Les résultats importants de l’analyse fonctionnelle comprennent:
Principe de la limite uniformitémodifier
Le principe de la limite uniforme ou théorème de Banach–Steinhaus est l’un des résultats fondamentaux de l’analyse fonctionnelle. Avec le théorème de Hahn–Banach et le théorème de cartographie ouverte, il est considéré comme l’une des pierres angulaires du domaine. Dans sa forme de base, il affirme que pour une famille d’opérateurs linéaires continus (et donc d’opérateurs bornés) dont le domaine est un espace de Banach, la limite ponctuelle est équivalente à la limite uniforme dans la norme de l’opérateur.
Le théorème a été publié pour la première fois en 1927 par Stefan Banach et Hugo Steinhaus, mais il a également été prouvé indépendamment par Hans Hahn.
Théorème (Principe de limite uniforme). Soit X un espace de Banach et Y un espace vectoriel normé. Supposons que F soit une collection d’opérateurs linéaires continus de X à Y. Si pour tout x dans X on a
sup T ∈ F ∈ T(x) YY < ∞, {\displaystyle\sup\nolimits_ {T\in F}\|T(x)\|_ {Y} <\infty, }
alors
sup T ∈ F ‖ T ‖ B(X, Y) < ∞. {\displaystyle\sup\nolimits_ {T\in F}\/T\/_ {B(X,Y)} <\infty.}
Théorème spectralmodifier
Il existe de nombreux théorèmes connus sous le nom de théorème spectral, mais l’un en particulier a de nombreuses applications en analyse fonctionnelle.
Théorème : Soit A un opérateur auto-adjoint borné sur un espace de Hilbert H. Il existe alors un espace de mesure (X, Σ, μ) et une fonction mesurable essentiellement bornée à valeur réelle f sur X et un opérateur unitaire U : H → L2µ(X) tel que
U ∗ T U = A {\displaystyle U^ {*} TU = A\; }
où T est l’opérateur de multiplication :
(x) = f(x)φ(x). {\displaystyle(x) = f(x) \varphi(x).\;}
et TT = = ff ∞ ∞ {\displaystyle\/T\/=\/f|/_ {\infty }}
C’est le début du vaste domaine de recherche de l’analyse fonctionnelle appelé théorie des opérateurs; voir aussi la mesure spectrale.
Il existe également un théorème spectral analogue pour les opérateurs normaux bornés sur les espaces de Hilbert. La seule différence dans la conclusion est que maintenant f {\displaystyle f}
peut être à valeur complexe.
Théorème de Hahn–Banachmodifier
Le théorème de Hahn-Banach est un outil central en analyse fonctionnelle. Il permet l’extension des fonctions linéaires bornées définies sur un sous-espace d’un espace vectoriel à l’espace entier, et il montre également qu’il y a « assez » de fonctions linéaires continues définies sur chaque espace vectoriel normé pour rendre l’étude de l’espace dual « intéressante ».
Théorème de Hahn–Banach : Si p: V → R est une fonction sublinéaire, et φ : U → R est une fonction linéaire sur un sous-espace linéaire U ⊆ V qui est dominé par p sur U, i.e.
φ(x) ≤ p(x) ∈ x ∈ U {\displaystyle\varphi(x)\leq p(x) \ qquad \forall x \ in U}
alors il existe une extension linéaire ψ: V → R de φ à tout l’espace V, c’est-à-dire qu’il existe une fonction linéaire ψ telle que
ψ(x) = φ(x) ψ x ∈ U, {\displaystyle\psi(x) = \varphi(x) \qquad\forall x\in U, }
ψ(x) ≤ p(x) ∀ x ∈ V . {\displaystyle\psi(x)\leq p(x)\qquad\forall x\in V.}
Théorème de mappage ouvertmodifier
Le théorème de mappage ouvert, également connu sous le nom de théorème de Banach–Schauder (nommé d’après Stefan Banach et Juliusz Schauder), est un résultat fondamental qui stipule que si un opérateur linéaire continu entre les espaces de Banach est surjectif, il s’agit d’une carte ouverte. Plus précisément, :
Théorème de mappage ouvert. Si X et Y sont des espaces de Banach et A : X → Y est un opérateur linéaire continu surjectif, alors A est une carte ouverte (i.e. si U est un ensemble ouvert dans X, alors A(U) est ouvert dans Y).
La preuve utilise le théorème de catégorie de Baire, et la complétude de X et Y est essentielle au théorème. L’énoncé du théorème n’est plus vrai si l’un ou l’autre espace est simplement supposé être un espace normé, mais est vrai si X et Y sont considérés comme des espaces de Fréchet.
Théorème du graphe fermémodifier
Le théorème du graphe fermé énonce ce qui suit:Si X est un espace topologique et Y est un espace de Hausdorff compact, alors le graphe d’une carte linéaire T de X à Y est fermé si et seulement si T est continu.