Chezy und Manning entwickelten Gleichungen, die verwendet werden, um den durchschnittlichen Volumenstrom in offenen Kanälen zu bestimmen. In diesem Artikel wird eine Labormethode erläutert, die entwickelt und getestet wurde, um die Parameter, aus denen die Rauheitskoeffizienten dieser Gleichungen bestehen, weiter zu identifizieren und zu quantifizieren. Diese Methode verwendet eine hydraulische Rinne und nutzt die Technik der dimensionalen Homogenität und eine neue exponentielle Form einer Gleichung für die Instrumentenkalibrierung.
Die genaue Messung mittlerer Geschwindigkeiten in Kanälen oder Durchlässen mit zur Atmosphäre offenen Oberflächen ist seit Jahrhunderten eine Herausforderung. Je größer die Strömungsquerschnittsfläche ist, desto größer ist die Ungenauigkeit oder Unsicherheit der Messung.
Die Strömung im offenen Kanal wird durch die Froude-Beziehung bestimmt, das Verhältnis von Trägheitskräften zu Gravitationskräften. Daher wurde früh in der Geschichte der Hydraulik erkannt, dass die Formel für eine solche Durchschnittsgeschwindigkeit ein Gleichgewicht zwischen der Schwerkraft, die die Strömung verursacht, und der Kanalrauhigkeit sein muss, um die Strömung zu verzögern. Es wurde auch erkannt, dass eine solche Formel für einen gleichmäßigen Fluss gelten müsste, dh für einen stationären Fluss, so dass die Wassertiefe relativ zum Boden der Wasserstraße konstant ist oder d (y) / dx = 0.
Es wird angemerkt, dass in der Rohr- oder Druckströmung das Wort Uniform eine andere Bedeutung hat. In dieser Anwendung bedeutet dies, dass das Geschwindigkeitsprofil über den gesamten Querschnitt eine konstante Geschwindigkeit aufweist. Auf der anderen Seite hat Open-Channel-Hydraulik kein Wort für konstante Geschwindigkeit über einen Querschnitt. In diesem Artikel bedeutet „normal“ die erste dieser beiden Definitionen, dh Steady State und konstante Tiefe. Alle Einheiten in diesem Artikel sind technische Einheiten, wie sie üblicherweise in den USA verwendet werden
Gleichungen, die von Chezy und Manning entwickelt wurden
Die erste anerkannte und dauerhafteste „Widerstands“ -Formel für den stationären Fluss mit offenem Kanal wird Antoine Chezy zugeschrieben. Er hatte die Aufgabe, den Querschnitt zu bestimmen, den Abfluss für die Pariser Wasserversorgung zu berechnen und den Durchfluss zu erhöhen. Er tat dies 1768, indem er die Strömungsverhältnisse zwischen zwei Wasserläufen, dem Courpalet-Kanal und der Seine, verglich. Seine resultierende Formel wurde in seinem Bericht über den Canal de l’Yvette als veröffentlicht:
Vavg = C x R1 / 2 x S1 / 2
wobei Vavg die durchschnittliche Geschwindigkeit in Fuß pro Sekunde ist; C ist Chezys Faktor des Strömungswiderstands in Fuß1 / 2 / s; R ist der hydraulische Radius (die Querschnittsfläche geteilt durch den benetzten Umfang) in Fuß; und S ist die Steigung, die dimensionslos ist. Chezys Arbeit erhielt jedoch erst viele Jahre nach seinem Tod wenig Aufmerksamkeit.
1889 präsentierte ein Ire namens Robert Manning, der Chefingenieur des irischen Amtes für öffentliche Arbeiten war, ein Papier mit dem Titel „Über den Wasserfluss in offenen Kanälen und Rohren.“ Obwohl sein Hauptinteresse die Hydrologie zu sein scheint, leitete er aus all den verschiedenen bis dahin veröffentlichten Widerstandsformeln eine durchschnittliche “ Widerstandsformel“ für offene Kanäle ab. Im heutigen Format lautet diese Gleichung, die wir zur späteren Bezugnahme Gleichung 1 nennen werden:
Vavg = (1.486 / n) x R2 / 3 x S1 / 2
wobei n Mannings Rauheitskoeffizient ist, der numerisch entweder in US-amerikanischen oder metrischen Maßsystemen gleich ist. Im US-System hat es Einheiten von Sekunde / Fuß1 / 3. Wenn metrische Einheiten verwendet werden, wird 1.486 durch 1.0 ersetzt und seine Einheiten sind second / meter1/3.
Mannings Gleichung war die erfolgreichste aller empirischen Gleichungen mit offenem Kanal, basierend auf dem Strömungswiderstand und abgeleitet aus der Beobachtung. In der Tat ist es keine Übertreibung zu sagen, dass es der Eckpfeiler der heutigen Wissenschaft des Wasserbaus ist.
Im klassischen Sinne weisen jedoch sowohl Chezys als auch Mannings Gleichungen mehrere ähnliche Mängel auf. Erstens haben sie keine dimensionale Homogenität, dh die Einheiten auf der linken Seite sind nicht die gleichen wie die Einheiten auf der rechten Seite. Solche Gleichungen werden normalerweise durch Experimentieren oder Beobachtung abgeleitet und verlieren schnell an Genauigkeit, wenn sie über ihren Beobachtungsbereich hinaus extrapoliert werden. Es ist bekannt, dass die Manning-Gleichung bei sehr steilen oder flachen Hängen an Genauigkeit verliert. Zweitens sind ihre Konstanten oder Koeffizienten zur Erzielung einer dimensionalen Homogenität keine reinen Zahlen, sondern künstlich zugewiesene Einheiten.
Darüber hinaus legt Mannings Gleichung nahe, dass die durchschnittliche Geschwindigkeit empfindlicher für den hydraulischen Radius als für die Steigung ist. Dies ist wirklich eine Inkompatibilität, da die Natur der offenen Kanalströmung eine Funktion der Steigungskomponente der Schwerkraft ist. Die Form des Wasserdurchgangs, berechnet durch den hydraulischen Radius, wirkt sich zwar auf die absolute Rauheit aus, ist jedoch kein primärer Effekt auf die Durchschnittsgeschwindigkeit selbst. Je niedriger das hydraulische Radiusverhältnis ist, desto größer ist der Prozentsatz der Strömung, die mit der Rauheit der Grenzen in Kontakt steht.
Darüber hinaus ist die Natur der Gleichungen ein Widerspruch. Die Gleichungen beschreiben eine mittlere Geschwindigkeit, die bei einem Querschnitt senkrecht zur Strömung existiert. Ein solcher Querschnitt hat in Strömungsrichtung eine infinitesimale Dicke, während die Gleichungen auf Koeffizienten beruhen, die als „Rauheitskoeffizienten“ bezeichnet werden.“ Aber der Effekt einer solchen Rauheit braucht eine endliche Länge, um zu existieren – er kann keine Wirkung über eine infinitesimale Dicke haben. Dies bedeutet, dass die Rauheit selbst auf einen anderen Parameter einwirken muss, der über eine infinitesimale Länge existieren kann, um die Strömungsgeschwindigkeit zu verzögern.
Theorie eines Laborexperiments
Die Genauigkeit der Gleichungen von Chezy und Manning hängt von der Auswahl ihrer individuellen Rauheitskoeffizienten ab. Dies geschieht normalerweise durch Vergleich mit bekannten ähnlichen Strömen oder aus einem Nachschlagewerk mit Bildern von Strömen. In dem Artikel mit dem Titel „Dimensionally Homogenous Form of the Chezy and Manning Equations“, der im April 2014 von Hydro Review veröffentlicht wurde, schlug ich jedoch eine neue experimentelle Methode zur Bestimmung der Bestandteile vor, aus denen diese Rauheitskoeffizienten bestehen.
Um die Technik zu demonstrieren, präsentierte ich einer Graduiertenklasse für erneuerbare Energietechnik, die am Hydraulic Laboratory Course des Oregon Institute of Technology (OIT) in Wilsonville, Oregon, eingeschrieben war, ein Experiment zur Identifizierung und Quantifizierung der Komponenten der Rauheitskoeffizienten. Dieses Experiment konzentrierte sich auf Mannings Gleichung und basierte auf dem Prinzip der Dimensionshomogenität. Die OIT-Doktoranden, die an diesem Laborexperiment teilnahmen, waren Joshua Couch, Cole Harrington, Karissa Hilsinger, Tai Huynh, Krystal Locke, William Perreira, Cullen Ryan, Pauloi Santos Vasconcelos Jr., Anurak Sitthiwong und Asmitha Velivela.
Zunächst wurden zwei Parameter gebildet: Hv / S und R. Hv repräsentiert den Geschwindigkeitskopf, dh Hv = (α x Vavg2) / (2 x g), wobei α als Geschwindigkeitskopfkorrekturfaktor oder Coriolis-Faktor bezeichnet wird. Dieser Multiplikator stellt die zusätzliche Energie dar, die entweder in einer offenen oder geschlossenen Druckströmung enthalten ist, die immer dann vorhanden ist, wenn ein Geschwindigkeitsprofil über eine Querschnittsfläche nicht konstant ist. Dies liegt daran, dass die Fluidenergie eine Funktion des Quadrats der Geschwindigkeit ist und die Summe der Quadrate in jedem Fluidstromrohr größer ist als das Quadrat der Summe der Geschwindigkeiten in jedem Stromrohr.
Numerisch ist α immer gleich oder größer eins und dimensionslos. Die Steigung oder S könnte auf beiden parametrischen Seiten aufgetreten sein, wurde jedoch dem Hv-Parameter zugewiesen, da es in der Hydraulik mehr als genügend Beweise dafür gibt, dass die durchschnittliche Geschwindigkeit eine Funktion der Quadratwurzel der Steigung ist, dh Vavg ≈ S1/2. Dann wurde ein Laborexperiment entworfen, das es ermöglichen würde, Daten zu erhalten und als Hv / S versus R zu zeichnen, die beide Einheiten von Fuß haben. Daher sollte jede resultierende experimentelle Gleichung eine dimensionale Homogenität aufweisen.
Die Einheiten von Hv aus der Bernoulli-Gleichung sind Fuß-Pfund pro Pfund oder „spezifische Energie“, sind aber immer noch homogen mit R, das Einheiten von Fuß hat. Es ist zu beachten, dass mit zunehmender Größe von R der benetzte Umfang (P) relativ zur Fläche (A) kleiner wird. Dies bedeutet, dass der Reibungswiderstand gegenüber der Strömung kleiner werden muss und daher die durchschnittliche Geschwindigkeit größer werden sollte. Mit anderen Worten, eine lineare Beziehung zwischen Hv / S und R sollte eine positive Steigung haben.
Testgerät
Eine kleine Laborrinne mit kippbarem Bett und einer Schwimmbadumwälzpumpe, die ein Student im Vorsemester bequem gebaut hatte, wurde für den Einsatz angepasst. Es war sofort klar, dass die Messung des Geschwindigkeitskorrekturfaktors in einer so kleinen Rinne unmöglich sein würde. Die beste Alternative war, nur Steigung, Durchschnittsgeschwindigkeit und Wassertiefe für kritische und gleichmäßige Strömung zu messen.
Bei kritischem Durchfluss, bei dem die Froude-Zahl gleich eins ist, ist die geringste hydraulische Energie für eine bestimmte Menge bewegter Flüssigkeit enthalten. Folglich sollte keine zusätzliche Energie zur Verfügung stehen, um ein nicht konstantes Geschwindigkeitsprofil zu bilden, und der Geschwindigkeitskopfkorrekturfaktor sollte nahe eins liegen. Da die Rinne kurz war, musste außerdem die Energie in der in die Rinne eintretenden Flüssigkeit an das für eine gegebene Durchflussrate in der Rinne gewünschte Energieniveau angepasst werden, so dass sofort eine gleichmäßige oder stationäre Strömung erreicht wurde.
Es war nicht möglich, die Schwimmbadpumpe so fein einzustellen. Folglich entschied sich das Forscherteam, einen zweiten Wassertank einzubauen, die Pumpe in diesen Tank ablassen zu lassen und dann vorsichtig aus diesem Tank in die Rinne abzusaugen. Ein Schalldurchflussmesser, der an den Schlauch zwischen Tank und Rinne angeschlossen war, ergab den Volumenstrom. Es dauerte eine beträchtliche Menge an Zeit und Mühe, um alles für einen einzigen Datenpunkt mit gleichmäßigem, gleichmäßigem und kritischem Fluss in einem so kleinen Kanal auszugleichen. Letztendlich wurden jedoch drei Datenpunkte gesammelt, die ausreichten, um diese Methode der Datenanalyse zu demonstrieren (Tabellen 1 und 2).
Tabelle 1. Diese Tabelle zeigt Daten, die während drei Open-Channel-Experimenten gesammelt wurden, die im Labor unter Verwendung einer Rinse durchgeführt wurden. Quelle: Lee H. Sheldon, PE
Tabelle 2. Diese Tabelle zeigt Daten, die während drei Open-Channel-Experimenten gesammelt wurden, die im Labor unter Verwendung einer Rinse durchgeführt wurden. Quelle: Lee H. Sheldon, PE
Es wird betont, dass diese Datenpunkte in Bezug auf den Volumenstrom eng beieinander lagen. Dies liegt daran, dass eine fünf Zoll breite Rinne, die sowohl für gleichmäßige als auch für kritische Strömungen betrieben wird, keine große Bandbreite an Strömungsvariabilität bietet. Dieses Experiment wurde auch in einer sehr glatten Plexiglasrinne durchgeführt, in der Mannings n nur mit 0,009 gemessen wurde, während 0,012 der glatteste Wert in der veröffentlichten Tabelle der Prototyp-Wasserkanäle ist. Daher sollten alle numerischen Ergebnisse nur für dieses sehr enge hydraulische Regime gelten.
Es wird jedoch auch betont, dass das Ziel dieses Laborexperiments nur darin bestand, zu zeigen, ob diese Methode in zukünftigen, umfangreicheren Forschungen verwendet werden könnte, um weitere Einblicke und Genauigkeit in die Zusammensetzung der Komponenten von Chezys und insbesondere Mannings Gleichungen zu erhalten.
Datenreduktionstechnik
Die Darstellung dieser drei Datenpunkte erfolgte auf die gleiche Weise wie die Instrumentenkalibrierungsgleichung, die in einem Artikel mit dem Titel „A New Calibration Equation for the Winter-Kennedy Piezometer System“ beschrieben wurde, der im Oktober 2013 von Hydro Review veröffentlicht wurde. Diese Methode liefert eine Kalibrierungsgleichung direkt in Exponentialform für den direkten Vergleich mit den üblicherweise verwendeten offenen Kanalgleichungen, dh log10 (Hv / S) wurde als Ordinate oder y-Achse und log10R als Abszisse oder x-Achse aufgetragen (Abbildung 1).
1. Dieses Diagramm zeigt die Modellrinne bei kritischem und gleichmäßigem Durchfluss. Quelle: Lee H. Sheldon, PE
Diese Punkte näherten sich einer geraden Linie und ergaben eine Gleichung der Form: y = mx + b.
log10(Hv / S) = mlog10R + b = log10(Rm) + b
Das Anheben beider Seiten der Gleichung als Potenzen von 10 ergibt:
10^( log10Hv/ S) = 10 ^(log10Rm + b) = 10b x 10^(log10Rm)
Dann durch logarithmische Identität:
Hv/ S = 10b x Rm
oder
Hv = 10b x S x Rm
Ersetzen von Hv ergebnisse in:
aVavg2 /2g = 10b x S x Rm
Das Umordnen von Termen ergibt:
Vavg = (2g10b / α)1/2 x S1 / 2 x Rm / 2
Das Ersetzen von numerischen Werten von m = 0,7497 und b = 1,7328 aus Abbildung 1 ergibt:
Vavg = (2 g x 101,7328 / α) 1/2 x S1/2 x (R0.7497)1/2
Es wird angemerkt, dass die Steigung (m) wie zuvor vorhergesagt positiv ist. Daher:
Vavg = (108,1011 g / α)1/2 x S1 / 2 x R0,3749
Was zu der folgenden Gleichung führt, die wir zur späteren Bezugnahme Gleichung 2 nennen werden:
Vavg = 10.3972(gS/α)1/2 x R3/8
In dieser Form enthält die Open-Channel-Gleichung nun nur noch Parameter, die über eine unendlich dünne Querschnittsfläche bestimmt werden können. Der Vergleich von Gleichung 2 mit Gleichung 1 liefert einen Einblick in die Beziehungen der Parameter in Mannings Gleichung.
Vavg = 10,3972 x (gS / α)1/2 x R3 /8 = (1,486 / n) x R2/ 3 x S1/2
Wenn Sie nun nur die beiden Ausdrücke gleichsetzen und die S1 / 2-Terme aufheben, erhalten Sie:
10,3972 x (g / α)1/2 x R3/8 = (1,486 / n) x R2/3
Die Kombination der R-Terme ergibt:
10,3972 x (g/α)1/2 = (1.486 / n) x R7 / 24
Was zu Folgendem führt, das wir zur späteren Bezugnahme Gleichung 3 nennen werden:
= 0,1429 x (α / g) 1/2 x R7 / 24
Es wird angemerkt, dass Gleichung 2 keine exakte dimensionale Homogenität aufweist. Vernachlässigt man die Werte der numerischen Koeffizienten, wäre der Exponent von R 4/8 anstelle von 3/8 gewesen, und unter Einbeziehung von Einheiten für g (Erdbeschleunigung) hätte er eine exakte Homogenität gehabt. Separat wird angemerkt, dass für Mannings Gleichung, um dimensionale Homogenität zu haben, die Einheiten von n in Gleichung 1 historisch künstlich als Sekunden / Fuß1 / 3 oder Sekunden / Fuß8 / 24 zugewiesen worden waren. In Gleichung 3 hat n nun, auch unter Einbeziehung von Einheiten für g, Einheiten von Sekunden/feet5/24.
Es wird davon ausgegangen, dass diese beiden Unterschiede in der Manning-Gleichung und der Manning-Gleichung auf die Unsicherheit oder Ungenauigkeit der Datenmessung in der begrenzten Testrinne zurückzuführen sind, die den Schülern zur Verfügung steht. Daher wird erneut betont, dass die endgültigen numerischen Ergebnisse dieses Experiments wahrscheinlich ein gewisses Maß an Unsicherheit aufweisen, aber die Methode zur genaueren Quantifizierung der Manning-Gleichung wird deutlich gezeigt.
Der Term S(g) ist die Steigung mal Erdbeschleunigung. Wenn die Steigung d (y) / dx größer wird, wirkt eine größere Gravitationskraft, um die Strömung zu beschleunigen.
Wie bereits erwähnt, ist Mannings Gleichung ein Durchschnitt aller vor 1889 veröffentlichten Open-Channel-Gleichungen. Die Tatsache, dass der Effekt des Geschwindigkeitskopfkorrekturfaktors nicht berücksichtigt wurde, ist durchaus verständlich. Erst 1877 wurde der Coriolis-Geschwindigkeitskopf-Korrekturfaktor als Variable und nicht als Konstante erkannt.
Die Beziehungen von Gleichung 2 zeigen, dass Mannings n eine Metrik für den Geschwindigkeitskopfkorrekturfaktor ist, dh n ist proportional zu α1 / 2. Theoretisch wird, wenn n verdoppelt wird, der Geschwindigkeitskopfkorrekturfaktor vervierfacht und die Durchschnittsgeschwindigkeit halbiert. Dies ist der Mechanismus, durch den die Rauheit der Fluidgrenzen wirkt, um die Strömungsgeschwindigkeit über einen infinitesimal dünnen Querschnitt zu verzögern.
Wie bereits erwähnt, wird Mannings n direkt vom hydraulischen Radius (R7 /24) beeinflusst. Dies zeigt, dass die Auswahl eines Manning’s n nicht nur eine Funktion der Rauheit, sondern der Querschnittsform des Wasserlaufs ist. Die Tatsache, dass Kanäle allein aufgrund ihrer Form sowie ihrer Rauheit einige Unterschiede in der Manning’schen Struktur aufweisen können, wurde bereits in anderer Literatur dokumentiert.
In einem von der Karnataka Engineering Research Station in Indien veröffentlichten Artikel mit dem Titel „Determination of Rugosity Coefficient for Lined and Unlined Channels“ heißt es: „Die Strömung in Kanälen wird durch die Tatsache erschwert, dass die Form der Rauheitselemente und damit der Strömungswiderstand Funktionen der Eigenschaften der Kanalform und -ausrichtung sind. Diese Faktoren bilden den Rugosity-Koeffizienten oder den Rauheitskoeffizienten.“ Der Grund ist, wie bereits erwähnt, je kleiner der hydraulische Radius ist, desto größer ist der relative Prozentsatz des Strömungsvolumens, das in direktem Kontakt mit der gegebenen absoluten Rauheit der Grenze steht. Je größer der Widerstand ist, den die Grenze zur Verzögerung des Volumenstroms ausübt, desto ungleichmäßiger wird daher das Geschwindigkeitsprofil, wie durch α berechnet. Je kleiner also der hydraulische Radius ist, desto größer ist der Energieverlust. Umgekehrt neigt das Geschwindigkeitsprofil dazu, sich über den Querschnitt zu vereinheitlichen, je größer der hydraulische Radius ist. Zufälligerweise ist Chezys C umgekehrt proportional zu R1 / 8.
Die von Chezy und Manning entwickelten Gleichungen mögen sehr einfach erscheinen; Sie stellen jedoch komplexe Wechselwirkungen hydraulischer Parameter von Flüssigkeiten in offenen Kanälen dar. Das in diesem Artikel vorgestellte experimentelle Verfahren kann verwendet werden, um diese Wechselwirkungen zu untersuchen. Die Verwendung dieser experimentellen Methode auf der oben beschriebenen sehr begrenzten und engen Basis legt nahe, dass der Unterschied zwischen Chezys und Mannings Gleichungen möglicherweise nicht so groß ist, wie es scheint. Der wirkliche Unterschied kann mehr in dem Grad der Abhängigkeit liegen, den jeder Strömungswiderstandskoeffizient vom Geschwindigkeitskopfkorrekturfaktor und dem hydraulischen Radius hat.
-Lee H. Sheldon, PE ist ein Wasserkraftingenieur mit 50 Jahren Erfahrung. Er hat veröffentlicht 33 technische Arbeiten und ein College-Lehrbuch über Wasserkrafttechnik, und hat an jedem Wasserkraftprojekt des Bundes im pazifischen Nordwesten gearbeitet, unter anderem. Zuvor war er Professor am OIT, wo er Wasserkrafttechnik und Strömungsmechanik lehrte.