tärkeitä funktionaalianalyysin tuloksia ovat:
Uniform boundedness principleEdit
uniform boundedness principle tai Banach–Steinhausin lause on yksi funktionaalianalyysin perustuloksista. Yhdessä Hahnin–Banachin lauseen ja avoimen kartoituslauseen kanssa sitä pidetään yhtenä alan kulmakivistä. Sen perusmuoto, se väittää, että perheen jatkuva lineaarinen toimijoiden (ja siten rajattu toimijoiden), joiden verkkotunnus on Banach avaruus, pointwise boundedness vastaa yhdenmukaista boundedness operaattori normi.
lauseen julkaisivat ensimmäisen kerran vuonna 1927 Stefan Banach ja Hugo Steinhaus, mutta sen todisti itsenäisesti myös Hans Hahn.
Lause (Uniform Boundedness Principle). Olkoon X Banachin avaruus ja Y normitettu vektoriavaruus. Oletetaan, että F on kokoelma jatkuvia lineaarioperaattoreita X: stä Y: hen. Jos kaikilla x: llä on
sup T ∈ F ‖ T (x ) ‖ Y <∞, {\displaystyle \sup \nolimits _{t\in F}\ / T (x)\/ _ {Y}< \infty,}
silloin
sup T ∈ F ‖ T ‖ B (X , Y ) <∞ . {\displaystyle \sup \nolimits _{T\in F}\|T\ / _{B(X,Y)}<\infty .}
Spektrilause
on olemassa useita teoreemoja, jotka tunnetaan spektrilauseena, mutta erityisesti yhdellä on monia sovelluksia funktionaalianalyysissä.
lause:olkoon a rajattu itsesäätyvä operaattori Hilbertin avaruudella H. silloin on mitta-avaruus (X, Σ, μ) ja reaaliarvoinen olennaisesti rajattu mitattava funktio f x: llä ja unitaarinen operaattori U: H → L2µ(X) siten, että
U ∗ T U = A {\displaystyle U^{*}TU=a\;}
missä T on kertolaskuoperaattori:
(x) = f ( x) φ ( x). {\displaystyle (x)=f(x)\varphi (x).\;}
ja ‖ T ‖ = ‖ F ‖ ∞ {\displaystyle \ / T\/ = \ / f\/ _ {\infty }}
tästä alkaa laaja funktionaalisen analyysin tutkimusalue nimeltä operaattoriteoria; Katso myös spektrimitta.
Hilbertin avaruuksia rajoittaville normaalioperaattoreille on olemassa myös analoginen spektrilause. Ainoa ero johtopäätös on, että nyt F {\displaystyle f}
voi olla monimutkainen-arvostettu.
Hahn-Banachin lause
Hahnin-Banachin lause on keskeinen työkalu funktionaalianalyysissä. Se mahdollistaa jonkin vektoriavaruuden aliavaruudelle määriteltyjen rajoitettujen lineaaristen funktioiden laajentamisen koko avaruuteen, ja se osoittaa myös, että jokaiselle normitetulle vektoriavaruudelle on määritelty ”riittävästi” jatkuvia lineaarisia funktioita, jotta duaaliavaruuden tutkiminen olisi ”mielenkiintoista”.
Hahn–Banachin lause: Jos p : V → r on sublineaarinen funktio, ja φ : U → R on lineaarinen funktio lineaarisessa aliavaruudessa U ⊆ V, jota hallitsee p U: lla, ts.
φ ( x ) ≤ p ( x ) ∀ x ∈ U – {\displaystyle \varphi (x)\leq p(x)\qquad \kaikille x\U}
niin on olemassa lineaarinen ψ : V → R φ koko avaruuden V, eli on olemassa lineaarinen toiminnallinen ψ siten, että
ψ ( x ) = φ ( x ) ∀ x ∈ U , {\displaystyle \psi (x)=\varphi (x)\qquad \kaikille x\U,}
ψ ( x ) ≤ p ( x ) ∀ x ∈ V . {\displaystyle \psi (x)\leq p(x)\qquad \forall x\in V.}
avoin kartoituslause
avoin kartoituslause, joka tunnetaan myös nimellä Banach–Schauderin lause (nimetty Stefan Banachin ja Juliusz Schauderin mukaan), on perustavanlaatuinen tulos, jossa todetaan, että jos jatkuva lineaarinen operaattori välillä Banach spaces on surjective sitten se on avoin kartta. Tarkemmin:
avoin kartoituslause. Jos X ja Y ovat Banachin avaruuksia ja A : X → Y on surjektiivinen jatkuva lineaarinen operaattori, niin A on avoin kartta (ts. jos U on avoin joukko X: ssä, niin A(U) on avoin Y: ssä).
todistuksessa käytetään Bairen kategorialausetta, ja sekä X: n että Y: n täydellisyys on olennaista lauseelle. Lauseen väite ei ole enää tosi, jos jommankumman avaruuden oletetaan vain olevan normiavaruus, vaan se on tosi, jos X ja Y otetaan Fréchet-avaruuksiksi.
suljettu kuvaajalause
suljettu kuvaajalause toteaa seuraavaa:Jos X on topologinen avaruus ja Y kompakti Hausdorffin avaruus, niin lineaarisen kartan T: n kuvaaja X: stä Y: hen on suljettu, jos ja vain jos T on jatkuva.