Deviatoric stress and invariants
Posted by: Pantelis Liolios / Sept. 16, 2020
jännitystensori voidaan ilmaista kahden jännitystensorin summana: hydrostaattinen jännitystensori ja poikkeava jännitystensori. Tässä artikkelissa määrittelemme jännitystensorin hydrostaattisen ja poikkeavan osan ja laskemme jännitystensorin invariantit. Poikkeavan stressin invariantteja käytetään usein epäonnistumiskriteereissä.
tarkastellaan stressitensoria \ (\sigma_{ij} \), joka vaikuttaa kehoon. Stressaantuneella vartalolla on taipumus muuttaa sekä tilavuutta että muotoa. Sitä jännitystensorin osaa, jolla on taipumus muuttaa kappaleen tilavuutta, kutsutaan keskimääräiseksi hydrostaattiseksi jännitystensoriksi tai volumetriseksi jännitystensoriksi. Sitä osaa, joka pyrkii vääristämään kehoa, kutsutaan stressipoikkeamatensoriksi. Näin ollen jännitystensori voi ilmaista:
missä \ (\delta_{ij} \) on Kroneckerin delta (jossa \ (\delta_{ij}=1\), Jos \ (i = j\) ja \( \delta_{ij} = 0 \), jos \( i\neq J\)), \ (p \) on keskijännitys:
missä \ (I_{1} \) on stressitensorin ensimmäinen invariantti (Katso myös: Pääjännitykset ja stressi invariantit). Tulo \ (p\delta_{ij} \) on hydrostaattinen jännitystensori ja sisältää vain normaaleja jännityksiä. Poikkeava jännitystensori saadaan vähentämällä jännitystensorista hydrostaattinen jännitystensori:
jotta voidaan laskea invariants, stressi deviator tensor noudatamme samaa menettelyä käytetään artikkelissa Principal korostaa ja stressi invariants. On mainittava, että jännityspoikkeaman tensorin pääsuunnat ovat yhtäpitävät jännitystensorin pääsuuntien kanssa. \( S_{ij}\): n ominaisyhtälö on:
missä \ (J_{1} \), \ (J_{2}\) ja \( j_{3}\) ovat vastaavasti ensimmäinen, toinen ja kolmas deviatorinen stressi-invariantti. Polynomin juuret ovat kolme pääasiallista poikkeavaa jännitettä \ (s_{1} \), \ (s_{2}\) ja \( s_{3}\). \ (J_{1} \), \ (J_{2} \) ja \ (J_{3} \) voidaan laskea seuraavilla lausekkeilla:
missä \ (I_{1} \), \ (I_{2}\) ja \( I_{3}\) ovat stressin tensorin kolme invarianttia ja \( \det(s_{ij})\) on \( s_{ij}\) determinantti. On mainittava, että koska \ (J_{1}=s_{kk}=0 \), jännityspoikkeama tensori kuvaa puhtaan leikkaustilan tilaa.
esimerkki
laske jännityksestä poikkeava tensori ja sen invariantit seuraavalle jännitystensorille:
Näytä ratkaisu…
ensin lasketaan keskimääräinen paine \ (p \):
yhtälöstä (3) laskemme jännityspoikkeaman tensorin:
for stressi deviator Tensor invariants käytämme yhtälöitä (5) ja saamme:
lopuksi ominaisyhtälö on:
Tags: algebra| eigenvalues| invariants| mechanics| tensors