Kuusiulotteinen avaruus

transformaatiot kolmiulotteisessa avaruudessa

kolmiulotteisessa avaruudessa jäykällä transformaatiolla on kuusi vapausastetta, kolme käännöstä kolmen koordinaattiakselin suuntaisesti ja kolme rotaatioryhmästä SO(3). Usein näitä muunnoksia käsitellään erikseen, koska niillä on hyvin erilaiset geometriset rakenteet, mutta on olemassa tapoja käsitellä niitä, jotka käsittelevät niitä yhtenä kuusiulotteisena kappaleena.

Ruuviteoriat

kulmikas ja lineaarinen nopeus yhdistetään yhdeksi kuusiulotteiseksi kappaleeksi, jota kutsutaan kierteeksi. Samanlainen esine nimeltä jakoavain yhdistää voimat ja vääntömomentit kuudessa ulottuvuudessa. Näitä voidaan käsitellä kuusiulotteisina vektoreina, jotka muuntuvat lineaarisesti viitekehystä vaihdettaessa. Käännöksiä ja rotaatioita ei voi tehdä tällä tavalla, vaan ne liittyvät eksponentiaation kautta tapahtuvaan kierteeseen.

Vaihetila

Faasiavaruus on hiukkasen asemasta ja liikemäärästä koostuva tila, joka voidaan piirtää yhteen faasidiagrammissa suureiden välisen suhteen korostamiseksi. Kolmessa ulottuvuudessa liikkuvalla yleishiukkasella on faasiavaruus, jossa on kuusi ulottuvuutta, liian monta piirrettäväksi, mutta ne voidaan analysoida matemaattisesti.

rotaatiot neljässä ulottuvuudessa

neljän ulottuvuuden rotaatioryhmällä, SO(4), on kuusi vapausastetta. Tämä voidaan nähdä tarkastelemalla 4 × 4-matriisia, joka edustaa rotaatiota: koska se on ortogonaalinen matriisi, matriisi määritetään merkkimuutokseen asti esimerkiksi pääviisikon yläpuolisten kuuden elementin avulla. Mutta tämä ryhmä ei ole lineaarinen, ja se on monimutkaisempi rakenne kuin muut sovellukset nähnyt tähän mennessä.

toinen tapa tarkastella tätä ryhmää on kvaternioiden kertolasku. Jokainen kierto neljässä ulottuvuudessa voidaan saavuttaa kertomalla yksikkökvaternioilla, yksi ennen ja yksi jälkeen vektorin. Nämä kvaterniot ovat ainutlaatuisia, jopa merkkimuutokseen asti molemmille, ja tuottavat kaikki rotaatiot, kun niitä käytetään tällä tavalla, joten niiden ryhmien tulo, S3 × S3, on so(4): n kaksinkertainen kansi, jolla on oltava kuusi ulottuvuutta.

vaikka avaruutta pidetään kolmiulotteisena, neliulotteiselle avaruudelle on olemassa käytännön sovelluksia. Kvaterniot, yksi tapa kuvata pyörimisiä kolmessa ulottuvuudessa, koostuvat neliulotteisesta avaruudesta. Esimerkiksi kvaternioiden väliset rotaatiot interpolointia varten tapahtuvat neljässä ulottuvuudessa. Aika-avaruus, jolla on kolme avaruusulottuvuutta ja yksi aikaulottuvuus, on myös neliulotteinen, joskin rakenteeltaan erilainen kuin euklidinen avaruus.

Sähkömagnetismedit

sähkömagnetismissa sähkömagneettisen kentän ajatellaan yleensä muodostuvan kahdesta asiasta, sähkökentästä ja magneettikentästä. Ne ovat molemmat kolmiulotteisia vektorikenttiä, jotka liittyvät toisiinsa Maxwellin yhtälöiden avulla. Toinen lähestymistapa on yhdistää ne yhdeksi kappaleeksi, kuusiulotteiseksi sähkömagneettiseksi tensoriksi, sähkömagneettisen kentän tensoriksi tai bivektoriksi. Tämän avulla Maxwellin yhtälöt voidaan tiivistää neljästä yhtälöstä erityisen kompaktiksi yksittäiseksi yhtälöksi:

∂ F =J {\displaystyle \partial \mathbf {F} = \mathbf {J} \,}

missä F on sähkömagneettisen tensorin bivektorimuoto, J on nelivirta ja ∂ on sopiva differentiaalioperaattori.

säieteoria

fysiikassa säieteoria on yritys kuvata yleistä suhteellisuusteoriaa ja kvanttimekaniikkaa yhdellä matemaattisella mallilla. Vaikka kyseessä on yritys mallintaa universumiamme, se tapahtuu avaruudessa, jossa on enemmän ulottuvuuksia kuin meille tutussa aika-avaruuden nelikossa. Erityisesti joukko säieteorioita tapahtuu kymmenulotteisessa avaruudessa, jolloin siihen lisätään ylimääräinen kuusi ulottuvuutta. Teoria edellyttää näitä ylimääräisiä ulottuvuuksia, mutta koska niitä ei voida havaita, niiden ajatellaan olevan aivan erilaisia, ehkä kompaktifioituja muodostamaan kuusiulotteinen avaruus, jonka tietty geometria on liian pieni ollakseen havainnoitavissa.

vuodesta 1997 on tullut esiin toinen säieteoria, joka toimii kuudessa ulottuvuudessa. Pienet säieteoriat ovat viiden ja kuuden ulottuvuuden ei-gravitatiivisia säieteorioita, jotka syntyvät tarkasteltaessa kymmenulotteisen säieteorian rajoja.