis 10) aber was ist mit anderen Arten von numerischen Systemen? In dem Film The Martian versucht Matt Damon mit einem rotierenden Zeiger zu kommunizieren. Aber alle 26 Buchstaben und einige Symbole in einem Kreis zu bekommen, würde sie zu eng zusammenpacken. Er verwendet also ein Basis-16-Nummerierungssystem, das als Hexadezimal bekannt ist – wobei die Ziffern 0-9 sind und die Buchstaben A, B, C, F, E, F … F in Hexadezimal 15 in Basis-10-Zahlen entsprechen. Also, wenn Sie jemals allein auf dem Mars gestrandet sind, stellen Sie sicher, dass Sie eine hexadezimale ASCII-Tabelle packen. Und Ketchup.