Transformations en trois dimensionnesdit
Dans un espace à trois dimensions, une transformation rigide a six degrés de liberté, trois translations le long des trois axes de coordonnées et trois à partir du groupe de rotation SO(3). Souvent, ces transformations sont traitées séparément car elles ont des structures géométriques très différentes, mais il existe des façons de les traiter qui les traitent comme un seul objet à six dimensions.
Théorie des vismodifier
En théorie de la vis, la vitesse angulaire et la vitesse linéaire sont combinées en un objet à six dimensions, appelé torsion. Un objet similaire appelé clé combine des forces et des couples en six dimensions. Ceux-ci peuvent être traités comme des vecteurs à six dimensions qui se transforment linéairement lors du changement de référentiel. Les traductions et les rotations ne peuvent pas se faire de cette façon, mais sont liées à une torsion par exponentiation.
Espace de phasedit
Portrait de phase de l’oscillateur Van der Pol
L’espace de phase est un espace composé de la position et de l’élan d’une particule, qui peut être tracé ensemble dans un diagramme de phase pour mettre en évidence la relation entre les grandeurs. Une particule générale se déplaçant en trois dimensions a un espace de phase à six dimensions, trop nombreux pour être tracés, mais ils peuvent être analysés mathématiquement.
Rotations en quatre dimensionsmodifier
Le groupe de rotation en quatre dimensions, SO(4), a six degrés de liberté. Ceci peut être vu en considérant la matrice 4 × 4 qui représente une rotation: comme il s’agit d’une matrice orthogonale, la matrice est déterminée, jusqu’à un changement de signe, par exemple par les six éléments au-dessus de la diagonale principale. Mais ce groupe n’est pas linéaire et sa structure est plus complexe que les autres applications vues jusqu’à présent.
Une autre façon de voir ce groupe est la multiplication des quaternions. Chaque rotation en quatre dimensions peut être obtenue en multipliant par une paire de quaternions unitaires, un avant et un après le vecteur. Ces quaternions sont uniques, jusqu’à un changement de signe pour les deux, et génèrent toutes les rotations lorsqu’ils sont utilisés de cette façon, de sorte que le produit de leurs groupes, S3 × S3, est une double couverture de SO(4), qui doit avoir six dimensions.
Bien que l’espace dans lequel nous vivons soit considéré comme tridimensionnel, il existe des applications pratiques pour l’espace quadridimensionnel. Les quaternions, l’une des façons de décrire les rotations en trois dimensions, consistent en un espace à quatre dimensions. Les rotations entre quaternions, pour l’interpolation, par exemple, ont lieu en quatre dimensions. L’espace-temps, qui a trois dimensions d’espace et une dimension de temps, est également à quatre dimensions, mais avec une structure différente de celle de l’espace euclidien.
Électromagnétiquemédit
En électromagnétisme, le champ électromagnétique est généralement considéré comme étant composé de deux choses, le champ électrique et le champ magnétique. Ce sont tous deux des champs vectoriels tridimensionnels, liés les uns aux autres par les équations de Maxwell. Une deuxième approche consiste à les combiner en un seul objet, le tenseur électromagnétique à six dimensions, une représentation valorisée du champ électromagnétique par un tenseur ou un bivecteur. L’utilisation de ces équations de Maxwell peut être condensée à partir de quatre équations en une équation unique particulièrement compacte:
F F = J {\displaystyle\partial\mathbf{F} = \mathbf{J}\,}
où F est la forme bivectrice du tenseur électromagnétique, J est le quatre courants et ∂ est un opérateur différentiel approprié.
Théorie des cordesmodifier
En physique, la théorie des cordes est une tentative de décrire la relativité générale et la mécanique quantique avec un seul modèle mathématique. Bien qu’il s’agisse d’une tentative de modéliser notre univers, il se déroule dans un espace avec plus de dimensions que les quatre de l’espace-temps que nous connaissons. En particulier, un certain nombre de théories des cordes se déroulent dans un espace à dix dimensions, ajoutant six dimensions supplémentaires. Ces dimensions supplémentaires sont requises par la théorie, mais comme elles ne peuvent pas être observées, on pense qu’elles sont tout à fait différentes, peut-être compactées pour former un espace à six dimensions avec une géométrie particulière trop petite pour être observable.
Depuis 1997, une autre théorie des cordes est apparue et fonctionne en six dimensions. Les petites théories des cordes sont des théories des cordes non gravitationnelles en cinq et six dimensions qui se posent lorsqu’on considère les limites de la théorie des cordes à dix dimensions.