Dans un système optique parfait dans la théorie classique de l’optique, les rayons de lumière provenant de n’importe quel point objet s’unissent en un point image; et donc l’espace objet est reproduit dans un espace image. L’introduction de termes auxiliaires simples, dus à Gauss, nommés les distances focales et les plans focaux, permet de déterminer l’image de n’importe quel objet pour n’importe quel système. La théorie gaussienne n’est cependant vraie que tant que les angles réalisés par tous les rayons avec l’axe optique (l’axe symétrique du système) sont infiniment petits, c’est-à-dire avec des objets, des images et des lentilles infinitésimaux; en pratique, ces conditions peuvent ne pas être réalisées, et les images projetées par des systèmes non corrigés sont, en général, mal définies et souvent floues si l’ouverture ou le champ de vision dépasse certaines limites.
Les recherches de James Clerk Maxwell et Ernst Abbe ont montré que les propriétés de ces reproductions, i.e. la position relative et la grandeur des images, ne sont pas des propriétés particulières des systèmes optiques, mais des conséquences nécessaires de la supposition (par Abbe) de la reproduction de tous les points d’un espace en points d’image, et sont indépendantes de la manière dont la reproduction est effectuée. Ces auteurs ont cependant montré qu’aucun système optique ne peut justifier ces suppositions, car elles sont contradictoires avec les lois fondamentales de la réflexion et de la réfraction. Par conséquent, la théorie gaussienne ne fournit qu’une méthode commode d’approximation de la réalité; les systèmes optiques réalistes ne répondent pas à cet idéal inaccessible. Actuellement, tout ce qui peut être accompli est la projection d’un seul plan sur un autre plan; mais même dans ce cas, des aberrations se produisent toujours et il est peu probable que celles-ci soient un jour entièrement corrigées.
Aberration des points axiaux (aberration sphérique au sens restreint) Modifier
Soit S (fig. 1) qu’il s’agisse d’un système optique quelconque, les rayons partant d’un point d’axe O sous un angle u1 s’uniront au point d’axe O’1; et ceux sous un angle u2 au point d’axe O’2. S’il y a réfraction à une surface sphérique collective, ou à travers une lentille positive mince, O’2 se trouvera devant O’1 tant que l’angle u2 est supérieur à u1 (sous correction); et inversement avec une surface dispersive ou des lentilles (sur correction). Le caustique, dans le premier cas, ressemble au signe > (supérieur à); dans le second < (inférieur à). Si l’angle u1 est très faible, O’1 est l’image gaussienne ; et O’1 O’2 est appelée aberration longitudinale, et O’1R l’aberration latérale des crayons à ouverture u2. Si le crayon avec l’angle u2 est celui de l’aberration maximale de tous les crayons transmis, alors dans un plan perpendiculaire à l’axe en O’1 il y a un disque circulaire de confusion de rayon O’1R, et dans un plan parallèle en O’2 un autre de rayon O’2R2 ; entre ces deux est situé le disque de moindre confusion.
La plus grande ouverture des crayons, qui participent à la reproduction de O, c’est-à-dire l’angle u, est généralement déterminée par la marge d’une des lentilles ou par un trou dans une plaque mince placée entre, avant ou derrière les lentilles du système. Ce trou est appelé butée ou diaphragme; Abbe a utilisé le terme butée d’ouverture pour le trou et la marge limite de l’objectif. Le composant S1 du système, situé entre la butée d’ouverture et l’objet O, projette une image du diaphragme, appelée par Abbe pupille d’entrée ; la pupille de sortie est l’image formée par le composant S2, qui est placé derrière la butée d’ouverture. Tous les rayons qui sortent de O et traversent la butée d’ouverture passent également par les pupilles d’entrée et de sortie, car ce sont des images de la butée d’ouverture. L’ouverture maximale des crayons issus de O étant l’angle u sous-tendu par la pupille d’entrée en ce point, l’amplitude de l’aberration sera déterminée par la position et le diamètre de la pupille d’entrée. Si le système est entièrement derrière la butée d’ouverture, alors c’est lui-même la pupille d’entrée (butée avant); s’il est entièrement devant, c’est la pupille de sortie (butée arrière).
Si le point objet est infiniment éloigné, tous les rayons reçus par le premier membre du système sont parallèles, et leurs intersections, après avoir traversé le système, varient en fonction de leur hauteur d’incidence perpendiculaire, c’est-à-dire de leur distance par rapport à l’axe. Cette distance remplace l’angle u dans les considérations précédentes ; et l’ouverture, c’est-à-dire le rayon de la pupille d’entrée, est sa valeur maximale.
Aberration des éléments, c’est-à-dire des objets les plus petits perpendiculairement à l’axisEdit
Si les rayons issus de O (fig. 1) sont concourants, il ne s’ensuit pas que les points d’une portion de plan perpendiculaire en O à l’axe seront également concourants, même si la partie du plan est très petite. Au fur et à mesure que le diamètre de la lentille augmente (c’est-à-dire avec une ouverture croissante), le point voisin N sera reproduit, mais avec des aberrations de magnitude comparable à ON. Ces aberrations sont évitées si, selon Abbe, la condition sinusoïdale, sin u’1/ sin u1 = sin u’2/sin u2, est valable pour tous les rayons reproduisant le point O. Si le point objet O est infiniment éloigné, u1 et u2 doivent être remplacés par h1 et h2, les hauteurs d’incidence perpendiculaires ; la condition sinusoïdale devient alors sin u’1/h1 = sin u’2/h2. Un système remplissant cette condition et exempt d’aberration sphérique est appelé aplanatique (grec a-, privatif, plann, a errant). Ce mot a d’abord été utilisé par Robert Blair pour caractériser un achromatisme supérieur, et, par la suite, par de nombreux écrivains pour désigner également la liberté de l’aberration sphérique.
Étant donné que l’aberration augmente avec la distance du rayon par rapport au centre de la lentille, l’aberration augmente à mesure que le diamètre de la lentille augmente (ou, de manière correspondante, avec le diamètre de l’ouverture), et peut donc être minimisée en réduisant l’ouverture, au prix de réduire également la quantité de lumière atteignant le plan image.
Aberration des points d’objet latéraux (points au—delà de l’axe) avec des crayons étroits – astigmatismEdit
Un point O (fig. 2) à une distance finie de l’axe (ou avec un objet infiniment éloigné, un point qui sous-tend un angle fini au système) n’est, en général, même alors pas fortement reproduit si le crayon des rayons qui en sortent et traversent le système est rendu infiniment étroit en réduisant la butée d’ouverture; un tel crayon est constitué des rayons qui peuvent passer du point objet à travers la pupille d’entrée maintenant infiniment petite. On voit (sans tenir compte des cas exceptionnels) que le crayon ne rencontre pas la surface réfractante ou réfléchissante à angle droit; il est donc astigmatique (Gr. a-, privatif, stigmate, un point). En nommant le rayon central passant par la pupille d’entrée l’axe du crayon ou rayon principal, on peut dire : les rayons du crayon se coupent, non pas en un point, mais en deux lignes focales, que l’on peut supposer perpendiculaires au rayon principal ; parmi celles-ci, l’une se trouve dans le plan contenant le rayon principal et l’axe du système, i.e. dans la première section principale ou section méridienne, et l’autre perpendiculairement à celle-ci, c’est-à-dire dans la deuxième section principale ou section sagittale. Nous ne recevons donc dans aucun plan d’interception unique derrière le système, comme par exemple un écran de mise au point, une image du point objet; d’autre part, dans chacun des deux plans, les lignes O ‘ et O » sont formées séparément (dans les plans voisins, des ellipses sont formées), et dans un plan entre O ‘ et O » un cercle de moindre confusion. L’intervalle O’O « , appelé différence astigmatique, augmente, en général, avec l’angle W fait par le rayon principal OP avec l’axe du système, c’est-à-dire avec le champ de vision. Deux surfaces d’image astigmatiques correspondent à un plan d’objet ; et celles-ci sont en contact au point d’axe ; d’une part se trouvent les lignes focales du premier type, d’autre part celles du second. Les systèmes dans lesquels les deux surfaces astigmatiques coïncident sont appelés anastigmatiques ou stigmatiques.
Sir Isaac Newton fut probablement le découvreur de l’astigmation; la position des lignes d’image astigmatiques a été déterminée par Thomas Young; et la théorie a été développée par Allvar Gullstrand. Une bibliographie de P. Culmann est donnée dans Die Bilderzeugung in optischen Instrumenten de Moritz von Rohr.
Aberration des points d’objet latéraux avec des crayons larges – comaEdit
En ouvrant la butée plus large, des écarts similaires apparaissent pour les points latéraux comme cela a déjà été discuté pour les points axiaux; mais dans ce cas, ils sont beaucoup plus compliqués. La course des rayons dans la section méridienne n’est plus symétrique par rapport au rayon principal du crayon ; et sur un plan d’interception apparaît, au lieu d’un point lumineux, une tache de lumière, non symétrique par rapport à un point, et présentant souvent une ressemblance avec une comète dont la queue est dirigée vers ou à l’écart de l’axe. De cette apparence, il tire son nom. La forme asymétrique du crayon méridional — autrefois la seule considérée — n’est que le coma au sens étroit; d’autres erreurs de coma ont été traitées par Arthur König et Moritz von Rohr, et plus tard par Allvar Gullstrand.
Courbure du champ de l’imagedit
Si les erreurs ci—dessus sont éliminées, les deux surfaces astigmatiques réunies, et une image nette obtenue avec une grande ouverture – il reste la nécessité de corriger la courbure de la surface de l’image, en particulier lorsque l’image doit être reçue sur une surface plane, par example en photographie. Dans la plupart des cas, la surface est concave vers le système.
Distorsion de l’imagemodifier
Même si l’image est nette, elle peut être déformée par rapport à une projection de sténopé idéale. En projection à sténopé, le grossissement d’un objet est inversement proportionnel à sa distance à la caméra le long de l’axe optique de sorte qu’une caméra pointant directement sur une surface plane reproduit cette surface plane. La distorsion peut être considérée comme un étirement non uniforme de l’image ou, de manière équivalente, comme une variation de grossissement sur le champ. Alors que la « distorsion » peut inclure la déformation arbitraire d’une image, les modes de distorsion les plus prononcés produits par l’optique d’imagerie conventionnelle sont la « distorsion en barillet », dans laquelle le centre de l’image est agrandi plus que le périmètre (figure 3a). L’inverse, dans lequel le périmètre est agrandi plus que le centre, est connu sous le nom de « distorsion en coussinet » (figure 3b). Cet effet est appelé distorsion de l’objectif ou distorsion de l’image, et il existe des algorithmes pour le corriger.
Les systèmes exempts de distorsion sont appelés orthoscopiques (orthos, droit, skopein à regarder) ou rectilignes (lignes droites).
Cette aberration est tout à fait distincte de celle de la netteté de la reproduction ; dans unsharp, reproduction, la question de la distorsion se pose si seules des parties de l’objet peuvent être reconnues sur la figure. Si, dans une image non nette, une tache lumineuse correspond à un point objet, le centre de gravité de la tache peut être considéré comme le point image, c’est le point où le plan recevant l’image, par example un écran de focalisation, croise le rayon passant par le milieu de la butée. Cette hypothèse est justifiée si une mauvaise image sur l’écran de mise au point reste immobile lorsque l’ouverture est diminuée; en pratique, cela se produit généralement. Ce rayon, nommé par l’abbé rayon principal (à ne pas confondre avec les rayons principaux de la théorie Gaussienne), traverse le centre de la pupille d’entrée avant la première réfraction, et le centre de la pupille de sortie après la dernière réfraction. Il en résulte que l’exactitude du dessin dépend uniquement des rayons principaux; et est indépendante de la netteté ou de la courbure du champ d’image. En se référant à la fig. 4, nous avons O’Q ‘ / OQ = a ‘tan w ‘ / a tan w = 1 / N, où N est l’échelle ou le grossissement de l’image. Pour que N soit constant pour toutes les valeurs de w, un « tan w » / un tan w doit également être constant. Si le rapport a’/a est suffisamment constant, comme c’est souvent le cas, la relation ci-dessus se réduit à la condition d’Airy, c’est-à-dire tan w’/tan w = une constante. Cette relation simple (voir Camb. Phil. Trans., 1830, 3, p. 1) est remplie dans tous les systèmes symétriques par rapport à leur diaphragme (brièvement nommés objectifs symétriques ou holosymétriques), ou qui sont constitués de deux composants similaires, mais de tailles différentes, placés à partir du diaphragme dans le rapport de leur taille, et présentant la même courbure à celui-ci (objectifs hémisymétriques); dans ces systèmes tan w’/tan w = 1.
La constance de a’/a nécessaire à la tenue de cette relation a été soulignée par R. H. Bow (Brit. Journ. Photog., 1861), et Thomas Sutton (Notes photographiques, 1862); il a été traité par O. Lummer et par M. von Rohr (Zeit. f. Instrumentenk., 1897, 17 et 1898, 18, p. 4). Il nécessite que le milieu de la butée d’ouverture soit reproduit au centre des pupilles d’entrée et de sortie sans aberration sphérique. M. von Rohr a montré que pour des systèmes ne remplissant ni la condition d’Airy ni la condition d’Arc-Sutton, le rapport a ‘cos w’ / a tan w sera constant pour une distance de l’objet. Cette condition combinée est exactement remplie par des objectifs holosymétriques reproduisant à l’échelle 1, et par hémisymétriques, si l’échelle de reproduction est égale au rapport des tailles des deux composantes.
Modèle Zernike d’aberrationsEdit
Les profils de front d’onde circulaires associés à des aberrations peuvent être modélisés mathématiquement à l’aide de polynômes de Zernike. Développés par Frits Zernike dans les années 1930, les polynômes de Zernike sont orthogonaux sur un cercle de rayon unitaire. Un profil de front d’onde complexe et aberré peut être équipé de polynômes de Zernike pour produire un ensemble de coefficients d’ajustement qui représentent individuellement différents types d’aberrations. Ces coefficients de Zernike sont linéairement indépendants, de sorte que les contributions d’aberration individuelles à un front d’onde global peuvent être isolées et quantifiées séparément.
Il existe des polynômes Zernike pairs et impairs. Les polynômes de Zernike pairs sont définis comme
Z n m(ρ, ϕ) = R n m(ρ) cos (m ϕ) {\displaystyle Z_{n}^{m}(\rho, \phi) = R_ {n}^{m}(\rho)\,\cos(m\,\phi) \!}
et les polynômes de Zernike impairs comme
Z n-m(ρ, ϕ) = R n m(ρ) sin (m ϕ), {\displaystyle Z_{n}^{-m}(\rho, \phi) = R_ {n}^{m}(\rho)\, \sin(m\,\phi), \!}
où m et n sont des entiers non négatifs avec n ≥ m {\displaystyle n\geq m}
, Φ est l’angle azimutal en radians et ρ est la distance radiale normalisée. Les polynômes radiaux R n m {\displaystyle R_{n}^{m}}
n’ont pas de dépendance azimutale et sont définis comme R n m(ρ) = ∑ k = 0(n−m) / 2(−1) k(n−k)! k! ((n+m) / 2-k)! ((n-m) / 2-k)! ρ n-2 k si n−m est pair {\displaystyle R_{n}^{m}(\rho) = \!\sum _ {k= 0}^{(n-m)/2} \!\!\!{\frac{(-1)^{k}\, (n-k)!} {k!\, ((n+m) / 2-k)!\, ((n-m) / 2-k)!}} \; \rho ^{n-2\, k}\ quad {\mbox{si}} n-m {\mbox{est pair }}}
et r n m(ρ) = 0 {\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )=0}
si n-m {\displaystyle n-m}
est impair.
Les premiers polynômes de Zernike, multipliés par leurs coefficients d’ajustement respectifs, sont:
a 0 × 1 {\displaystyle a_{0}\ fois 1}
 |
» Piston », égale à la valeur moyenne du front d’onde |
a 1 × ρ cos ( ϕ) {\displaystyle a_ {1} \ fois \rho\cos(\phi )}
 |
» X-Tilt », la déviation de la poutre globale dans la direction sagittale |
a 2 × ρ sin ( ϕ) {\displaystyle a_ {2} \ fois \rho\sin(\phi )}
 |
« Inclinaison en Y », la déviation de la poutre globale dans la direction tangentielle |
a 3 × (2 ρ 2-1) {\displaystyle a_ {3} \ fois (2\rho ^{2}-1)}
 |
» Defocus « , un front d’onde parabolique résultant d’un flou de focalisation |
a 4 × ρ 2 cos (2 2) {\displaystyle a_{4} \times\rho ^{2}\cos(2\phi )}
 |
« 0° Astigmatisme », une forme cylindrique le long de l’axe X ou Y |
a 5 × ρ 2 sin (2 2) {\displaystyle a_{5}\times\rho^{2} \sin(2\phi )}
 |
« 45° Astigmatisme », forme cylindrique orientée à ±45° de l’axe X |
a 6 ×(3 ρ 2 − 2) ρ cos ( ϕ) {\displaystyle a_ {6} \ fois(3\rho ^{2}-2) \rho\cos(\phi )}
 |
» X-Coma », image comatique évasée dans le sens horizontal |
a 7 × (3 ρ 2 − 2) ρ sin sin ( ϕ) {\displaystyle a_ {7}\ fois (3\rho^{2} -2) \rho\sin(\phi )}
 |
» Y-Coma », image comatique s’évasant dans le sens vertical |
a 8 × (6 ρ 4 − 6 ρ 2 +1) {\displaystyle a_{8} \ fois (6\rho ^{4} -6\rho ^{2}+1)}
 |
» Aberration sphérique du troisième ordre » |
où ρ {\displaystyle\rho }
est le rayon de la pupille normalisé avec 0 ≤ ρ ≤ 1 {\displaystyle 0\leq\rho\leq 1}
, { {\displaystyle\phi}
est l’angle azimutal autour de la pupille avec 0 ≤ ≤ ≤ 2 π {\displaystyle 0\leq\phi\leq 2\pi}
, et les coefficients d’ajustement a 0, …, a 8 {\displaystyle a_{0},\ldots, a_{8}}
sont les erreurs de front d’onde dans les longueurs d’onde.
Comme dans la synthèse de Fourier utilisant des sinus et des cosinus, un front d’onde peut être parfaitement représenté par un nombre suffisamment important de polynômes de Zernike d’ordre supérieur. Cependant, les fronts d’onde avec des gradients très raides ou une structure de fréquence spatiale très élevée, tels que produits par propagation à travers la turbulence atmosphérique ou les champs d’écoulement aérodynamiques, ne sont pas bien modélisés par les polynômes de Zernike, qui ont tendance à filtrer passe-bas définition spatiale fine dans le front d’onde. Dans ce cas, d’autres méthodes d’ajustement telles que les fractales ou la décomposition en valeurs singulières peuvent donner des résultats d’ajustement améliorés.
Les polynômes de cercle ont été introduits par Frits Zernike pour évaluer l’image ponctuelle d’un système optique aberrant en tenant compte des effets de la diffraction. L’image ponctuelle parfaite en présence de diffraction avait déjà été décrite par Airy, dès 1835. Il a fallu près de cent ans pour arriver à une théorie et à une modélisation complètes de l’image ponctuelle des systèmes aberrés (Zernike et Nijboer). L’analyse de Nijboer et Zernike décrit la distribution d’intensité proche du plan focal optimal. Une théorie étendue qui permet le calcul de l’amplitude et de l’intensité de l’image ponctuelle sur un volume beaucoup plus grand dans la région focale a récemment été développée (théorie étendue de Nijboer-Zernike). Cette théorie étendue de Nijboer-Zernike de la formation d’images ponctuelles ou de la « fonction d’étalement de points » a trouvé des applications dans la recherche générale sur la formation d’images, en particulier pour les systèmes à grande ouverture numérique, et dans la caractérisation des systèmes optiques par rapport à leurs aberrations.