Chaque 14 mars, des mathématiciens comme moi sont poussés hors de nos terriers comme Punxsutawney Phil le jour de la Marmotte, clignant des yeux et déconcertés par toute cette agitation. Oui, c’est encore le jour de Pi. Et pas n’importe quel jour de Pi. Ils appellent cela le Jour Pi du siècle: 3.14.15. Pi à cinq chiffres. Une chose unique dans une vie.
Je le redoute. Aucun espoir de résoudre des équations ce jour-là, quoi avec les concours de mangeurs de tarte, les querelles sur les mérites de pi contre tau (pi fois deux) et les échecs sur qui peut réciter plus de chiffres de pi. Restez à l’écart des rues à 9 heures:26:53, lorsque le temps approchera pi à dix endroits: 3.141592653.
Pi mérite une célébration, mais pour des raisons rarement mentionnées. Au lycée, nous avons tous appris que pi concerne les cercles. Pi est le rapport de la circonférence d’un cercle (la distance autour du cercle, représentée par la lettre C) à son diamètre (la distance à travers le cercle à son point le plus large, représentée par la lettre d). Ce ratio, qui est d’environ 3.14, apparaît également dans la formule de l’aire à l’intérieur du cercle, A = nr2, où π est la lettre grecque « pi » et r est le rayon du cercle (la distance du centre au bord). Nous avons mémorisé ces formules et des formules similaires pour les S.A.T.S et ne les avons plus jamais utilisées, à moins que nous n’allions dans un domaine technique, ou jusqu’à ce que nos propres enfants prennent la géométrie.
Il est donc juste de se demander: Pourquoi les mathématiciens se soucient-ils autant de pi? Est-ce une sorte de fixation de cercle bizarre? Guère. La beauté de pi, en partie, est qu’elle met l’infini à portée de main. Même les jeunes enfants obtiennent cela. Les chiffres de pi ne se terminent jamais et ne montrent jamais de motif. Ils continuent pour toujours, apparemment au hasard – sauf qu’ils ne peuvent pas être aléatoires, car ils incarnent l’ordre inhérent à un cercle parfait. Cette tension entre l’ordre et le hasard est l’un des aspects les plus alléchants de pi.
Pi touche l’infini d’une autre manière. Par exemple, il existe des formules étonnantes dans lesquelles une procession sans fin de nombres de plus en plus petits s’ajoute à pi. L’une des premières séries infinies de ce type à être découverte dit que pi est égal à quatre fois la somme 1 – 1⁄3 + 1⁄5 – 1⁄7 + 1⁄9 – 1⁄11 + ⋯. L’apparition de cette formule seule est un motif de célébration. Il relie tous les nombres impairs à pi, reliant ainsi également la théorie des nombres aux cercles et à la géométrie. De cette façon, pi rejoint deux univers mathématiques apparemment séparés, comme un trou de ver cosmique.
Mais il y a encore plus à pi. Après tout, d’autres nombres irrationnels célèbres, comme e (la base des logarithmes naturels) et la racine carrée de deux, font le pont entre différents domaines des mathématiques, et ils ont eux aussi des séquences de chiffres interminables, apparemment aléatoires.
Ce qui distingue pi de tous les autres nombres est sa connexion aux cycles. Pour ceux d’entre nous qui s’intéressent aux applications des mathématiques au monde réel, cela rend pi indispensable. Chaque fois que nous pensons à des rythmes — des processus qui se répètent périodiquement, avec un tempo fixe, comme un cœur pulsant ou une planète en orbite autour du soleil — nous rencontrons inévitablement pi. Le voici dans la formule d’une série de Fourier:
Cette série est une représentation globale de tout processus, x(t), qui répète toutes les T unités de temps. Les éléments constitutifs de la formule sont pi et les fonctions sinus et cosinus de la trigonométrie. À travers la série de Fourier, pi apparaît dans les mathématiques qui décrivent la respiration douce d’un bébé et les rythmes circadiens du sommeil et de l’éveil qui régissent notre corps. Lorsque les ingénieurs en structure doivent concevoir des bâtiments pour résister aux tremblements de terre, pi apparaît toujours dans leurs calculs. Pi est incontournable car les cycles sont les cousins temporels des cercles; ils sont au temps comme les cercles sont à l’espace. Pi est au cœur des deux.
Pour cette raison, pi est intimement associée aux ondes, du flux et reflux des marées de l’océan aux ondes électromagnétiques qui nous permettent de communiquer sans fil. À un niveau plus profond, pi apparaît à la fois dans l’énoncé du principe d’incertitude de Heisenberg et dans l’équation d’onde de Schrödinger, qui capturent le comportement fondamental des atomes et des particules subatomiques. En bref, pi est tissé dans nos descriptions des rouages les plus profonds de l’univers.
C’est donc ce que je célébrerai quand l’horloge sonnera 3.14.15 9:26:53 — en sécurité dans mon terrier, en attendant le chaos. À l’année prochaine.