Chezy et Manning ont développé des équations qui sont utilisées pour déterminer le débit volumétrique moyen dans les canaux ouverts. Cet article explique une méthode de laboratoire qui a été développée et testée pour identifier et quantifier davantage les paramètres qui composent les coefficients de rugosité de ces équations. Cette méthode utilise un canal hydraulique et utilise la technique de l’homogénéité dimensionnelle et une nouvelle forme exponentielle d’équation pour l’étalonnage de l’instrument.
Mesurer avec précision les vitesses moyennes dans des canaux ou des ponceaux dont les surfaces sont ouvertes sur l’atmosphère est un défi depuis des siècles. Plus la section transversale du flux est grande, plus l’imprécision ou l’incertitude de la mesure est grande.
L’écoulement à canal ouvert est régi par la relation de Froude, le rapport des forces d’inertie aux forces gravitationnelles. Ainsi, il a été reconnu au début de l’histoire de l’hydraulique que la formule d’une telle vitesse moyenne devrait être un équilibre entre la gravité, provoquant l’écoulement, et la rugosité du canal, cherchant à retarder l’écoulement. Il a également été reconnu qu’une telle formule devrait être pour un écoulement uniforme, c’est-à-dire pour un écoulement en régime permanent, de sorte que la profondeur de l’eau par rapport au fond de la voie navigable soit constante, ou d(y)/dx = 0.
Il est à noter qu’en conduite ou en écoulement sous pression, le mot uniforme a une signification différente. Dans cette application, cela signifie que le profil de vitesse a une vitesse constante sur toute la section transversale. D’autre part, l’hydraulique à canal ouvert n’a pas de mot pour vitesse constante sur une section transversale. Dans cet article, « normal » signifie la première de ces deux définitions, c’est-à-dire l’état stationnaire et la profondeur constante. Toutes les unités de cet article sont des unités d’ingénierie couramment utilisées aux États-Unis
Équations développées par Chezy et Manning
La première formule de « résistance » reconnue et la plus durable pour un écoulement à canal ouvert à l’état stable est attribuée à Antoine Chezy. Il a été chargé de déterminer la section transversale et de calculer le débit de l’alimentation en eau de Paris, et d’augmenter son débit. Il l’a fait en 1768 en comparant les conditions d’écoulement entre deux cours d’eau, le canal de Courpalet et la Seine. Sa formule résultante a été publiée dans son rapport sur le canal de l’Yvette comme:
Vavg = C x R1 / 2 x S1 / 2
où Vavg est la vitesse moyenne en pieds par seconde; C est le facteur de résistance à l’écoulement de Chezy en pied1 / 2 / sec; R est le rayon hydraulique (la section transversale divisée par le périmètre mouillé) en pieds; et S est la pente, qui est sans dimension. Cependant, le travail de Chezy a reçu peu d’attention jusqu’à de nombreuses années après sa mort.
En 1889, un Irlandais du nom de Robert Manning, qui était ingénieur en chef du Bureau des travaux publics d’Irlande, a présenté un article intitulé « On the Flow of Water in Open Channels and Pipes. »Bien que son intérêt principal semble avoir été l’hydrologie, il a dérivé une formule moyenne de « résistance » pour les canaux ouverts à partir de toutes les différentes formules de résistance publiées jusqu’à cette époque. Dans le format actuel, cette équation, que nous appellerons Équation 1 pour référence future, est :
Vavg=(1.486/n) x R2 /3 x S1/ 2
où n est le coefficient de rugosité de Manning, qui est le même numériquement dans les systèmes dimensionnels américains ou métriques. Dans le système américain, il a des unités de seconde / pied1/3. Si vous utilisez des unités métriques, le 1,486 est remplacé par 1,0 et ses unités sont la seconde /mètre1/3.
L’équation de Manning a été la plus réussie de toutes les équations empiriques à canal ouvert, basée sur la résistance à l’écoulement et dérivée de l’observation. En fait, il n’est pas exagéré de dire que c’est la pierre angulaire de la science actuelle du génie hydraulique.
Cependant, au sens classique du terme, les équations de Chezy et de Manning présentent plusieurs lacunes similaires. Premièrement, ils n’ont pas d’homogénéité dimensionnelle, c’est-à-dire que les unités du côté gauche ne sont pas les mêmes que les unités du côté droit. De telles équations sont généralement dérivées par expérimentation ou observation et perdent rapidement en précision si elles sont extrapolées au-delà de leur plage d’observation. On sait que l’équation de Manning perd en précision avec des pentes très raides ou peu profondes. Deuxièmement, pour atteindre l’homogénéité dimensionnelle, leurs constantes ou coefficients ne sont pas des nombres purs, mais des unités attribuées artificiellement.
De plus, l’équation de Manning suggère que la vitesse moyenne est plus sensible au rayon hydraulique qu’à la pente. C’est vraiment une incompatibilité, car la nature même de l’écoulement à canal ouvert est fonction de la composante de pente de la gravité. La forme du passage d’eau, calculée par le rayon hydraulique, exerce un effet sur la rugosité absolue, mais ce n’est pas un effet primaire sur la vitesse moyenne elle-même. Plus le rapport de rayon hydraulique est faible, plus le pourcentage de l’écoulement qui est en contact avec la rugosité des limites est élevé.
De plus, la nature même des équations est une contradiction. Les équations décrivent une vitesse moyenne qui existe à une section transversale perpendiculaire à l’écoulement. Une telle section a une épaisseur infinitésimale dans le sens de l’écoulement, tandis que les équations reposent sur des coefficients appelés « coefficients de rugosité ». »Mais l’effet d’une telle rugosité a besoin d’une longueur finie pour exister — il ne peut pas avoir d’effet sur une épaisseur infinitésimale. Cela signifie que la rugosité elle-même doit agir sur un autre paramètre qui peut exister sur une longueur infinitésimale pour retarder la vitesse d’écoulement.
Théorie Derrière une expérience de laboratoire
La précision des équations de Chezy et de Manning dépend de la sélection de leurs coefficients de rugosité individuels. Cela se fait généralement par comparaison avec des flux similaires connus ou à partir d’un livre de référence d’images de flux. Cependant, dans l’article intitulé « Forme dimensionnellement homogène des équations de Chezy et de Manning », publié par Hydro Review en avril 2014, j’ai proposé une nouvelle méthode expérimentale de détermination des parties constitutives qui composent ces coefficients de rugosité.
Pour démontrer la technique, j’ai présenté à une classe de deuxième cycle en Génie des énergies renouvelables inscrite au cours de laboratoire hydraulique de l’Oregon Institute of Technology (OIT) à Wilsonville, Oregon, une expérience conçue pour identifier et quantifier les composantes des coefficients de rugosité. Cette expérience se concentrerait sur l’équation de Manning, et était basée sur l’utilisation du principe d’homogénéité dimensionnelle. Les étudiants diplômés de l’OIT qui ont participé à cette expérience de laboratoire étaient Joshua Couch, Cole Harrington, Karissa Hilsinger, Tai Huynh, Krystal Locke, William Perreira, Cullen Ryan, Pauloi Santos Vasconcelos Jr., Anurak Sitthiwong et Asmitha Velivela.
Tout d’abord, deux paramètres ont été formés: Hv / S et R. Hv représente la tête de vitesse, c’est-à-dire Hv = (α x Vavg2) / (2 x g), où α est appelé facteur de correction de la tête de vitesse ou facteur de Coriolis. Ce multiplicateur représente l’énergie supplémentaire contenue dans un flux à surface ouverte ou à pression fermée qui existe chaque fois qu’un profil de vitesse n’est pas constant sur une section transversale. En effet, l’énergie du fluide est fonction du carré de la vitesse, et la somme des carrés dans chaque tube de flux de fluide est supérieure au carré de la somme des vitesses dans chaque tube de flux.
Numériquement α est toujours égal ou supérieur à un et est sans dimension. La pente ou S aurait pu apparaître de l’un ou l’autre côté paramétrique, mais a été affectée au paramètre Hv, car en hydraulique, il existe de nombreuses preuves que la vitesse moyenne est fonction de la racine carrée de la pente, c’est-à-dire Vavg ≈ S1 / 2. Ensuite, une expérience de laboratoire a été conçue pour permettre d’obtenir des données et de les tracer en Hv / S par rapport à R, les deux ayant des unités de pieds. Par conséquent, toute équation expérimentale résultante devrait avoir une homogénéité dimensionnelle.
Les unités de Hv, d’après l’équation de Bernoulli, sont des pieds-livres par livre ou « énergie spécifique », mais sont toujours homogènes avec R, qui a des unités de pieds. Il est à noter qu’à mesure que R grossit, le périmètre mouillé (P) devient plus petit par rapport à la zone (A). Cela signifie que la résistance au frottement à l’écoulement doit diminuer et que la vitesse moyenne doit donc augmenter. En d’autres termes, une relation linéaire entre Hv / S et R devrait avoir une pente positive.
Appareil d’essai
Un petit conduit de laboratoire à lit inclinable avec une pompe de recirculation de piscine, qu’un étudiant avait commodément construit le semestre précédent, a été adapté pour être utilisé. Il était immédiatement évident qu’il serait impossible de mesurer le facteur de correction de la tête de vitesse dans un si petit canal. La meilleure alternative était de mesurer uniquement la pente, la vitesse moyenne et la profondeur de l’eau pour un débit critique et uniforme.
Au débit critique, où le nombre de Froude est égal à un, la moindre énergie hydraulique est contenue pour une quantité donnée de fluide en mouvement. Par conséquent, il ne devrait y avoir aucune énergie supplémentaire disponible pour former un profil de vitesse non constant et le facteur de correction de la tête de vitesse devrait être proche de un. De plus, comme le canal était court, l’énergie dans le fluide entrant dans le canal devait être adaptée au niveau d’énergie souhaité pour un débit donné dans le canal, de sorte que le débit uniforme ou permanent était immédiatement atteint.
Il n’a pas été possible de régler la pompe de piscine aussi finement. Par conséquent, l’équipe de chercheurs a choisi d’introduire un deuxième réservoir d’eau, de faire décharger la pompe dans ce réservoir, puis de siphonner soigneusement ce réservoir dans le conduit. Un débitmètre sonique connecté au tuyau entre le réservoir et le conduit donnait le débit volumétrique. Il a fallu beaucoup de temps et d’efforts pour que tout soit équilibré pour un point de données unique d’état stable, d’écoulement uniforme et critique dans un si petit canal. Cependant, au bout du compte, trois points de données ont été recueillis, ce qui était suffisant pour démontrer cette méthode d’analyse des données (tableaux 1 et 2).
Tableau 1. Ce tableau présente les données recueillies au cours de trois expériences à canal ouvert menées en laboratoire à l’aide d’un canal. Source : Lee H. Sheldon, PE
Tableau 2. Ce tableau présente les données recueillies au cours de trois expériences à canal ouvert menées en laboratoire à l’aide d’un canal. Source: Lee H. Sheldon, PE
Il est souligné que ces points de données étaient étroitement espacés en termes de débit volumétrique. En effet, un canal de cinq pouces de large – fonctionnant à la fois pour des débits uniformes et critiques — ne permettait pas une large gamme de variabilité de débit. De plus, cette expérience a été réalisée dans un canal en plexiglas très lisse où le n de Manning n’a été mesuré que par 0,009, alors que 0,012 est la valeur la plus lisse dans le tableau publié des canaux d’eau prototypes. Par conséquent, tout résultat numérique doit être considéré comme s’appliquant uniquement à ce régime hydraulique très étroit.
Cependant, il est également souligné que l’objectif de cette expérience en laboratoire était uniquement de démontrer si cette méthode pouvait être utilisée dans de futures recherches plus approfondies pour fournir un éclairage et une précision supplémentaires sur la composition des composants des équations de Chezy et en particulier de Manning.
Technique de réduction des données
Le tracé de ces trois points de données a été effectué de la même manière que l’équation d’étalonnage de l’instrument décrite dans un article que j’ai écrit intitulé « A New Calibration Equation for the Winter-Kennedy Piezometer System », publié par Hydro Review en octobre 2013. Cette méthode donne une équation d’étalonnage directement sous forme exponentielle pour une comparaison facile avec les équations à canal ouvert couramment utilisées, c’est-à-dire que log10 (Hv/S) a été tracé en ordonnée ou en ordonnée et log10R en abscisse ou en abscisse (Figure 1).
1. Ce graphique montre le canal du modèle à débit critique et uniforme. Source: Lee H. Sheldon, PE
Ces points se rapprochaient étroitement d’une droite et donnaient une équation de la forme : y = mx +b.
log10(Hv/S) = mlog10R + b = log10(Rm) + b
Élever les deux côtés de l’équation comme des puissances de 10 donne:
10^( log10Hv/S) = 10^(log10Rm +b) = 10b x 10^ (log10Rm)
Puis, par identité logarithmique :
Hv/S = 10b x Rm
ou
Hv = 10b x S x Rm
En remplaçant Hv par résultats en:
aVavg2/ 2g = 10b x S x Rm
La réorganisation des termes donne:
Vavg = (2g10b /α) 1/2 x S1 / 2 x Rm / 2
La substitution des valeurs numériques de m = 0,7497 et b = 1,7328 de la figure 1 fournit:
Vavg = (2g x 101,7328/α) 1/2 x S1/2 x (R0.7497)1/2
On note que la pente (m) est positive comme prévu précédemment. Par conséquent:
Vavg = (108,1011g /α) 1/2 x S1 / 2 x R0.3749
Ce qui donne l’équation suivante, que nous appellerons l’équation 2 pour référence future:
Vavg = 10.3972 (gS/α) 1/2 x R3/8
Or, sous cette forme, l’équation à canal ouvert ne contient que des paramètres qui peuvent être déterminés sur une section transversale infiniment mince. La comparaison de l’équation 2 avec l’équation 1 donne un aperçu des relations des paramètres de l’équation de Manning.
Vavg = 10,3972 x(gS/α) 1/2 x R3/8 = (1,486/n) x R2/3 x S1/2
Maintenant, en n’assimilant que les deux expressions et en annulant les termes S1/2, on obtient :
10,3972 x (g/α) 1/2 x R3/8 = (1,486/ n) x R2/3
En combinant les termes R, on obtient :
10,3972 x(g/α) 1/2 = (1.486/n) x R7/24
Ce qui donne ce qui suit, que nous appellerons l’Équation 3 pour référence future:
= 0,1429 x (α/g) 1/2 x R7/24
On note que l’Équation 2 n’a pas d’homogénéité dimensionnelle exacte. En négligeant les valeurs des coefficients numériques, si l’exposant de R avait été 4/8 au lieu de 3/8, et avec l’inclusion d’unités pour g (accélération gravitationnelle), il aurait eu une homogénéité exacte. Par ailleurs, il est noté que pour que l’équation de Manning présente une homogénéité dimensionnelle, les unités de n dans l’équation 1 avaient été historiquement attribuées artificiellement en secondes/pieds1/3 ou en secondes/pieds8/24. Dans l’équation 3, maintenant, en incluant également les unités pour g, n a des unités de secondes / pied5/24.
On considère que ces deux différences dans l’équation de Manning et le n de Manning peuvent être dues à l’incertitude ou à l’inexactitude de la mesure des données dans le canal d’essai limité à la disposition des étudiants. Par conséquent, encore une fois, il est souligné que les résultats numériques finaux de cette expérience comportent probablement un degré d’incertitude, mais la méthode permettant de quantifier plus précisément l’équation de Manning est clairement démontrée.
Le terme S(g) est le temps de pente de l’accélération gravitationnelle. Lorsque la pente, d(y) / dx, devient plus grande, une force gravitationnelle plus importante agit pour accélérer l’écoulement.
Comme mentionné précédemment, l’équation de Manning est une moyenne de toutes les équations à canal ouvert publiées avant 1889. Le fait qu’il n’ait pas inclus l’effet du facteur de correction de la tête de vitesse est tout à fait compréhensible. Ce n’est qu’en 1877 que le facteur de correction de la tête de vitesse de Coriolis a été reconnu comme étant une variable et non une constante.
Les relations de l’équation 2 montrent que n de Manning est une métrique pour le facteur de correction de la tête de vitesse, c’est-à-dire que n est proportionnel à α1/2. Théoriquement, si n est doublé, le facteur de correction de la tête de vitesse est multiplié par quatre et la vitesse moyenne est divisée par deux. C’est le mécanisme par lequel la rugosité des limites du fluide agit pour retarder la vitesse d’écoulement sur une section transversale infiniment mince.
Comme indiqué, le n de Manning est directement affecté par le rayon hydraulique (R7/24). Cela montre que la sélection du n d’un Manning n’est pas seulement fonction de la rugosité, mais de la forme en coupe transversale du cours d’eau. Le fait que les canaux puissent présenter certaines différences dans le n de Manning en raison de leur seule forme, ainsi que de leur rugosité, a déjà été documenté dans d’autres publications.
Dans un article intitulé « Détermination du Coefficient de rugosité pour les canaux doublés et Non doublés » publié par la Station de Recherche en ingénierie du Karnataka en Inde, il est dit: « L’écoulement dans les canaux est compliqué par le fait que la forme des éléments de rugosité et donc la résistance à l’écoulement sont des fonctions des caractéristiques de la forme et de l’alignement des canaux. Ces facteurs constituent le coefficient de rugosité ou le coefficient de rugosité. »La raison, comme mentionné précédemment, est que plus le rayon hydraulique est petit, plus le pourcentage relatif du volume d’écoulement qui est en contact direct avec la rugosité absolue donnée de la limite est élevé. Par conséquent, plus la traînée que la limite impose pour retarder le débit volumique est importante, plus le profil de vitesse devient non uniforme, tel que calculé par α. Ainsi, plus le rayon hydraulique est petit, plus la perte d’énergie est importante. Inversement, plus le rayon hydraulique est grand, plus le profil de vitesse tend à devenir uniforme sur la section. Par coïncidence, le C de Chezy est inversement proportionnel à R1/8.
Les équations développées par Chezy et Manning peuvent sembler très simples; cependant, elles représentent des interactions complexes de paramètres hydrauliques de fluides dans des canaux ouverts. Le processus expérimental présenté dans cet article peut être utilisé pour étudier ces interactions. L’utilisation de cette méthode expérimentale, sur la base très limitée et étroite décrite ci-dessus, suggère que la différence entre les équations de Chezy et de Manning n’est peut-être pas aussi grande qu’il n’y paraît. La différence réelle peut être davantage dans le degré de dépendance que chaque coefficient de résistance à l’écoulement a sur le facteur de correction de la tête de vitesse et le rayon hydraulique.
— Lee H. Sheldon, PE est un ingénieur hydroélectrique avec 50 ans d’expérience. Il a publié 33 articles techniques et un manuel universitaire sur le génie hydroélectrique, et a travaillé sur tous les projets hydroélectriques fédéraux dans le Nord-ouest du Pacifique, entre autres. Il était auparavant professeur à l’OIT, où il enseignait l’ingénierie hydroélectrique et la mécanique des fluides.