Eine Hochschulprofessorin möchte die Ergebnisse ihrer Schüler mit dem nationalen Durchschnitt vergleichen. Sie wählt eine einfache Zufallsstichprobe (SRS) von 20 Schülern aus, die bei einem standardisierten Test durchschnittlich 50,2 Punkte erzielen. Ihre Werte haben eine Standardabweichung von 2,5. Der nationale Durchschnitt des Tests liegt bei 60. Sie möchte wissen, ob ihre Schüler deutlich unter dem nationalen Durchschnitt liegen.
Signifikanztests folgen einem Verfahren in mehreren Schritten.
Schritt 1bearbeiten
Geben Sie zunächst das Problem in Form einer Verteilung an und identifizieren Sie die interessierenden Parameter. Erwähnen Sie die Probe. Wir gehen davon aus, dass die Punktzahlen (X) der Studenten in der Klasse des Professors ungefähr normalverteilt sind mit unbekannten Parametern μ und σ
Schritt 2bearbeiten
Geben Sie die Hypothesen in Symbolen und Wörtern an.
H O : μ = 60 {\displaystyle H_{O}:\quad \mu =60}
Die Nullhypothese ist, dass ihre Schüler auf Augenhöhe mit dem nationalen Durchschnitt erzielten.
H A : μ < 60 {\displaystyle H_{A}:\quad \mu <60}
Die alternative Hypothese ist, dass ihre Schüler unter dem nationalen Durchschnitt lagen.
Schritt 3bearbeiten
Identifizieren Sie zweitens den zu verwendenden Test. Da wir ein SRS von geringer Größe haben und die Standardabweichung der Grundgesamtheit nicht kennen, verwenden wir einen T-Test mit einer Stichprobe.
Die Formel für die t-Statistik T für einen Test mit einer Stichprobe lautet wie folgt:
T = X – 60 S / 20 {\displaystyle T={\frac {{\overline {X}}-60}{S/{\Quadrat {20}}}}}
wobei X {\displaystyleX}}}}
ist der Mittelwert der Stichprobe und S ist die Standardabweichung der Stichprobe.
Ein ziemlich häufiger Fehler ist zu sagen, dass die Formel für die T-Test-Statistik lautet:
T = x − μ s / n {\displaystyle T={\frac {{\Überlinie {x}}-\mu }{s/{\Quadrat {n}}}}}
Dies ist keine Statistik, weil μ unbekannt ist, was der entscheidende Punkt in einem solchen Problem ist. Die meisten Leute bemerken es sogar nicht. Ein weiteres Problem bei dieser Formel ist die Verwendung von x und s. Sie sind als Stichprobenstatistik und nicht als deren Werte zu betrachten.
Die richtige allgemeine Formel lautet:
T = X – c S / n {\displaystyle T={\frac {{\Überlinie {X}}-c}{S/{\Quadrat {n}}}}}
wobei c der hypothetische Wert für μ ist, der durch die Nullhypothese angegeben wird.
(Die Standardabweichung der Stichprobe geteilt durch die Quadratwurzel der Stichprobengröße wird als „Standardfehler“ der Stichprobe bezeichnet.)
Schritt 4bearbeiten
Geben Sie die Verteilung der Teststatistik unter der Nullhypothese an. Unter H0 folgt die Statistik T der Verteilung eines Schülers mit 19 Freiheitsgraden: T ∼ τ ⋅ (20 − 1 ) {\displaystyle T\sim \tau \cdot (20-1)}
.
Schritt 5bearbeiten
Berechnen Sie den beobachteten Wert t der Teststatistik T, indem Sie die Werte wie folgt eingeben:
t = x – 60 s / 20 = 50.2 − 60.0 2.5 / 20 = − 9.8 2.5 / 4.47 = − 9.8 0.559 = − 17.5 {\ displaystyle t={\frac {{\Überlinie {x}}-60}{s/{\sqrt {20}}}}={\frac {50.2-60.0}{2.5/{\ sqrt {20}}}}={\frac {-9.8}{2.5/4.47}}={\ frac {-9,8}{0.559}}=-17.5}
Schritt 6bearbeiten
Bestimmen Sie den sogenannten p-Wert des Wertes t der Teststatistik T. Wir werden die Nullhypothese für zu kleine Werte von T ablehnen, also berechnen wir den linken p-Wert:
p-Wert = P ( T ≤ t ; H 0 ) = P ( T ( 19 ) ≤ − 17.5 ) ≈ 0 {\ displaystyle = P(T \ leq t; H_{0})= P(T(19) \leq -17,5) \ ungefähr 0}
Die Schülerverteilung ergibt T (19 ) = 1,729 {\displaystyle T(19)=1.729}
bei Wahrscheinlichkeiten 0,95 und Freiheitsgraden 19. Der p-Wert wird bei 1,777e-13 angenähert.
Schritt 7bearbeiten
Interpretieren Sie schließlich die Ergebnisse im Kontext des Problems. Der p-Wert zeigt an, dass die Ergebnisse mit ziemlicher Sicherheit nicht zufällig aufgetreten sind und wir genügend Beweise haben, um die Nullhypothese abzulehnen. Die Studenten des Professors erzielten deutlich niedrigere Punktzahlen als der nationale Durchschnitt.