tähtitieteilijä Galileo Galilei kirjoitti Il Saggiatore-kirjassaan, että ” on kirjoitettu matematiikan kielellä, ja sen merkit ovat kolmioita, ympyröitä ja muita geometrisia lukuja.”Taiteilijoiden, jotka pyrkivät tutkimaan luontoa, täytyy Galilein mielestä ensin ymmärtää täysin matematiikka. Matemaatikot taas ovat pyrkineet tulkitsemaan ja analysoimaan taidetta geometrian ja rationaalisuuden linssin läpi. Matemaatikko Felipe Cucker esittää, että matematiikka ja erityisesti geometria ovat ”sääntöpohjaisen taiteellisen luomisen” sääntöjen lähde, joskaan ei ainoa. Seuraavassa on kuvattu joitakin tuloksena olevan monimutkaisen suhteen monista säikeistä.
matematiikka taiteena
matemaatikko Jerry P. King kuvaa matematiikkaa taiteena ja toteaa, että” matematiikan avaimet ovat kauneus ja tyylikkyys eikä tylsyys ja teknisyys”, ja että kauneus on matemaattisen tutkimuksen motivoiva voima. King mainitsee matemaatikko G. H. Hardyn esseen a Mathematician ’ s Apology vuodelta 1940. Siinä Hardy pohtii, miksi hän löytää kaksi klassisen ajan teoreemaa ykkösluvuksi, eli Eukleideen todisteena on äärettömän monta alkulukua, ja todisteena siitä, että 2: n neliöjuuri on irrationaalinen. King arvioi tämän viimeisen Hardyn matemaattisen eleganssin kriteereillä: ”vakavuus, syvyys, yleisyys, odottamattomuus, väistämättömyys ja taloudellisuus” (kuninkaan kursivointi), ja kuvaa todistusta ”esteettisesti miellyttäväksi”. Unkarilainen matemaatikko Paul Erdős oli samaa mieltä siitä, että matematiikassa on kauneutta, mutta piti syitä selittämättöminä: ”miksi numerot ovat kauniita? Kuin kysyisi, miksi Beethovenin yhdeksäs sinfonia on kaunis. Jos et näe syytä, joku ei voi kertoa. Tiedän, että numerot ovat kauniita.”
Arteditin matemaattiset työkalut
matematiikasta voidaan havaita monia taiteita, kuten musiikki, tanssi, maalaus, arkkitehtuuri ja kuvanveisto. Jokainen näistä liittyy runsaasti matematiikkaan. Niistä yhteyksiä kuvataiteen, matematiikka voi tarjota työkaluja taiteilijoille, kuten sääntöjä lineaarisen perspektiivin kuvattu Brook Taylor ja Johann Lambert, tai menetelmiä deskriptiivisen geometrian, nyt sovellettu ohjelmisto mallintaminen kiintoaineiden, vuodelta Albrecht Dürer ja Gaspard Monge. Taiteilijat Luca Paciolista keskiajalla ja Leonardo da Vinci ja Albrecht Dürer renessanssista ovat hyödyntäneet ja kehittäneet matemaattisia ideoita taiteellisen työnsä harjoittamisessa. Perspektiivin käyttö alkoi siitä huolimatta, että antiikin Kreikan arkkitehtuurissa käytettiin jonkin verran alkioasteita, italialaisten taidemaalarien, kuten Giotton kanssa 1200-luvulla; Brunelleschin noin vuonna 1413 muotoilemat säännöt, kuten vanishing point, hänen teoriansa vaikutti Leonardoon ja Düreriin. Isaac Newtonin optista spektriä käsittelevä työ vaikutti Goethen väriteoriaan ja vuorostaan taiteilijoihin, kuten Philipp Otto Rungeen, J. M. W. Turneriin, Prerafaeliitteihin ja Wassily Kandinskyyn. Taiteilijat voivat myös halutessaan analysoida kohtauksen symmetriaa. Työkaluja voivat soveltaa matemaatikot, jotka tutkivat taidetta, tai taiteilijat innoittamana matematiikan, kuten M. C. Escher (innoittamana H. S. M. Coxeter) ja arkkitehti Frank Gehry, jotka sitkeästi väitti, että tietokoneavusteinen suunnittelu mahdollisti hänelle ilmaista itseään aivan uudella tavalla.
taiteilija Richard Wright esittää, että rakennettavat matemaattiset objektit voidaan nähdä joko ”ilmiöitä simuloivina prosesseina” tai ”tietokonetaiteen”teoksina. Hän katsoo luonne matemaattisen ajattelun, todeten, että fraktaalit olivat tiedossa matemaatikot vuosisadan ennen kuin ne tunnustettiin sellaisiksi. Wright toteaa lopuksi, että matemaattiset objektit on sopivaa alistaa mille tahansa menetelmälle, jolla ”tullaan toimeen kulttuuriesineiden, kuten taiteen, objektiivisuuden ja subjektiivisuuden välisen jännitteen, niiden metaforisten merkityksien ja edustusjärjestelmien luonteen kanssa.”Hän antaa instansseiksi Kuvan Mandelbrotin joukosta, kuvan, joka on luotu soluautomaatin algoritmilla, ja tietokoneella renderöidyn kuvan, ja pohtii Turingin testiin viitaten, voivatko algoritmiset tuotteet olla taidetta. Sasho Kalajdzievskin matematiikka ja taide: An Introduction to Visual Mathematics takes a similar approach, tarkastellaan sopivasti visual mathematics aiheita, kuten tilings, fraktals ja hyperbolic geometry.
ensimmäisiä tietokonetaideteoksia oli Desmond Paul Henryn ”Drawing Machine 1”, joka oli pommitähtitietokoneeseen perustuva analoginen kone, joka esiteltiin vuonna 1962. Kone kykeni luomaan monimutkaisia, abstrakteja, epäsymmetrisiä, kurvikkaita, mutta toistuvia viivapiirroksia. Viime aikoina Hamid Naderi Yeganeh on luonut muotoja, jotka viittaavat reaalimaailman esineitä, kuten kaloja ja lintuja, käyttäen kaavoja, jotka ovat peräkkäin erilaisia piirtää perheiden käyriä tai kulma linjat. Taiteilijat kuten Mikael Hvidtfeldt Christensen luovat generatiivista tai algoritmista taidetta kirjoittamalla skriptejä Ohjelmistojärjestelmälle, kuten Structure Synth: taiteilija ohjaa järjestelmän tehokkaasti soveltamaan haluttua matemaattisten operaatioiden yhdistelmää valittuun datajoukkoon.
-
Bathsheba Grossmanin matemaattinen veistos, 2007
-
Fraktaaliveistos: 3D Fraktal 03 / H / dd Hartmut Skerbisch, 2003
-
Fibonacci sana: yksityiskohta taidetta Samuel Monnier, 2009
-
Desmond Paul Henryn ”Drawing Machine 1”: n tuottama Tietokonetaidekuva, näytteillä 1962
-
A Bird In Flight, Hamid Naderi Yeganeh, 2016, rakennettu perheen matemaattisia käyriä.
matematiikasta arteditiin
matemaatikko ja teoreettinen fyysikko Henri Poincarén Tiede ja hypoteesi luettiin laajalti kubistien, kuten Pablo Picasson ja Jean Metzingerin keskuudessa. Koska perusteellisesti perehtynyt Bernhard Riemannin työtä Epäeuklidinen geometria, Poincaré oli enemmän kuin tietoinen siitä, että Euklidinen geometria on vain yksi monista mahdollisista geometrinen kokoonpanoissa, eikä absoluuttinen objektiivinen totuus. Neljännen ulottuvuuden mahdollinen olemassaolo innoitti taiteilijoita kyseenalaistamaan klassisen renessanssin näkökulman: epäeuklidisesta geometriasta tuli pätevä vaihtoehto. Käsitys, jonka mukaan maalaus voitiin ilmaista matemaattisesti, väreinä ja muotoina, vaikutti kubismiin, abstraktiin taiteeseen johtaneeseen taideliikkeeseen. Metzinger, vuonna 1910, kirjoitti, että: ”esittää vapaan, liikkuvan näkökulman, josta nerokas matemaatikko Maurice Princet on päätellyt kokonaisen geometrian”. Myöhemmin Metzinger kirjoitti muistelmissaan:
Maurice Princet tuli usein mukaan … taiteilijana hän käsitteellisti matematiikkaa, esteetikkona hän vetosi n-ulotteisiin jatkumoihin. Hän halusi saada artistit kiinnostumaan Schlegelin ja joidenkin muiden avaamista uusista tilanäkymistä. Siinä hän onnistui.
impulssi tehdä matemaattisten muotojen opetus-tai tutkimusmalleja luo luonnostaan objekteja, joilla on symmetrioita ja yllättäviä tai miellyttäviä muotoja. Jotkut näistä ovat innoittaneet taiteilijoita, kuten Dadaistit Man Ray, Marcel Duchamp ja Max Ernst, ja Man Rayn jälkeen Hiroshi Sugimoto.
Man Ray kuvasi joitakin matemaattisia malleja Institut Henri Poincaréssa Pariisissa, mukaan lukien Objet mathematique (matemaattinen objekti). Hän huomautti, että tämä edusti Enneperin pintoja, joilla on jatkuva negatiivinen kaarevuus, joka on johdettu pseudopallosta. Tämä matemaattinen perusta oli hänelle tärkeä, sillä se antoi hänelle mahdollisuuden kieltää, että esine oli ”abstrakti”, vaan väittää, että se oli yhtä todellinen kuin pisuaari, josta Duchamp teki taideteoksen. Man Ray myönsi, että esineen kaava ” ei merkinnyt minulle mitään, mutta muodot itsessään olivat yhtä vaihtelevia ja autenttisia kuin mikä tahansa luonnossa.”Hän käytti matemaattisten mallien valokuviaan lukuina Shakespearen näytelmiin tekemissään sarjoissa, kuten vuonna 1934 maalaamassaan Antony ja Kleopatra-maalauksessa. Taidetoimittaja Jonathan Keats kirjoittaa ForbesLife-lehdessä, että Man Ray kuvasi ”ellipsinmuotoiset paraboloidit ja kartioleikkaukset samassa aistillisessa valossa kuin hänen kuvansa Kiki de Montparnassesta”, ja ”nerokkaasti repurposes the cool calculations of mathematics to reveal the topology of desire”. Vuosisadan kuvanveistäjät kuten Henry Moore, Barbara Hepworth ja Naum Gabo ottivat vaikutteita matemaattisista malleista. Moore kirjoitti hänen 1938 kielinen äiti ja lapsi: ”epäilemättä lähde minun kielisiä lukuja oli Science Museum … Minua kiehtoivat siellä näkemäni matemaattiset mallit … Se ei ollut tieteellinen tutkimus näistä malleista, vaan kyky katsoa narujen läpi kuin lintuhäkin ja nähdä yksi muoto toisen sisällä, joka innosti minua.”
taiteilijat Theo van Doesburg ja Piet Mondrian perustivat De Stijl-liikkeen, jonka he halusivat ”luoda visuaalisen sanaston, joka koostuu geometrisista alkeismuodoista, jotka ovat kaikkien ymmärrettäviä ja mukautettavissa mihin tahansa tieteenalaan”. Monet heidän taideteoksistaan koostuvat näkyvästi hallituista neliöistä ja kolmioista, joskus myös ympyröistä. De Stijl-taiteilijat työskentelivät maalaustaiteen, huonekalujen, sisustussuunnittelun ja arkkitehtuurin parissa. De Stijlin hajoamisen jälkeen Van Doesburg perusti Avant-garde Art Concret-liikkeen, jossa hän kuvaili vuosien 1929-1930 aritmeettista kokoonpanoaan, neljän mustan neliön sarjaa neliömäisen taustan lävistäjällä, ”rakenteeksi, jota voidaan hallita, määräiseksi pinnaksi ilman sattuman elementtejä tai yksittäisiä kapriisia”, mutta ”ei puuttunut henkeä, ei puuttunut universaalia eikä … tyhjä, koska siellä on kaikki, mikä sopii sisäiseen rytmiin”. Taidekriitikko Gladys Fabre huomauttaa, että maalauksessa vaikuttaa kaksi progressiota: kasvavat mustat neliöt ja vuorottelevat taustat.
tessellaation, monitahokkaan, avaruuden muokkauksen ja itseviittauksen matematiikka antoi graafikko M. C. Escherille (1898-1972) elinikäisen materiaalin puupiirroksiinsa. Alhambran luonnoksessa Escher osoitti, että taidetta voidaan luoda monikulmioilla tai säännöllisillä muodoilla, kuten kolmioilla, neliöillä ja kuusikulmioilla. Escher käytti epäsäännöllisiä polygoneja laatoitettaessa tasoa ja käytti usein heijastuksia, liukuheijastuksia ja käännöksiä saadakseen lisää kuvioita. Monet hänen teoksistaan sisältävät mahdottomia konstruktioita, jotka on tehty käyttämällä geometrisiä esineitä, jotka on perustettu ristiriita perspektiiviprojektio ja kolme ulottuvuutta, mutta ovat miellyttäviä ihmisen näköpiirissä. Escherin nouseva ja laskeva teos perustuu lääketieteen tutkija Lionel Penrosen ja hänen poikansa matemaatikko Roger Penrosen luomaan” mahdottomaan portaikkoon”.
jotkut Escherin monista tessellaatiopiirroksista saivat innoituksensa matemaatikko H. S. M. Coxeterin kanssa käydyistä keskusteluista hyperbolisesta geometriasta. Escher oli erityisen kiinnostunut viidestä erityisestä monitahokkaasta, jotka esiintyvät hänen teoksissaan monta kertaa. Platoniset kiintoaineet-tetraedrit, kuutiot, oktaedrit, dodekaedrit ja ikosaedrit—ovat erityisen merkittäviä järjestyksessä ja kaaoksessa ja neljässä säännöllisessä Kiintoaineessa. Nämä stelloidut luvut sijoittuvat usein toiseen lukuun, joka vääristää entisestään monitahokkaiden katselukulmaa ja konformaatiota ja tarjoaa monitahoisen perspektiivitaiteen.
matemaattisten rakenteiden, kuten tessellaatioiden ja monitahokkaiden visuaalinen koukeroisuus on innoittanut monia erilaisia matemaattisia taideteoksia. Stewart Coffin tekee monitahokkaita arvoituksia harvinaisiin ja kauniisiin metsiin; George W. Hart työskentelee monitahokkaiden teorian parissa ja veistelee niistä inspiroituneita esineitä; Magnus Wenninger tekee ”erityisen kauniita” malleja monimutkaisista stelloiduista monitahokkaista.
anamorfoosin vääristyneitä perspektiivejä on tutkittu taiteessa 1500-luvulta lähtien, jolloin Hans Holbein nuorempi liitti pahasti vääristyneen kallon vuonna 1533 maalaukseensa lähettiläät. Monet taiteilijat, kuten Escher, ovat sittemmin hyödyntäneet anamorfisia temppuja.
topologian matematiikka on innoittanut useita taiteilijoita nykyaikana. Kuvanveistäjä John Robinson (1935-2007) loi teoksia, kuten Gordianus Knot ja bands of Friendship, jotka esittävät solmuteoriaa kiillotetusta pronssista. Muut Robinsonin teokset tutkivat toorusten topologiaa. Genesis perustuu Borromean renkaisiin-kolmen ympyrän joukkoon, joista ei ole kahta linkkiä, mutta jossa koko rakennetta ei voi purkaa rikkomatta. Kuvanveistäjä Helaman Ferguson luo monimutkaisia pintoja ja muita topologisia esineitä. Hänen teoksensa ovat visuaalisia representaatioita matemaattisista olioista; kahdeksanosainen tapa perustuu projektiiviseen erityiseen lineaariseen ryhmään PSL (2,7), joka on 168 alkuaineen äärellinen ryhmä. Kuvanveistäjä Bathsheba Grossman perustaa samoin työnsä matemaattisiin rakenteisiin. Taiteilija Nelson Saiers yhdistää taiteessaan matemaattisia käsitteitä ja teoreemoja toposeista ja järjestelmistä neljän värin lauseeseen ja π: n irrationaalisuuteen.
liberal arts inquiry-projektissa tutkitaan matematiikan ja taiteen yhteyksiä Möbius-Stripin, flexagonien, origami-ja panoraamakuvauksen kautta.
matemaattiset esineet, kuten Lorenzin monisto ja hyperbolinen taso, on muotoiltu kuitutaiteilla, kuten virkkauksella. Yhdysvaltalainen kutoja Ada Dietz kirjoitti vuonna 1949 monografian Algebralliset ilmaisut Käsinkudotuissa tekstiileissä, jossa hän määritteli kudontakuviot monimuuttujapolynomien laajenemisen perusteella. Matemaatikko Daina Taimiņa demonstroi hyperbolisen tason piirteitä virkkaamalla vuonna 2001. Tämä johti Margaret ja Christine Wertheim virkkaamaan koralli riutta, joka koostuu monista merieläimistä, kuten nudibrancheista, joiden muodot perustuvat hyperbolisiin tasoihin. Matemaatikko J. C. P. Miller käytti sääntö 90-soluautomaattia suunnitellessaan kuvakudoksia, jotka kuvasivat sekä puita että abstrakteja kolmiokuvioita. ”Matemaatikot” Pat Ashforth ja Steve Plummer käyttivät opetuksessaan neulottuja versioita matemaattisista esineistä, kuten heksaflexagoneista, vaikka heidän Menger-sienensä osoittautuikin liian hankalaksi neulottavaksi ja se oli sen sijaan valmistettu muovikankaasta. Heidän ”mathghans” (Afghans for Schools) – projektinsa toi neulomisen osaksi brittiläistä matematiikan ja teknologian opetussuunnitelmaa.
-
neliulotteinen avaruus Kubismille: Esprit Jouffret ’ n vuoden 1903 Traité élémentaire de géométrie à quatre dimensions.
-
De Stijl: Theo van Doesburgin geometrinen sävellys I (asetelma), 1916
-
pedagogiikka taiteeseen: Magnus Wenninger joidenkin stelloitujen monitahokkaidensa kanssa, 2009
-
Möbiuksen nauhahuivi virkkauksessa, 2007
-
Anamorfismi: Hans Holbein nuoremman lähettiläät, 1533, vakavasti vääristynyt kallo etualalla
-
Virkattu koralli riutta: monet eläimet mallinsivat Margaret ja Christine Wertheim hyperbolisina tasoina vaihtelevin parametrein. Föhrin riutta, Tübingen, 2013
kuvitus mathematicsEdit
mallintaminen ei suinkaan ole ainoa mahdollinen tapa havainnollistaa matemaattisia käsitteitä. Giotton Stefaneschi-triptyykki vuodelta 1320 kuvaa rekursiota muodossa mise en abyme; triptyykin keskitaulussa on vasemmalla alhaalla kardinaali Stefaneschin polvistuva hahmo, joka pitää triptyykkiä uhrina. Giorgio de Chiricon metafyysiset maalaukset, kuten hänen vuoden 1917 Suuri metafyysinen sisustuksensa, tutkivat kysymystä taiteen esitystasoista kuvaamalla maalauksia hänen maalaustensa sisällä.
taide voi olla esimerkki loogisista paradokseista, kuten joissakin surrealistin René Magritten maalauksissa, jotka voidaan lukea semioottisina vitseinä tasojen välisestä sekaannuksesta. ”La condition humaine” – teoksessa (1933) Magritte kuvaa maalaustelinettä (oikealla kankaalla), joka tukee saumattomasti näkymää maalauksen ”oikeiden” verhojen kehystämästä ikkunasta. Samoin Escher ’ s Print Gallery (1956) on tulosta, joka kuvaa vääristynyt kaupunki, joka sisältää galleria, joka rekursiivisesti sisältää kuvan, ja niin ad infinitum. Magritte käytti palloja ja kuutioita vääristääkseen todellisuutta eri tavalla maalaten ne vuonna 1931 julkaistussa henkisessä Aritmetiikassaan erilaisten talojen rinnalle ikään kuin ne olisivat lasten rakennuspalikoita, mutta talon kokoisia. The Guardian huomautti, että” aavemainen toytown-kuva ”ennusti modernismin anastavan” kodikkaita perinteisiä muotoja”, mutta leikkii myös ihmisen taipumuksella etsiä kuvioita luonnosta.
Salvador Dalín viimeinen maalaus pääskysen häntä (1983) oli osa René Thomin katastrofiteorian innoittamaa sarjaa. Espanjalainen taidemaalari ja kuvanveistäjä Pablo Palazuelo (1916-2007) keskittyi muodon tutkimiseen. Hän kehitti tyylin, jota hän kuvasi elämän geometriaksi ja kaiken luonnon geometriaksi. Koostuu yksinkertaisista geometrisista muodoista yksityiskohtaisilla kuvioinneilla ja värityksillä, teoksissa kuten Angular I ja Automnes, Palazuelo ilmaisi itsensä geometrisissa muunnoksissa.
taiteilija Adrian Gray harjoittelee kivitasapainoa hyödyntäen kitkaa ja painopistettä luodakseen hätkähdyttäviä ja mahdottomalta tuntuvia sommitelmia.
taiteilijat eivät kuitenkaan välttämättä ota geometriaa kirjaimellisesti. Kuten Douglas Hofstadter kirjoittaa vuonna 1980 teoksessaan reflection on human thought, Gödel, Escher, Bach, by way of (MM.) the mathematics of art: ”ero Escherin piirustuksen ja epäeuklidisen geometrian välillä on se, että viimeksi mainitussa voidaan löytää ymmärrettäviä tulkintoja määrittelemättömille termeille, mikä johtaa ymmärrettävään kokonaisjärjestelmään, kun taas edellisessä lopputulos ei ole sovitettavissa yhteen maailmankäsityksen kanssa riippumatta siitä, kuinka kauan kuvia tuijottaa.”Hofstadter käsittelee M. C. Escherin näennäisen paradoksaalista litografiapainosgalleriaa; se kuvaa merenrantakaupunkia, jossa on taidegalleria, joka näyttää sisältävän merenrantakaupunkia esittävän maalauksen, jossa on” outo silmukka eli takkuinen hierarkia ” kuvan todellisuuden tasoille. Hofstadter huomauttaa, että taiteilijaa itseään ei nähdä; hänen todellisuutensa ja suhteensa litografiaan eivät ole paradoksaalisia. Kuvan keskeinen tyhjiö on myös herättänyt kiinnostusta matemaatikot Bart de Smit ja Hendrik Lenstra, jotka ehdottavat, että se voisi sisältää Droste vaikutus kopio itsestään, pyöritetään ja kutistunut; tämä olisi edelleen esimerkki rekursio pidemmälle, että totesi Hofstadter.
taidehistorian analyysi
teosten kuvien algoritminen analyysi esimerkiksi Röntgenfluoresenssispektroskopian avulla voi paljastaa tietoa taiteesta. Tällaiset tekniikat voivat paljastaa kuvia maalikerroksista, jotka taiteilija myöhemmin peittää; auttaa taidehistorioitsijoita visualisoimaan taideteoksen ennen kuin se halkeaa tai haalistuu; auttaa erottamaan kopion alkuperäisestä tai erottaa mestarin siveltimen tyylin hänen oppipoikiensa maaleista.
Jackson Pollockin tippumaalaustyylissä on selvä fraktaaliulottuvuus; Pollockin hallittuun kaaokseen mahdollisesti vaikuttaneista taiteilijoista Max Ernst maalasi Lissajous-hahmoja suoraan heiluttamalla puhkaistua maaliämpäriä kankaalle.
tietojenkäsittelytieteilijä Neil Dodgson tutki, voitaisiinko Bridget Rileyn raitamaalauksia luonnehtia matemaattisesti, ja päätteli, että vaikka erotusetäisyys voisi ”antaa jonkin luonnehdinnan” ja globaali entropia toimi joissakin maalauksissa, autokorrelaatio epäonnistui, koska Rileyn kuviot olivat epäsäännöllisiä. Paikallinen entropia toimi parhaiten ja korreloi hyvin taidekriitikko Robert Kudielkan antaman kuvauksen kanssa.
yhdysvaltalaisen matemaatikon George birkhoffin vuonna 1933 julkaisema esteettinen mitta ehdottaa kvantitatiivista metriikkaa taideteoksen esteettiselle laadulle. Se ei pyri mittaamaan teoksen konnotaatioita, kuten mitä maalaus voisi tarkoittaa, vaan rajoittuu monikulmaisen hahmon ”järjestyksen elementteihin”. Birkhoff yhdistää ensin (summana) viisi tällaista elementtiä: onko pystyakseli symmetria; onko optinen tasapaino; kuinka monta rotational symmetries se on; miten taustakuva-kuten luku on, ja onko epätyydyttäviä ominaisuuksia, kuten ottaa kaksi vertices liian lähellä toisiaan. Tämä metriikka, O, ottaa arvon -3: n ja 7: n väliltä. Toinen metriikka, C, Laskee luvun alkioita, joka monikulmiolla on niiden eri suorien lukumäärä, jotka sisältävät ainakin yhden sen sivuista. Tämän jälkeen Birkhoff määrittelee esteettisen mittansa esineen kauneudesta O / C: ksi.tämä voidaan tulkita tasapainoksi esineen antaman mielihyvän ja sen vastaanottamiseen tarvittavan vaivan määrän välillä. Birkhoffin ehdotusta on arvosteltu monin tavoin, eikä vähiten siitä, että hän yritti laittaa kauneuden kaavaan, mutta hän ei koskaan väittänyt tehneensä niin.
virikkeitä matemaattiseen tutkimukseen
Art on joskus stimuloinut matematiikan kehitystä, kuten silloin, kun Brunelleschin teoria perspektiivistä arkkitehtuurissa ja maalaustaiteessa aloitti tutkimuskierron, joka johti Brook Taylorin ja Johann Heinrich Lambertin työhön perspektiivipiirustuksen matemaattisista perusteista ja lopulta Girard Desarguesin ja Jean-Victor Poncelet ’ n projektiivisen geometrian matematiikkaan.
Tomoko Fusé on muokannut origamin japanilaisen paperintaittotaidon matemaattisesti uudelleen käyttäen moduuleja, yhteneviä paperinpaloja, kuten neliöitä, ja tekemällä niistä monitahokkaita tai tilingejä. Paperi-taitto käytettiin vuonna 1893 T. Sundara Rao hänen Geometrinen harjoituksia paperin taitto osoittaa geometriset todisteet. Paperin taittamisen matematiikkaa on tutkittu Maekawan lauseessa, Kawasakin lauseessa ja Huzita–Hatori-aksioomissa.
-
ärsyke projektiiviseen geometriaan: Albertin Diagrammi, jossa ympyrä nähdään perspektiivissä ellipsinä. Della Pittura, 1435-6
-
matemaattinen origami: Spring into Action, Jeff Beynon, valmistettu yhdestä paperista suorakulmio.
Illusion to op artEdit
Fraserin spiraalin kaltaiset optiset illuusiot osoittavat silmiinpistävästi ihmisen näköaistin rajoittuneisuuden ja luovat taidehistorioitsija Ernst Gombrichin ”hämmentävän tempun”.”Mustat ja valkoiset köydet, jotka näyttävät muodostavan spiraaleja, ovat itse asiassa samankeskisiä ympyröitä. Vuosisadan puolivälissä Op taidetta tai optisen taiteen tyyli maalaus ja grafiikka hyödyntää tällaisia vaikutuksia luoda vaikutelman liikkeen ja vilkkuva tai tärisevä kuvioita nähty työtä taiteilijoiden kuten Bridget Riley, Spyros Horemis, ja Victor Vasarely.
pyhä geometria
muinaiskreikasta lähtien syntynyt taidesäike näkee Jumalan maailman geometrinä ja maailman geometrian siten pyhänä. Uskomuksella, että Jumala loi kaikkeuden geometrisen suunnitelman mukaan, on ikivanha alkuperä. Plutarkhos liitti uskomuksen Platoniin ja kirjoitti, että” Platon sanoi Jumalan geometrioivan jatkuvasti ” (Convivialium disputationum, liber 8,2). Tämä mielikuva on vaikuttanut länsimaiseen ajatteluun siitä lähtien. Platonilainen käsite juontui puolestaan Pythagoralaisesta käsityksestä harmoniasta musiikissa, jossa nuotit sijaitsivat täydellisissä mittasuhteissa, jotka vastasivat lyyran kielten pituuksia; pythagoralaiset nimittäin katsoivat, että kaikki oli järjestetty lukumäärän mukaan. Vastaavasti platonisessa ajattelussa säännöllinen eli platoninen kiintoaines määrää luonnossa ja taiteessa esiintyvät mittasuhteet. Valaistuminen 13-luvulla Codex vindobonensis osoittaa Jumalan piirustus ulos maailmankaikkeuden kanssa pari kompassit, joka voi viitata jae Vanhassa testamentissa: ”kun hän perusti taivaat olin siellä, kun hän asettaa kompassin päälle syvyyden” (Sananlaskut 8:27), . Vuonna 1596 matemaattinen tähtitieteilijä Johannes Kepler mallinsi maailmankaikkeuden sisäkkäisten platonisten kiintoaineiden joukoksi ja määritti planeettojen ratojen suhteelliset koot. William Blaken Ancient Of Days (kuvaa urizenia, Blaken järjen ja lain ruumiillistumaa) ja hänen maalauksensa fyysikko Isaac Newtonista alastomana, kyyristyneenä ja kompassilla piirtäen, käyttävät kompassien symboliikkaa kritisoidakseen sovinnaista järkeä ja materialismia ahdasmielisenä.Salvador Dalín vuonna 1954 julkaisema ristiinnaulitseminen (Corpus Hyperkubus) kuvaa ristin hyperkuutiona, joka edustaa jumalallista perspektiiviä neljällä ulottuvuudella tavanomaisen kolmen sijasta. Dalín teoksessa Viimeisen ehtoollisen sakramentti (1955) Kristus ja hänen opetuslapsensa kuvataan valtavan dodekaedrin sisällä.
-
luoja, Geometri. Codex Vindobonensis, c. 1220
-
luominen, jossa Pantocrator laakeri . St. Louisin Raamattu, c. 1220-40
-
Johannes Keplerin platoninen kiinteä malli planeettojen etäisyyksistä aurinkokunnassa Mysterium Cosmographicumista, 1596
-
William Blake ’s the Ancient of Days, 1794
-
William Blake’ s Newton, c. 1800