Tous les matériaux, qu’ils soient gazeux, liquides ou solides, présentent un certain changement de volume lorsqu’ils sont soumis à une contrainte de compression. Le degré de compressibilité est mesuré par un module d’élasticité en vrac, E, défini soit comme E = δp/(δρ/ρ), soit comme E = δp/ (-δV/V), où δp est un changement de pression et δρ ou δV est le changement correspondent de densité ou de volume spécifique. Puisque δp/δρ = c2, où c est la vitesse adiabatique du son, une autre expression de E est E = pc2. Dans les liquides et les solides, E est généralement un grand nombre, de sorte que les changements de densité et de volume sont généralement très faibles, sauf si des pressions exceptionnellement importantes sont appliquées.
Si une hypothèse incompressible est faite dans laquelle les densités sont supposées rester constantes, il est important de savoir dans quelles conditions cette hypothèse est susceptible d’être valide. Il y a, en fait, deux conditions qui doivent être remplies avant que les effets de compressibilité puissent être ignorés. Définissons « incompressibilité » comme une bonne approximation lorsque le rapport δ ρ/ρ est beaucoup plus petit que l’unité. Pour déterminer les conditions de cette approximation, nous devons estimer l’ampleur des changements de densité.
Débit constant
En débit constant, la variation maximale de pression peut être estimée à partir de la relation de Bernoulli à δp = pu2. En combinant cela avec les relations ci-dessus pour le module de masse, nous voyons que le changement de densité correspondant est δρ / ρ = u2 / c2.
Ainsi, l’hypothèse d’incompressibilité nécessite que la vitesse du fluide soit faible par rapport à la vitesse du son,
(1) $ latex \displaystyle u \ ll c.$
Écoulement instable
Dans un écoulement instable, une autre condition doit également être remplie. Si un changement significatif de vitesse, u, se produit sur un intervalle de temps t et une distance l, alors les considérations de moment (pour un fluide inviscide) nécessitent un changement de pression correspondant d’ordre δp = pul/t. Puisque les changements de densité sont liés aux changements de pression à travers le carré de la vitesse du son, δp = c2δρ, cette relation devient δρ/ρ = (u/c) l/ (ct).
En comparant avec l’expression (1), nous voyons que le facteur multipliant (u / c) doit également être bien inférieur à un.
(2) $ latex 1\ll ct$
Physiquement, cette condition dit que la distance parcourue par une onde sonore dans l’intervalle de temps t doit être beaucoup plus grande que la distance l, de sorte que la propagation des signaux de pression dans le fluide peut être considérée comme quasi instantanée par rapport à l’intervalle de temps sur lequel le débit change de manière significative.
Exemple incompressible
Un exemple de la raison pour laquelle les deux conditions sont requises peut être trouvé dans l’effondrement d’une bulle de vapeur. Pendant le processus d’effondrement, le liquide environnant peut être traité comme un fluide incompressible car la vitesse d’effondrement est bien inférieure à la vitesse du son. Cependant, au moment où la bulle disparaît, tout l’élan fluide se précipitant vers le point d’effondrement doit être arrêté. Si cela se produisait réellement instantanément, la pression d’effondrement serait énorme, c’est-à-dire beaucoup plus grande que ce qui est réellement observé. Étant donné qu’un signal sonore nécessite du temps pour sortir du point d’effondrement pour signaler au fluide entrant qu’il doit s’arrêter, la condition Deux est violée (c.-à-d., l > ct). Un modèle numérique précis du processus d’effondrement, capable de prédire les transitoires de pression corrects, nécessite l’ajout d’une compressibilité en vrac dans le liquide.