In einem perfekten optischen System in der klassischen Theorie der Optik vereinigen sich Lichtstrahlen, die von einem beliebigen Objektpunkt ausgehen, in einem Bildpunkt; und daher wird der Objektraum in einem Bildraum reproduziert. Die Einführung einfacher Hilfsbegriffe aufgrund von Gauß, die Brennweiten und Brennebenen genannt werden, ermöglicht die Bestimmung des Bildes eines Objekts für jedes System. Die Gaußsche Theorie ist jedoch nur wahr, solange die Winkel, die von allen Strahlen mit der optischen Achse (der Symmetrieachse des Systems) gemacht werden, unendlich klein sind, d. H. Mit infinitesimalen Objekten, Bildern und Linsen; In der Praxis können diese Bedingungen nicht realisiert werden, und die von unkorrigierten Systemen projizierten Bilder sind im Allgemeinen schlecht definiert und oft verschwommen, wenn die Blende oder das Sichtfeld bestimmte Grenzen überschreitet.
Die Untersuchungen von James Clerk Maxwell und Ernst Abbe zeigten, dass die Eigenschaften dieser Reproduktionen, d.h. die relative Lage und Größe der Bilder sind keine besonderen Eigenschaften optischer Systeme, sondern notwendige Folgen der Annahme (per Abbe) der Wiedergabe aller Punkte eines Raumes in Bildpunkten und unabhängig von der Art und Weise, in der die Wiedergabe erfolgt. Diese Autoren zeigten jedoch, dass kein optisches System diese Annahmen rechtfertigen kann, da sie den Grundgesetzen der Reflexion und Brechung widersprechen. Folglich liefert die Gaußsche Theorie nur eine bequeme Methode zur Annäherung an die Realität; realistische optische Systeme bleiben hinter diesem unerreichbaren Ideal zurück. Gegenwärtig kann nur die Projektion einer einzelnen Ebene auf eine andere Ebene erreicht werden; Aber selbst in dieser treten immer Aberrationen auf, und es ist unwahrscheinlich, dass diese jemals vollständig korrigiert werden.
Aberration axialer Punkte (sphärische Aberration im eingeschränkten Sinne)Bearbeiten
Lassen Sie S (Abb. 1) ein beliebiges optisches System sein, Strahlen, die von einem Achsenpunkt O unter einem Winkel u1 ausgehen, vereinigen sich im Achsenpunkt O’1; und diejenigen unter einem Winkel u2 im Achsenpunkt O’2. Wenn an einer kollektiven sphärischen Oberfläche oder durch eine dünne positive Linse eine Brechung auftritt, liegt O’2 vor O’1, solange der Winkel u2 größer als u1 ist (unter Korrektur); und umgekehrt mit einer dispersiven Oberfläche oder Linsen (Überkorrektur). Das Ätzmittel ähnelt im ersten Fall dem Zeichen > (größer als); in der zweiten < (weniger als). Wenn der Winkel u1 sehr klein ist, ist O’1 das Gaußsche Bild; und O’1 O’2 wird als longitudinale Aberration und O’1R als laterale Aberration des Bildes mit der Apertur u2 bezeichnet. Wenn der Bleistift mit dem Winkel u2 der der maximalen Abweichung aller übertragenen Stifte ist, dann befindet sich in einer Ebene senkrecht zur Achse bei O’1 eine kreisförmige Verwirrungsscheibe mit dem Radius O’1R und in einer parallelen Ebene bei O’2 eine andere mit dem Radius O’2R2; Zwischen diesen beiden befindet sich die Scheibe mit der geringsten Verwirrung.
Die größte Öffnung der Stifte, die an der Wiedergabe von O beteiligt sind, d. H. Der Winkel u, wird im Allgemeinen durch den Rand einer der Linsen oder durch ein Loch in einer dünnen Platte bestimmt, die zwischen, vor oder hinter den Linsen des Systems angeordnet ist. Dieses Loch wird als Blende oder Blende bezeichnet; Abbe verwendete den Begriff Aperturblende sowohl für das Loch als auch für den Begrenzungsrand der Linse. Die zwischen der Aperturblende und dem Objekt O befindliche Komponente S1 des Systems projiziert ein Bild der Blende, mit Abbe die Eintrittspupille genannt; die Austrittspupille ist das Bild, das durch die Komponente S2 gebildet wird, die hinter der Aperturblende platziert ist. Alle Strahlen, die aus O austreten und die Blendenblende passieren, passieren auch die Eintritts- und Austrittspupillen, da es sich um Abbilder der Blendenblende handelt. Da die maximale Apertur des aus O austretenden Auges der Winkel u ist, den die Eintrittspupille an dieser Stelle einnimmt, wird die Größe der Aberration durch die Position und den Durchmesser der Eintrittspupille bestimmt. Wenn sich das System vollständig hinter der Blendenblende befindet, ist dies selbst die Eintrittspupille (vorderer Anschlag); Wenn ganz vorne, ist es die Austrittspupille (hinterer Anschlag).
Wenn das Objekt unendlich weit entfernt ist, sind alle vom ersten Mitglied des Systems empfangenen Strahlen parallel und ihre Schnittpunkte variieren nach dem Durchlaufen des Systems entsprechend ihrer senkrechten Einfallshöhe, d. H. Ihrem Abstand von der Achse. Dieser Abstand ersetzt den Winkel u in den vorhergehenden Betrachtungen, und die Apertur, d.h. der Radius der Eintrittspupille, ist ihr Maximalwert.
Aberration von Elementen, d. h. kleinsten Objekten im rechten Winkel zur Achsebearbeiten
Wenn Strahlen aus O (Abb. 1) gleichzeitig sind, folgt daraus nicht, dass Punkte in einem Teil einer Ebene senkrecht zu O zur Achse ebenfalls gleichzeitig sind, selbst wenn der Teil der Ebene sehr klein ist. Mit zunehmendem Durchmesser der Linse (d. H. Mit zunehmender Apertur) wird der benachbarte Punkt N reproduziert, jedoch mit Aberrationen, deren Größe mit ON vergleichbar ist. Diese Aberrationen werden vermieden, wenn nach Abbe für alle den Punkt O wiedergebenden Strahlen die Sinusbedingung sin u’1/sin u1=sin u’2/sin u2 gilt. Ist der Objektpunkt O unendlich weit entfernt, so sind u1 und u2 durch h1 und h2, die senkrechten Einfallshöhen, zu ersetzen; die Sinusbedingung wird dann sin u’1/h1=sin u’2/h2. Ein System, das diese Bedingung erfüllt und frei von sphärischer Aberration ist, heißt aplanatisch (griechisch a-, privativ, plann, a-). Dieses Wort wurde zuerst von Robert Blair verwendet, um einen überlegenen Achromatismus zu charakterisieren, und anschließend von vielen Schriftstellern, um auch die Freiheit von sphärischer Aberration zu bezeichnen.
Da die Aberration mit dem Abstand des Strahls von der Mitte der Linse zunimmt, nimmt die Aberration mit zunehmendem Linsendurchmesser (oder entsprechend mit dem Durchmesser der Apertur) zu und kann daher minimiert werden, indem die Apertur verringert wird, auf Kosten der Verringerung der Lichtmenge, die die Bildebene erreicht.
Aberration lateraler Objektpunkte (Punkte jenseits der Achse) mit schmalen Stiften — astigmatismEdit
Ein Punkt O (Fig. 2) bei endlichem Achsabstand (bzw. bei unendlich weit entferntem Objekt ein Punkt, der am System einen endlichen Winkel einschließt) wird im Allgemeinen auch dann nicht scharf wiedergegeben, wenn der aus ihm austretende und das System durchsetzende Strahlenstift durch Verkleinerung der Blende unendlich schmal gemacht wird; ein solcher Bleistift besteht aus den Strahlen, die vom Objektpunkt durch die nun unendlich kleine Eintrittspupille hindurchtreten können. Es ist zu sehen (in Ausnahmefällen), dass der Stift die brechende oder reflektierende Oberfläche nicht im rechten Winkel trifft; Daher ist es astigmatisch (Gr. a-, privativ, Stigmatisierung, ein Punkt). Wenn man den zentralen Strahl, der durch die Eintrittspupille geht, die Achse des Bleistifts oder Hauptstrahls nennt, kann man sagen: Die Strahlen des Bleistifts schneiden sich nicht in einem Punkt, sondern in zwei Brennlinien, von denen angenommen werden kann, dass sie rechtwinklig zum Hauptstrahl stehen; Von diesen liegt eine in der Ebene, die den Hauptstrahl und die Achse des Systems enthält, d.h. im ersten Hauptabschnitt oder Meridionalabschnitt und der andere rechtwinklig dazu, d.h. im zweiten Hauptabschnitt oder Sagittalabschnitt. Wir erhalten daher in keiner einzigen Abfangebene hinter dem System, wie beispielsweise einer Mattscheibe, ein Bild des Objektpunktes; andererseits werden in jeder der beiden Ebenen Linien O’und O“ getrennt gebildet (in benachbarten Ebenen werden Ellipsen gebildet) und in einer Ebene zwischen O‘ und O“ ein Kreis der geringsten Verwirrung. Der Abstand O’O“, der als astigmatische Differenz bezeichnet wird, nimmt im Allgemeinen mit dem Winkel W zu, den der Hauptstrahl OP mit der Achse des Systems, d. h. mit dem Gesichtsfeld, einnimmt. Zwei astigmatische Bildflächen entsprechen einer Objektebene; und diese berühren sich im Achsenpunkt; auf der einen liegen die Brennlinien der ersten Art, auf der anderen die der zweiten. Systeme, bei denen die beiden astigmatischen Oberflächen zusammenfallen, werden als anastigmatisch oder stigmatisch bezeichnet.
Sir Isaac Newton war wahrscheinlich der Entdecker der Astigmation; die Position der astigmatischen Bildlinien wurde von Thomas Young bestimmt; und die Theorie wurde von Allvar Gullstrand entwickelt. Eine Bibliographie von P. Culmann findet sich in Moritz von Rohrs Die Bilderzeugung in optischen Instrumenten.
Aberration von lateralen Objektpunkten mit breitem Anschlag – comaEdit
Durch das Öffnen des Anschlags ergeben sich für laterale Punkte ähnliche Abweichungen, wie sie bereits für axiale Punkte diskutiert wurden; in diesem Fall sind sie jedoch viel komplizierter. Der Verlauf der Strahlen im Meridionalschnitt ist nicht mehr symmetrisch zum Hauptstrahl des Bleistifts; und auf einer Abfangebene erscheint anstelle eines leuchtenden Punktes ein Lichtfleck, der um einen Punkt nicht symmetrisch ist und oft eine Ähnlichkeit mit einem Kometen aufweist, dessen Schweif auf die Achse gerichtet oder von ihr weg gerichtet ist. Von diesem Aussehen hat es seinen Namen. Die unsymmetrische Form des Meridionalstiftes – früher die einzige betrachtete – ist Koma im engeren Sinne.; andere Fehler der Koma wurden von Arthur König und Moritz von Rohr und später von Allvar Gullstrand behandelt.
Krümmung des Bildfeldesbearbeiten
Wenn die oben genannten Fehler beseitigt werden, die beiden astigmatischen Oberflächen vereint werden und ein scharfes Bild mit einer großen Apertur erhalten wird, bleibt die Notwendigkeit, die Krümmung der Bildoberfläche zu korrigieren, insbesondere wenn das Bild auf einer ebenen Oberfläche aufgenommen werden soll, z. B. in der Fotografie. In den meisten Fällen ist die Oberfläche zum System hin konkav.
Verzerrung des Bildes
Selbst wenn das Bild scharf ist, kann es im Vergleich zur idealen Lochprojektion verzerrt sein. Bei der Lochprojektion ist die Vergrößerung eines Objekts umgekehrt proportional zu seinem Abstand zur Kamera entlang der optischen Achse, so dass eine Kamera, die direkt auf eine ebene Fläche zeigt, diese ebene Fläche reproduziert. Verzerrung kann als Dehnung des Bildes ungleichmäßig oder äquivalent als Variation der Vergrößerung über das Feld betrachtet werden. Während „Verzerrung“ eine beliebige Verformung eines Bildes umfassen kann, ist die ausgeprägteste Verzerrungsart, die von herkömmlichen Abbildungsoptiken erzeugt wird, die „Tonnenverzerrung“, bei der die Bildmitte stärker vergrößert wird als der Umfang (Abbildung 3a). Die Umkehrung, bei der der Umfang stärker vergrößert wird als das Zentrum, wird als „Nadelkissenverzerrung“ bezeichnet (Abbildung 3b). Dieser Effekt wird als Linsenverzerrung oder Bildverzerrung bezeichnet, und es gibt Algorithmen, um ihn zu korrigieren.
Verzerrungsfreie Systeme werden orthoskopisch (orthos, rechts, skopein zu sehen) oder geradlinig (gerade Linien) genannt.
Diese Aberration unterscheidet sich deutlich von der Schärfe der Wiedergabe; Bei der unscharfen Wiedergabe stellt sich die Frage der Verzerrung, wenn nur Teile des Objekts in der Figur erkennbar sind. Entspricht in einem unscharfen Bild ein Lichtfleck einem Objektpunkt, so kann als Bildpunkt der Schwerpunkt des Lichtflecks angesehen werden, nämlich der Punkt, an dem die das Bild aufnehmende Ebene, z.B. eine Mattscheibe, den durch die Mitte der Blende hindurchtretenden Strahl schneidet. Diese Annahme ist gerechtfertigt, wenn ein schlechtes Bild auf der Mattscheibe bei verkleinerter Blende stehen bleibt; in der Praxis tritt dies im Allgemeinen auf. Dieser von Abbe als Hauptstrahl bezeichnete Strahl (nicht zu verwechseln mit den Hauptstrahlen der Gaußschen Theorie) durchläuft vor der ersten Brechung das Zentrum der Eintrittspupille und nach der letzten Brechung das Zentrum der Austrittspupille. Daraus folgt, daß die Richtigkeit der Zeichnung allein von den Hauptstrahlen abhängt und unabhängig von der Schärfe oder Krümmung des Bildfeldes ist. In Bezug auf Fig. 4 haben wir O’Q’/ OQ = a’tan w‘ / a tan w = 1 / N, wobei N der Maßstab oder die Vergrößerung des Bildes ist. Damit N für alle Werte von w konstant ist, muss auch a’tan w‘ / a tan w konstant sein. Wenn das Verhältnis a’/a ausreichend konstant ist, wie es oft der Fall ist, reduziert sich die obige Beziehung auf die Bedingung von a, d.h. tan w’/tan w= eine Konstante. Diese einfache Beziehung (siehe Camb. Phil. Transeuropäischen., 1830, 3, S. 1) ist in allen Systemen erfüllt, die bezüglich ihrer Blende symmetrisch sind (kurz symmetrische oder holosymmetrische Objektive genannt), oder die aus zwei gleichen, aber unterschiedlich großen Bauteilen bestehen, die im Verhältnis ihrer Größe von der Blende entfernt angeordnet sind und die gleiche Krümmung aufweisen (hemisymmetrische Objektive); in diesen Systemen tan w’/tan w = 1.
Die Konstanz von a’/a, die für diese Beziehung notwendig ist, wurde von R. H. Bow (Brit. Journ. Fotog., 1861), und Thomas Sutton (Photographic Notes, 1862); es wurde behandelt von O. Lummer und von M. von Rohr (Zeit. f. Instrumentenk., 1897, 17 und 1898, 18, S. 4). Es erfordert, dass die Mitte der Aperturblende in den Zentren der Eintritts- und Austrittspupillen ohne sphärische Aberration reproduziert wird. M. von Rohr zeigte, dass für Systeme, die weder die Airy- noch die Bow-Sutton-Bedingung erfüllen, das Verhältnis a ‚cos w‘ / a tan w für eine Entfernung des Objekts konstant ist. Diese kombinierte Bedingung wird durch holosymmetrische Objektive, die mit dem Maßstab 1 reproduzieren, und durch hemisymmetrische Objektive genau erfüllt, wenn der Reproduktionsskala gleich dem Verhältnis der Größen der beiden Komponenten ist.
Zernike-Modell von aberrationenbearbeiten
Kreisförmige Wellenfrontprofile, die mit Aberrationen assoziiert sind, können mathematisch unter Verwendung von Zernike-Polynomen modelliert werden. Zernikes Polynome wurden in den 1930er Jahren von Frits Zernike entwickelt und sind orthogonal über einen Kreis mit einem Einheitsradius. Ein komplexes, aberriertes Wellenfrontprofil kann mit Zernike-Polynomen kurvenangepasst werden, um einen Satz von Anpassungskoeffizienten zu erhalten, die individuell verschiedene Arten von Aberrationen darstellen. Diese Zernike-Koeffizienten sind linear unabhängig, so dass einzelne Aberrationsbeiträge zu einer Gesamtwellenfront isoliert und separat quantifiziert werden können.
Es gibt gerade und ungerade Zernike-Polynome. Die geraden Zernike-Polynome sind definiert als
Zn m ( ρ , ϕ ) = rn m ( ρ ) cos ( m ϕ ) {\displaystyle Z_{n}^{m}(\rho ,\phi )=R_{n}^{m}(\rho )\,\cos(m\,\phi )\!}
und die ungeraden Zernike-Polynome als
Zn – m ( ρ , ϕ ) = rn m ( ρ ) sin ( m ϕ ) , {\displaystyle Z_{n}^{-m}(\rho ,\phi )=R_{n}^{m}(\rho )\,\sin(m\,\phi ),\!}
wobei m und n nichtnegative ganze Zahlen mit n ≥ m {\displaystyle n\geq m} sind}
, Φ ist der Azimutwinkel im Bogenmaß und ρ ist der normierte radiale Abstand. Die radialen Polynome R n m {\displaystyle R_{n}^{m}}
haben keine azimutale Abhängigkeit und sind definiert als R n m (ρ ) = ∑ k = 0 (n − m )/ 2 ( − 1 ) k (n − k )! k ! ( ( n + m ) / 2 – k ) ! ( ( n – m ) / 2 – k ) ! ρ n – 2 k wenn n – m gerade ist {\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )=\!\summe _{k=0}^{(n-m)/2}\!\!\!{\frac {(-1)^{k}\,(n-k)!}{k!\,((n+m)/2-k)!\,((n-m)/2-k)!}}\;\rho ^{n-2\,k}\quad {\mbox{if }}n-m{\mbox{ ist gerade}}}
und Rn m ( ρ ) = 0 {\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )=0}
wenn n − m {\displaystyle n-m}
ungerade ist.
Die ersten paar Zernike-Polynome, multipliziert mit ihren jeweiligen Anpassungskoeffizienten, sind:
a 0 × 1 {\displaystyle a_{0}\Zeiten 1}
 |
“ Kolben“, gleich dem Mittelwert der Wellenfront |
a 1 × ρ cos ( ϕ ) {\displaystyle a_{1}\zeiten \rho \cos(\phi )}
 |
“ X-Tilt“, die Abweichung des Gesamtstrahls in sagittaler Richtung |
a 2 × ρ sin ( ϕ ) {\displaystyle a_{2}\Zeiten \rho \sin(\phi )}
 |
„Y-Tilt“, die Abweichung des Gesamtstrahls in tangentialer Richtung |
a 3 × ( 2 ρ 2 − 1 ) {\displaystyle a_{3}\mal (2\rho ^{2}-1)}
 |
“ Defocus“, eine parabolische Wellenfront, die aus Unschärfe resultiert |
a 4 × ρ 2 cos ( 2 ϕ ) {\displaystyle a_{4}\mal \rho ^{2}\cos(2\phi )}
 |
„0° Astigmatismus“, eine zylindrische Form entlang der X- oder Y-Achse |
ein 5 × ρ 2 sin ( 2 ϕ ) {\displaystyle a_{5}\mal \rho ^{2}\sin(2\phi )}
 |
„45° Astigmatismus“, eine zylindrische Form, die bei ± 45 ° von der X-Achse ausgerichtet ist |
a 6 × ( 3 ρ 2 − 2 ) ρ cos ( ϕ ) {\displaystyle a_{6}\Zeiten (3\rho ^{2}-2)\rho \cos(\phi )}
 |
“ X-Coma“, komatisches Bild, das in horizontaler Richtung abfackelt |
a 7 × ( 3 ρ 2 − 2 ) ρ sin ( ϕ ) {\displaystyle a_{7}\mal (3 \ rho ^{2}-2) \ rho \ Sünde (\ phi )}
 |
“ Y-Coma“, komatisches Bild, das in vertikaler Richtung abfackelt |
a 8 × ( 6 ρ 4 − 6 ρ 2 + 1 ) {\displaystyle a_{8}\Zeiten (6\rho ^{4}-6\rho ^{2}+1)}
 |
“ Sphärische Aberration dritter Ordnung“ |
wobei ρ {\displaystyle \rho} }
ist der normalisierte Pupillenradius mit 0 ≤ ρ ≤ 1 {\displaystyle 0\leq\rho \leq 1}
, ϕ {\displaystyle \phi }
ist der azimutale Winkel um die Pupille mit 0 ≤ ϕ ≤ 2 π {\displaystyle 0\leq \phi \leq 2\pi }
und die Anpassungskoeffizienten a 0 , … , a 8 {\displaystyle a_{0},\ldots ,a_{8}}
sind die Wellenfrontfehler in Wellenlängen.
Wie bei der Fourier-Synthese unter Verwendung von Sinus und Cosinus kann eine Wellenfront durch eine ausreichend große Anzahl von Zernike-Polynomen höherer Ordnung perfekt dargestellt werden. Wellenfronten mit sehr steilen Gradienten oder sehr hoher räumlicher Frequenzstruktur, wie sie durch Ausbreitung durch atmosphärische Turbulenzen oder aerodynamische Strömungsfelder erzeugt werden, werden jedoch nicht gut durch Zernike-Polynome modelliert, die dazu neigen, eine feine räumliche Definition in der Wellenfront zu tiefpassfiltern. In diesem Fall können andere Anpassungsmethoden wie Fraktale oder Singulärwertzerlegung zu verbesserten Anpassungsergebnissen führen.
Die Kreispolynome wurden von Frits Zernike eingeführt, um das Punktbild eines aberrierten optischen Systems unter Berücksichtigung der Beugungseffekte auszuwerten. Das perfekte Punktbild in Gegenwart von Beugung war bereits 1835 von Airy beschrieben worden. Es dauerte fast hundert Jahre, um zu einer umfassenden Theorie und Modellierung des Punktbildes aberrierter Systeme zu gelangen (Zernike und Nijboer). Die Analyse von Nijboer und Zernike beschreibt die Intensitätsverteilung nahe der optimalen Fokusebene. Eine erweiterte Theorie, die die Berechnung der Punktbildamplitude und -intensität über ein viel größeres Volumen im Fokusbereich ermöglicht, wurde kürzlich entwickelt (Erweiterte Nijboer-Zernike-Theorie). Diese erweiterte Nijboer-Zernike-Theorie der Punktbild- oder Punktspreizfunktionsbildung hat Anwendungen in der allgemeinen Forschung zur Bilderzeugung, insbesondere für Systeme mit hoher numerischer Apertur, und zur Charakterisierung optischer Systeme hinsichtlich ihrer Aberrationen gefunden.