In algebra lineare, una matrice aumentata è una matrice ottenuta aggiungendo le colonne di due matrici date, di solito allo scopo di eseguire le stesse operazioni di riga elementare su ciascuna delle matrici date.
Date le matrici A e B,dove
A = , B = , {\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&3&2\\2&0&1\\5&2&2\end{bmatrix}},\quad B={\begin{bmatrix}4\\3\\1\end{bmatrix}},}
l’aumentata matrice (A|B) è scritto come
( A | B ) = . {\displaystyle (A|B)= \ sinistra.}
Questo è utile quando si risolvono sistemi di equazioni lineari.
Per un dato numero di incognite, il numero di soluzioni di un sistema di equazioni lineari dipende solo dal rango della matrice che rappresenta il sistema e dal rango della corrispondente matrice aumentata. In particolare, secondo le Rouché–Capelli teorema, qualsiasi sistema di equazioni lineari è incoerente (non ha soluzioni) se il rango della matrice aumentata è maggiore del rango della matrice dei coefficienti; se, invece, la truppa di queste due matrici sono uguali, il sistema deve avere almeno una soluzione. La soluzione è unica se e solo se il rango è uguale al numero di variabili. Altrimenti la soluzione generale ha parametri k liberi dove k è la differenza tra il numero di variabili e il rango; quindi in tal caso ci sono un’infinità di soluzioni.
Una matrice aumentata può anche essere utilizzata per trovare l’inverso di una matrice combinandola con la matrice identità.