Stress déviatoire et invariants
Publié par: Pantelis Liolios / Sept. 16, 2020
Le tenseur des contraintes peut être exprimé comme la somme de deux tenseurs de contraintes, à savoir : le tenseur des contraintes hydrostatiques et le tenseur des contraintes déviatoires. Dans cet article, nous définirons la partie hydrostatique et la partie déviatrice du tenseur des contraintes et nous calculerons les invariants du tenseur des déviateurs de contraintes. Les invariants de la contrainte déviatoire sont fréquemment utilisés dans les critères de défaillance.
Considérons un tenseur des contraintes \(\sigma_{ij}\) agissant sur un corps. Le corps stressé a tendance à changer à la fois de volume et de forme. La partie du tenseur de contrainte qui tend à modifier le volume du corps est appelée tenseur de contrainte hydrostatique moyen ou tenseur de contrainte volumétrique. La partie qui tend à déformer le corps est appelée tenseur déviateur de stress. Par conséquent, le tenseur des contraintes peut s’exprimer comme:
où \(\delta_{ij}\) est le delta de Kronecker (avec \(\delta_{ij} = 1\) si \(i =j\) et \(\delta_{ij} = 0\) si \(i\neq j\)), \(p\) est la contrainte moyenne donnée par:
où \(I_{1}\) est le premier invariant du tenseur des contraintes (voir aussi : Contraintes principales et invariants de contraintes). Le produit \(p\delta_{ij}\) est le tenseur des contraintes hydrostatiques et ne contient que des contraintes normales. Le tenseur des contraintes déviatoires peut être obtenu en soustrayant le tenseur des contraintes hydrostatiques du tenseur des contraintes:
Afin de calculer les invariants du tenseur déviateur de contrainte, nous suivrons la même procédure utilisée dans l’article Contraintes principales et invariants de contrainte. Il faut mentionner que les directions principales du tenseur déviateur de contrainte coïncident avec les directions principales du tenseur de contrainte. L’équation caractéristique pour \(s_{ij}\) est:
où \(J_{1}\), \(J_{2}\) et \(J_{3}\) sont respectivement les premier, deuxième et troisième invariants de contraintes déviatoires. Les racines du polynôme sont les trois contraintes déviatoires principales \(s_{1}\), \(s_{2}\) et \(s_{3}\). \(J_{1}\), \(J_{2}\) et \(J_{3}\) peuvent être calculés par les expressions suivantes:
où \(I_{1}\), \(I_{2}\) et \(I_{3}\) sont les trois invariants du tenseur des contraintes et \(\det(s_{ij})\) est le déterminant de \(s_{ij}\). Il faut mentionner que puisque \(J_{1} = s_{kk} = 0\), le tenseur déviateur de contrainte décrit un état de cisaillement pur.
Exemple
Calculer le tenseur déviateur de contrainte et ses invariants pour le tenseur de contrainte suivant:
Montrer la solution…
Tout d’abord, nous calculons la pression moyenne \(p \):
À partir de l’équation (3), nous calculons le tenseur du déviateur de contrainte:
Pour les invariants du tenseur du déviateur de contrainte, nous utiliserons les équations (5) et nous obtenons:
Enfin l’équation caractéristique est:
Mots clés: algèbre | valeurs propres | invariants | mécanique / tenseurs