Un professeur d’université veut comparer les scores de ses étudiants avec la moyenne nationale. Elle choisit un échantillon aléatoire simple (SRS) de 20 étudiants, qui obtiennent une note moyenne de 50,2 sur un test standardisé. Leurs scores ont un écart type de 2,5. La moyenne nationale sur le test est de 60. Elle veut savoir si ses élèves ont obtenu des scores nettement inférieurs à la moyenne nationale.
Les tests de signification suivent une procédure en plusieurs étapes.
Étape 1modifier
Tout d’abord, énoncer le problème en termes de distribution et identifier les paramètres d’intérêt. Mentionnez l’échantillon. Nous supposerons que les scores (X) des étudiants de la classe du professeur sont à peu près normalement distribués avec des paramètres inconnus μ et σ
Étape 2Edit
Énoncent les hypothèses en symboles et en mots.
H O: μ = 60 {\displaystyle H_{O}: \quad\mu =60}
L’hypothèse nulle est que ses élèves ont obtenu un score égal à la moyenne nationale.
H A: μ < 60 {\displaystyle H_ {A}: \quad\mu <60}
L’hypothèse alternative est que ses élèves ont obtenu un score inférieur à la moyenne nationale.
Étape 3Edit
Deuxièmement, identifiez le test à utiliser. Puisque nous avons un SRS de petite taille et que nous ne connaissons pas l’écart-type de la population, nous utiliserons un test t à un échantillon.
La formule de la statistique T T pour un test à un échantillon est la suivante:
T = X-60 S/20 {\displaystyle T = {\frac{{\overline{X}} -60}{S/{\sqrt {20}}}}}
où X {\displaystyle {\overline{X}}}
est la moyenne de l’échantillon et S est l’écart type de l’échantillon.
Une erreur assez courante est de dire que la formule de la statistique du test t est:
T = x-μ s/n {\displaystyle T = {\frac{{\overline{x}}-\mu}{s/{\sqrt{n}}}}}
Ce n’est pas une statistique, car μ est inconnu, ce qui est le point crucial d’un tel problème. La plupart des gens ne le remarquent même pas. Un autre problème avec cette formule est l’utilisation de x et s. Ils doivent être considérés comme les statistiques d’échantillon et non leurs valeurs.
La bonne formule générale est:
T = X−c S/n {\displaystyle T = {\frac{{\overline{X}}-c}{S/{\sqrt{n}}}}}
dans laquelle c est la valeur hypothétique de μ spécifiée par l’hypothèse nulle.
(L’écart-type de l’échantillon divisé par la racine carrée de la taille de l’échantillon est appelé « erreur-type » de l’échantillon.)
Étape 4Edit
Indique la distribution de la statistique de test sous l’hypothèse nulle. Sous H0, la statistique T suivra la distribution d’un étudiant avec 19 degrés de liberté : T τ τ ⋅(20 − 1) {\displaystyle T\sim\tau\cdot (20-1)}
.
Etape 5Edit
Calculer la valeur observée t de la statistique de test T, en entrant les valeurs, comme suit :
t = x-60 s / 20 = 50.2 − 60.0 2.5 / 20 = − 9.8 2.5 / 4.47 = − 9.8 0.559 = − 17.5 {\ displaystyle t = {\frac{{\overline{x}} -60}{s/{\sqrt{20}}}} = {\frac {50.2-60.0}{2.5/{\ sqrt {20}}}} = {\frac {-9.8}{2.5/4.47}}={\ frac {-9,8} {0.559}}=-17.5}
Étape 6Edit
Déterminer la soi-disant valeur p de la valeur t de la statistique de test T. Nous rejetterons l’hypothèse nulle pour des valeurs trop petites de T, nous calculons donc la valeur p gauche:
valeur P = P (T ≤ t; H 0) = P(T ( 19 ) ≤ − 17.5 ) ≈ 0 {\ il y a une différence entre les deux types de paramètres. 0}
La distribution de Student donne T(19) = 1,729 {\displaystyle T(19)=1.729}
aux probabilités 0,95 et degrés de liberté 19. La valeur p est approchée à 1,777e-13.
Étape 7Edit
Enfin, interprétez les résultats dans le contexte du problème. La valeur p indique que les résultats ne se sont presque certainement pas produits par hasard et que nous avons suffisamment de preuves pour rejeter l’hypothèse nulle. Les élèves du professeur ont obtenu des notes nettement inférieures à la moyenne nationale.