Analisi funzionale

Importanti risultati dell’analisi funzionale, includono:

Uniforme limitatezza principleEdit

articolo Principale: Banach-Steinhaus teorema

L’uniforme limitatezza principio o di Banach–Steinhaus teorema è uno dei risultati fondamentali, in analisi funzionale. Insieme al teorema di Hahn-Banach e al teorema della mappatura aperta, è considerato uno dei capisaldi del campo. Nella sua forma di base, afferma che per una famiglia di operatori lineari continui (e quindi operatori limitati) il cui dominio è uno spazio di Banach, il limite puntuale è equivalente al limite uniforme nella norma dell’operatore.

Il teorema è stato pubblicato per la prima volta nel 1927 da Stefan Banach e Hugo Steinhaus, ma è stato anche dimostrato indipendentemente da Hans Hahn.

Teorema (principio di limite uniforme). Sia X uno spazio di Banach e Y uno spazio vettoriale normato. Supponiamo che F sia una raccolta di operatori lineari continui da X a Y. Se per ogni x in X e si ha

sup T ∈ F ‖ T ( x ) ‖ Y < ∞ , {\displaystyle \sup \nolimits _{T\in F}\|T(x)\|_{Y}<\infty ,}

\sup\nolimits_{T \in F} \|T(x)\|_Y \infty,

quindi

sup T ∈ F ‖ T ‖ B ( X , Y ) < ∞ . il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti per migliorare la tua esperienza di navigazione .}

 \ sup \ nolimits_{T \ in F} \ / T \ / _{B(X,Y)} \ infty.

Teoria spettralemodifica

Articolo principale: Teorema spettrale

Esistono molti teoremi noti come teorema spettrale, ma uno in particolare ha molte applicazioni nell’analisi funzionale.

Teorema: sia a Un delimitata autoaggiunte operatore su uno spazio di Hilbert H. Quindi c’è una misura di spazio (X, S, m) e a valori reali essenzialmente limitato funzione misurabile f su X e un operatore unitario U:H → L2µ(X) tali che

U ∗ T U = A {\displaystyle U^{*}TU=A\;}

 U^* T U = A \;

dove T è l’operatore di moltiplicazione:

( x ) = f ( x ) φ ( x ) . {\displaystyle (x)=f (x) \ varphi (x).\;}

 (x) = f(x) \varphi(x). \;

e and T = = f f ∞ ∞ {\displaystyle \ / T\ / =\ / f \ / _{\infty }}

\|T\ / = \ / f \ / _{\infty }

Questo è l’inizio della vasta area di ricerca dell’analisi funzionale chiamata teoria degli operatori; vedi anche la misura spettrale.

Esiste anche un analogo teorema spettrale per gli operatori normali limitati sugli spazi di Hilbert. L’unica differenza nella conclusione è che ora f {\displaystyle f}

f

può essere di valore complesso.

Teoria di Hahn-Banachmodifica

Articolo principale: Teorema di Hahn-Banach

Il teorema di Hahn–Banach è uno strumento centrale nell’analisi funzionale. Permette l’estensione di funzionali lineari limitati definiti su un sottospazio di uno spazio vettoriale all’intero spazio, e mostra anche che ci sono “abbastanza” funzionali lineari continui definiti su ogni spazio vettoriale normato per rendere “interessante”lo studio dello spazio duale.

Teorema di Hahn–Banach: Se p: V → R è una funzione sublineare, e φ: U → R è un funzionale lineare su un sottospazio lineare U V V che è dominato da p su U, cioè

φ ( x ) ≤ p ( x ) ∀ x ∈ U {\displaystyle \varphi (x)\leq p(x)\qquad \forall x\in U}

\varphi(x) \leq p(x)\qquad\forall x \in U

quindi esiste una estensione lineare ψ : V → R di φ, per l’intero spazio V, cioè, esiste un funzionale lineare tale che ψ

ψ ( x ) = φ ( x ) ∀ x ∈ U , {\displaystyle \psi (x)=\varphi (x)\qquad \forall x\in U,}

\psi(x)=\varphi(x)\qquad\forall x\in U,

ψ ( x ) ≤ p ( x ) ∀ x ∈ V . {\displaystyle \ psi (x)\leq p(x) \ qquad \ forall x \ in V.}

\psi(x) \le p(x)\qquad\forall x\in V.

Aprire la mappatura theoremEdit

articolo Principale: teorema della mappa Aperta (analisi funzionale)

Il teorema della mappa aperta, noto anche come il Banach–teorema di Schauder (che prende il nome di Stefan Banach e Juliusz Schauder), è un risultato fondamentale in cui si afferma che se continuo operatore lineare tra spazi di Banach è surjective allora è una mappa aperta. Più precisamente,:

Teorema di mappatura aperta. Se X e Y sono spazi di Banach e A: X → Y è un operatore lineare continuo suriettivo, allora A è una mappa aperta (cioè se U è un insieme aperto in X, allora A (U) è aperto in Y).

La dimostrazione utilizza il teorema della categoria di Baire e la completezza di X e Y è essenziale per il teorema. L’affermazione del teorema non è più vera se uno spazio è solo assunto come uno spazio normato, ma è vero se X e Y sono considerati spazi di Fréchet.

Teorema del grafo chiusomodifica

Articolo principale: Teorema del grafo chiuso

Il teorema del grafo chiuso afferma quanto segue:Se X è uno spazio topologico e Y è uno spazio di Hausdorff compatto, allora il grafico di una mappa lineare T da X a Y è chiuso se e solo se T è continuo.

Altri argomenti

Articolo principale: Elenco di argomenti di analisi funzionale

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