Sechsdimensionaler Raum

Transformationen in drei Dimensionenbearbeiten

Im dreidimensionalen Raum hat eine starre Transformation sechs Freiheitsgrade, drei Translationen entlang der drei Koordinatenachsen und drei aus der Rotationsgruppe SO(3). Oft werden diese Transformationen separat behandelt, da sie sehr unterschiedliche geometrische Strukturen haben, aber es gibt Möglichkeiten, mit ihnen umzugehen, die sie als ein einziges sechsdimensionales Objekt behandeln.

Schraubentheoriebearbeiten

In der Schraubentheorie werden Winkel- und Lineargeschwindigkeit zu einem sechsdimensionalen Objekt kombiniert, das als Twist bezeichnet wird. Ein ähnliches Objekt namens Schraubenschlüssel kombiniert Kräfte und Drehmomente in sechs Dimensionen. Diese können als sechsdimensionale Vektoren behandelt werden, die sich beim Ändern des Bezugsrahmens linear transformieren. Translationen und Rotationen können auf diese Weise nicht durchgeführt werden, sondern sind durch Potenzierung mit einer Verdrehung verbunden.

Phasenraumbearbeiten

Phasenraum ist ein Raum, der aus der Position und dem Impuls eines Partikels besteht, die in einem Phasendiagramm zusammen dargestellt werden können, um die Beziehung zwischen den Größen hervorzuheben. Ein allgemeines Teilchen, das sich in drei Dimensionen bewegt, hat einen Phasenraum mit sechs Dimensionen, zu viele, um sie zu zeichnen, aber sie können mathematisch analysiert werden.

Rotationen in vier Dimensionenbearbeiten

Die Rotationsgruppe in vier Dimensionen, ALSO(4), hat sechs Freiheitsgrade. Dies kann man an der 4 × 4-Matrix erkennen, die eine Rotation darstellt: Da es sich um eine orthogonale Matrix handelt, wird die Matrix bis zu einer Vorzeichenänderung durch z. B. die sechs Elemente über der Hauptdiagonale bestimmt. Diese Gruppe ist jedoch nicht linear und hat eine komplexere Struktur als andere bisher gesehene Anwendungen.

Eine andere Art, diese Gruppe zu betrachten, ist die Quaternionenmultiplikation. Jede Drehung in vier Dimensionen kann durch Multiplikation mit einem Paar von Einheitsquaternionen erreicht werden, eine vor und eine nach dem Vektor. Diese Quaternionen sind einzigartig, bis zu einer Änderung des Vorzeichens für beide, und erzeugen alle Rotationen, wenn sie auf diese Weise verwendet werden, so dass das Produkt ihrer Gruppen, S3 × S3, eine doppelte Abdeckung von SO (4) ist, die sechs Dimensionen haben muss.

Obwohl der Raum, in dem wir leben, als dreidimensional betrachtet wird, gibt es praktische Anwendungen für den vierdimensionalen Raum. Quaternionen, eine der Möglichkeiten, Rotationen in drei Dimensionen zu beschreiben, bestehen aus einem vierdimensionalen Raum. Rotationen zwischen Quaternionen, beispielsweise zur Interpolation, erfolgen in vier Dimensionen. Die Raumzeit, die drei Raumdimensionen und eine Zeitdimension hat, ist ebenfalls vierdimensional, jedoch mit einer anderen Struktur als der euklidische Raum.

Elektromagnetismus

Im Elektromagnetismus besteht das elektromagnetische Feld im Allgemeinen aus zwei Dingen, dem elektrischen Feld und dem Magnetfeld. Sie sind beide dreidimensionale Vektorfelder, die durch Maxwellsche Gleichungen miteinander verwandt sind. Ein zweiter Ansatz besteht darin, sie in einem einzigen Objekt zu kombinieren, dem sechsdimensionalen elektromagnetischen Tensor, einer Tensor- oder bivektorwertigen Darstellung des elektromagnetischen Feldes. Mit dieser können Maxwellsche Gleichungen aus vier Gleichungen zu einer besonders kompakten Einzelgleichung verdichtet werden:

∂ F = J {\displaystyle \partial \mathbf {F} =\mathbf {J} \,}

wobei F die Bivektorform des elektromagnetischen Tensors, J der Vierstrom und ∂ ein geeigneter Differentialoperator ist.

Stringtheoriebearbeiten

In der Physik ist die Stringtheorie ein Versuch, die allgemeine Relativitätstheorie und die Quantenmechanik mit einem einzigen mathematischen Modell zu beschreiben. Obwohl es ein Versuch ist, unser Universum zu modellieren, findet es in einem Raum mit mehr Dimensionen statt als die vier der Raumzeit, die wir kennen. Insbesondere finden eine Reihe von Stringtheorien in einem zehndimensionalen Raum statt, der zusätzliche sechs Dimensionen hinzufügt. Diese zusätzlichen Dimensionen werden von der Theorie verlangt, aber da sie nicht beobachtet werden können, wird angenommen, dass sie ganz anders sind, vielleicht verdichtet, um einen sechsdimensionalen Raum mit einer bestimmten Geometrie zu bilden, die zu klein ist, um beobachtbar zu sein.

Seit 1997 ist eine weitere Stringtheorie ans Licht gekommen, die in sechs Dimensionen funktioniert. Kleine Stringtheorien sind nicht-gravitative Stringtheorien in fünf und sechs Dimensionen, die entstehen, wenn man Grenzen der zehndimensionalen Stringtheorie betrachtet.