Chezy e Manning hanno sviluppato equazioni che vengono utilizzate per determinare la portata volumetrica media nei canali aperti. Questo articolo spiega un metodo di laboratorio che è stato sviluppato e testato per identificare ulteriormente e quantificare i parametri che compongono i coefficienti di rugosità di tali equazioni. Questo metodo utilizza un canale idraulico e si avvale della tecnica dell’omogeneità dimensionale e di una nuova forma esponenziale di un’equazione per la calibrazione dello strumento.
Misurare con precisione le velocità medie in canali o canali sotterranei con superfici aperte all’atmosfera è stata una sfida per secoli. Maggiore è l’area della sezione trasversale del flusso maggiore è l’imprecisione o l’incertezza della misurazione.
Il flusso a canale aperto è governato dalla relazione di Froude, il rapporto tra forze inerziali e forze gravitazionali. Così, è stato riconosciuto all’inizio della storia dell’idraulica che la formula per tale velocità media avrebbe dovuto essere un equilibrio tra gravità, causando il flusso, e rugosità del canale, cercando di ritardare il flusso. È stato anche riconosciuto che una tale formula avrebbe dovuto essere per flusso uniforme, cioè per flusso stazionario, tale che la profondità dell’acqua rispetto al fondo del corso d’acqua è una costante, o d(y)/dx = 0.
Si nota che in tubo o flusso pressurizzato la parola uniforme ha un significato diverso. In tale applicazione, significa che il profilo di velocità ha una velocità costante su tutta la sezione trasversale. D’altra parte, l’idraulica a canale aperto non ha parole per velocità costante su una sezione trasversale. In questo articolo, “normale” indica la prima di queste due definizioni, cioè lo stato stazionario e la profondità costante. Tutte le unità in questo articolo sono unità ingegneristiche comunemente utilizzate negli Stati Uniti
Equazioni Sviluppate da Chezy e Manning
La prima formula di “resistenza” riconosciuta e più duratura per il flusso a canale aperto allo stato stazionario è accreditata ad Antoine Chezy. Fu incaricato di determinare la sezione trasversale e calcolare lo scarico per l’approvvigionamento idrico di Parigi e aumentarne la portata. Lo fece nel 1768 confrontando le condizioni di flusso tra due corsi d’acqua, il canale di Courpalet e la Senna. La sua formula risultante è stato pubblicato il suo rapporto sul Canal de l’Yvette come:
Vavg = C x R1/2 x S1/2
dove Vavg è la media delle velocità in metri al secondo; C è Chezy del fattore di resistenza al flusso in feet1/2/sec; R è il raggio idraulico (l’area della sezione trasversale diviso il perimetro bagnato) in piedi; e S è la pendenza, che è adimensionale. Tuttavia, il lavoro di Chezy ha ricevuto poca attenzione fino a molti anni dopo la sua morte.
Nel 1889, un irlandese di nome Robert Manning, che era ingegnere capo dell’Ufficio irlandese dei lavori pubblici, presentò un documento intitolato “On the Flow of Water in Open Channels and Pipes.”Anche se il suo interesse principale sembra essere stata l’idrologia, ha derivato una formula media di “resistenza” per i canali aperti da tutte le diverse formule di resistenza pubblicate fino a quel momento. Nel formato di oggi, questa equazione, che chiameremo Equazione 1 per riferimento futuro, è:
Vavg = (1.486 / n) x R2 / 3 x S1 / 2
dove n è il coefficiente di rugosità di Manning, che è lo stesso numericamente nei sistemi dimensionali statunitensi o metrici. Nel sistema degli Stati Uniti, ha unità di secondo / piedi1 / 3. Se si utilizzano unità metriche, 1.486 viene sostituito da 1.0 e le sue unità sono second/meter1 / 3.
L’equazione di Manning è stata la più riuscita di tutte le equazioni empiriche a canale aperto, basate sulla resistenza al flusso e derivate dall’osservazione. In realtà, non è esagerato dire che è la pietra angolare della scienza odierna dell’ingegneria idraulica.
Tuttavia, nel senso classico, entrambe le equazioni di Chezy e Manning hanno diverse carenze simili. Innanzitutto, non hanno omogeneità dimensionale, cioè le unità sul lato sinistro non sono le stesse delle unità sul lato destro. Tali equazioni sono solitamente derivate dalla sperimentazione o dall’osservazione e perdono rapidamente la precisione se estrapolate oltre il loro raggio di osservazione. È noto che l’equazione di Manning perde precisione con pendii molto ripidi o poco profondi. In secondo luogo, per ottenere l’omogeneità dimensionale, le loro costanti o coefficienti non sono numeri puri, ma sono unità assegnate artificialmente.
Inoltre, l’equazione di Manning suggerisce che la velocità media è più sensibile al raggio idraulico che alla pendenza. Questa è davvero un’incompatibilità, perché la natura stessa del flusso a canale aperto è una funzione della componente di pendenza della gravità. La forma del passaggio dell’acqua, calcolata dal raggio idraulico, esercita un effetto sulla rugosità assoluta, ma non è un effetto primario sulla velocità media stessa. Più basso è il rapporto di raggio idraulico, maggiore è la percentuale del flusso che è in contatto con la rugosità dei confini.
Inoltre, la natura stessa delle equazioni è una contraddizione. Le equazioni descrivono una velocità media che esiste in una sezione trasversale perpendicolare al flusso. Tale sezione trasversale ha uno spessore infinitesimale nella direzione del flusso, mentre le equazioni si basano su coefficienti che sono indicati come “coefficienti di rugosità.”Ma l’effetto di tale rugosità ha bisogno di una lunghezza finita per esistere-non può avere un effetto su uno spessore infinitesimale. Ciò significa che la rugosità stessa deve agire su qualche altro parametro che può esistere su una lunghezza infinitesimale per ritardare la velocità del flusso.
Teoria alla base di un esperimento di laboratorio
L’accuratezza delle equazioni di Chezy e Manning dipende dalla selezione dei loro coefficienti di rugosità individuali. Questo di solito viene fatto confrontando con flussi simili noti o da un libro di riferimento di immagini di flussi. Tuttavia, nell’articolo intitolato “Forma dimensionalmente omogenea delle equazioni di Chezy e Manning”, pubblicato da Hydro Review nell’aprile 2014, ho proposto un nuovo metodo sperimentale per determinare le parti costitutive che comprendono questi coefficienti di rugosità.
Per dimostrare la tecnica, ho presentato a una classe di laurea in Ingegneria delle energie rinnovabili iscritta al corso di Laboratorio idraulico presso l’Oregon Institute of Technology (OIT) di Wilsonville, Oregon, un esperimento progettato per identificare e quantificare le componenti dei coefficienti di rugosità. Questo esperimento si sarebbe concentrato sull’equazione di Manning e si basava sull’utilizzo del principio di omogeneità dimensionale. Gli studenti laureati OIT che hanno partecipato a questo esperimento di laboratorio erano Joshua Couch, Cole Harrington, Karissa Hilsinger, Tai Huynh, Krystal Locke, William Perreira, Cullen Ryan, Pauloi Santos Vasconcelos Jr., Anurak Sitthiwong e Asmitha Velivela.
In primo luogo, sono stati formati due parametri: Hv/S e R. Hv rappresenta la testa di velocità, cioè Hv = (α x Vavg2) / (2 x g), dove α è chiamato fattore di correzione della testa di velocità o fattore di Coriolis. Questo moltiplicatore rappresenta l’energia aggiuntiva contenuta nel flusso a pressione aperta o chiusa che esiste ogni volta che un profilo di velocità non è costante su un’area della sezione trasversale. Questo perché l’energia del fluido è una funzione del quadrato della velocità e la somma dei quadrati in ogni tubo di flusso fluido è maggiore del quadrato della somma delle velocità in ogni tubo di flusso.
Numericamente α è sempre uguale o maggiore di uno ed è adimensionale. La pendenza o S potrebbe essere apparsa su entrambi i lati parametrici, ma è stata assegnata al parametro Hv, perché in idraulica ci sono più che ampie prove che la velocità media è una funzione della radice quadrata della pendenza, cioè Vavg ≈ S1/2. Quindi, è stato progettato un esperimento di laboratorio che consentirebbe di ottenere dati e tracciati come Hv/S contro R, entrambi i quali hanno unità di piedi. Pertanto, qualsiasi equazione sperimentale risultante dovrebbe avere omogeneità dimensionale.
Le unità di Hv, dall’equazione di Bernoulli, sono libbre per libbra o “energia specifica”, ma sono ancora omogenee con R, che ha unità di piedi. Va notato che quando R diventa più grande, il perimetro bagnato (P) diventa più piccolo rispetto all’area (A). Ciò significa che la resistenza di attrito al flusso deve ridursi e, pertanto, la velocità media dovrebbe aumentare. In altre parole, una relazione lineare tra Hv / S e R dovrebbe avere una pendenza positiva.
Apparecchio di prova
Un piccolo canale di laboratorio inclinabile con una pompa di ricircolo della piscina, che uno studente aveva costruito convenientemente il semestre precedente, è stato adattato per l’uso. Fu subito evidente che misurare il fattore di correzione della testa di velocità in un canale così piccolo sarebbe stato impossibile. L’alternativa migliore era misurare solo pendenza, velocità media e profondità dell’acqua per un flusso critico e uniforme.
A flusso critico, dove il numero di Froude è uguale a uno, la minima energia idraulica è contenuta per una data quantità di fluido in movimento. Di conseguenza, non dovrebbe essere disponibile alcuna energia aggiuntiva per formare un profilo di velocità non costante e il fattore di correzione della testa di velocità dovrebbe essere vicino a uno. Inoltre, poiché il canale era breve, l’energia nel fluido che entrava nel canale doveva essere abbinata al livello di energia desiderato per un dato flusso nel canale, in modo che il flusso uniforme o stazionario fosse immediatamente raggiunto.
Non è stato possibile regolare la pompa della piscina che finemente. Di conseguenza, il team di ricercatori ha scelto di portare in un secondo serbatoio di acqua, hanno lo scarico della pompa in quel serbatoio, e poi con attenzione sifone da quel serbatoio nel canale di scolo. Un misuratore di portata sonico collegato al tubo tra il serbatoio e il canale ha dato la portata volumetrica. Ci sono voluti una notevole quantità di tempo e fatica per ottenere tutto bilanciato per un singolo punto di dati di stato stazionario, uniforme, e flusso critico in un piccolo canale. Tuttavia, alla fine sono stati raccolti tre punti di dati, che erano sufficienti per dimostrare questo metodo di analisi dei dati (tabelle 1 e 2).
Tabella 1. Questa tabella mostra i dati raccolti durante tre esperimenti a canale aperto condotti in laboratorio utilizzando un canale. Fonte: Lee H. Sheldon, PE
Tabella 2. Questa tabella mostra i dati raccolti durante tre esperimenti a canale aperto condotti in laboratorio utilizzando un canale. Fonte: Lee H. Sheldon, PE
Si sottolinea che questi punti dati erano strettamente distanziati in termini di portata volumetrica. Questo perché un canale di cinque pollici di larghezza-azionato per flussi uniformi e critici-non prevedeva un’ampia gamma di variabilità del flusso. Inoltre, questo esperimento è stato fatto in un canale di plexiglas molto liscio dove n di Manning è stato misurato come solo 0.009, mentre, 0.012 è il valore più liscio nella tabella pubblicata di canali d’acqua prototipo. Pertanto, qualsiasi risultato numerico dovrebbe essere visto come applicabile solo a questo regime idraulico molto stretto.
Tuttavia, si sottolinea anche che l’obiettivo di questo esperimento di laboratorio era solo quello di dimostrare se questo metodo potesse essere utilizzato in futuro, ricerche più approfondite per fornire ulteriori informazioni e accuratezza nella composizione dei componenti delle equazioni di Chezy e in particolare di Manning.
Tecnica di riduzione dei dati
Il tracciato di questi tre punti dati è stato eseguito nello stesso modo dell’equazione di calibrazione dello strumento descritta in un articolo che ho scritto intitolato “A New Calibration Equation for the Winter-Kennedy Piezometer System”, pubblicato da Hydro Review nell’ottobre 2013. Questo metodo produce un’equazione di calibrazione direttamente in forma esponenziale per il confronto pronto con le equazioni a canale aperto comunemente usate, cioè log10 (Hv/S) è stato tracciato come ordinata o asse y e log10R è stato tracciato come ascissa o asse x (Figura 1).
1. Questo grafico mostra il canale del modello a flusso critico e uniforme. Fonte: Lee H. Sheldon, PE
Questi punti di approssimazione di una linea retta e ha prodotto un’equazione del tipo: y = mx + b.
log10(Hv/S) = mlog10R + b = log10(Rm) + b
Elevare entrambi i lati dell’equazione come potenze di 10 rendimenti:
10^(log10Hv/S) = 10^(log10Rm + b) = 10 x 10^(log10Rm)
Quindi, da logaritmica identità:
Hv/S = 10 x Rm
o
Hv = 10b x S x Rm
Sostituendo Hv risultati:
aVavg2/2g = 10b x S x Rm
Riordinando i termini si ottiene:
Vavg = (2g10b/α)1/2 x S1/2 x Rm/2
Sostituendo i valori numerici di m = 0.7497 e b = 1.7328 dalla Figura 1 fornisce:
Vavg = (2g x 101.7328/α)1/2 x S1/2 x (R0.7497)1/2
si è notato che la pendenza (m) è positivo come previsto in precedenza. Pertanto:
Vavg = (108.1011 g/α)1/2 x S1/2 x R0.3749
Risultante nella seguente equazione, che chiameremo Equazione 2 per riferimento futuro:
Vavg = 10.3972 (gS / α) 1/2 x R3/8
Ora, in questa forma, l’equazione a canale aperto contiene solo parametri che possono essere determinati attraverso un’area della sezione trasversale infinitamente sottile. Confrontare l’equazione 2 con l’equazione 1 fornisce informazioni sulle relazioni dei parametri nell’equazione di Manning.
Vavg = 10.3972 x (gS/α)1/2 x R3/8 = (1.486/n) x R2/3 x S1/2
Ora, pari solo due espressioni e annullamento S1/2 termini si ottiene:
10.3972 x (g/α)1/2 x R3/8 = (1.486/n) x R2/3
Combinare R termini, si traduce in:
10.3972 x (g/α)1/2 = (1.486 / n) x R7 / 24
Che si traduce in quanto segue, che chiameremo Equazione 3 per riferimento futuro:
= 0.1429 x (α/g)1/2 x R7/24
Si nota che l’equazione 2 non ha esatta omogeneità dimensionale. Trascurando i valori dei coefficienti numerici, se l’esponente di R fosse stato 4/8 invece di 3/8, e con l’inclusione di unità per g (accelerazione gravitazionale), avrebbe avuto esatta omogeneità. Separatamente, si nota che per l’equazione di Manning per avere omogeneità dimensionale, le unità di n nell’equazione 1 erano state storicamente assegnate artificialmente come secondi / feet1 / 3 o secondi / feet8 / 24. Nell’equazione 3, ora, includendo anche le unità per g, n ha unità di secondi / piedi5 / 24.
Si ritiene che queste due differenze nell’equazione di Manning e nella n di Manning possano essere dovute all’incertezza o all’inesattezza della misurazione dei dati nel canale di prova limitato a disposizione degli studenti. Pertanto, ancora una volta, si sottolinea che i risultati numerici finali di questo esperimento probabilmente hanno un grado di incertezza, ma il metodo per quantificare più accuratamente l’equazione di Manning è chiaramente dimostrato.
Il termine S(g) è la pendenza volte accelerazione gravitazionale. Quando la pendenza, d(y) / dx, diventa più grande, c’è una forza gravitazionale più grande che agisce per accelerare il flusso.
Come accennato prima, l’equazione di Manning è una media di tutte le equazioni a canale aperto pubblicate prima del 1889. Il fatto che non includesse l’effetto del fattore di correzione della testa di velocità è abbastanza comprensibile. Non è stato fino al 1877 che il fattore di correzione della testa di velocità di Coriolis è stato riconosciuto come una variabile e non una costante.
Le relazioni dell’equazione 2 mostrano che n di Manning è una metrica per il fattore di correzione della testa di velocità, cioè n è proporzionale a α1/2. Teoricamente, se n è raddoppiato, il fattore di correzione della testa di velocità è aumentato di quattro volte e la velocità media è dimezzata. Questo è il meccanismo attraverso il quale la rugosità dei confini del fluido agisce per ritardare la velocità del flusso attraverso una sezione trasversale infinitesimale sottile.
Come notato, la n di Manning è direttamente influenzata dal raggio idraulico (R7/24). Ciò dimostra che la selezione della n di un Manning non è solo una funzione della rugosità, ma della forma della sezione trasversale del corso d’acqua. Il fatto che i canali possano presentare alcune differenze nella n di Manning a causa della loro sola forma, così come della loro rugosità, è stato precedentemente documentato in altra letteratura.
In un documento intitolato “Determinazione del coefficiente di rugosità per canali foderati e sfoderati” pubblicato dalla stazione di ricerca ingegneristica Karnataka in India, si dice, “Il flusso nei canali è complicato dal fatto che la forma degli elementi di rugosità e quindi la resistenza al flusso sono funzioni delle caratteristiche della forma e dell’allineamento del canale. Questi fattori costituiscono il coefficiente di rugosità o il coefficiente di rugosità.”Il motivo, come accennato prima, è minore è il raggio idraulico, maggiore è la percentuale relativa del volume di flusso che è in contatto diretto con la rugosità assoluta data del confine. Pertanto, maggiore è la resistenza che il limite impone per ritardare la portata volumetrica, più il profilo di velocità diventa non uniforme, come calcolato da α. Pertanto, minore è il raggio idraulico, maggiore è la perdita di energia. Al contrario, maggiore è il raggio idraulico, più il profilo di velocità tende a diventare uniforme sulla sezione trasversale. Per coincidenza, la C di Chezy è inversamente proporzionale a R1 / 8.
Le equazioni sviluppate da Chezy e Manning possono sembrare molto semplici; tuttavia, rappresentano interazioni complesse di parametri idraulici di fluidi in canali aperti. Il processo sperimentale presentato in questo articolo può essere utilizzato per studiare queste interazioni. L’uso di questo metodo sperimentale, sulla base molto limitata e ristretta sopra descritta, suggerisce che la differenza tra le equazioni di Chezy e Manning potrebbe non essere così grande come sembra. La vera differenza può essere più nel grado di dipendenza che ogni coefficiente di resistenza al flusso ha sul fattore di correzione della testa di velocità e sul raggio idraulico.
—Lee H. Sheldon, PE è un ingegnere idroelettrico con 50 anni di esperienza. Ha pubblicato 33 documenti tecnici e un libro di testo universitario sull’ingegneria idroelettrica, e ha lavorato a tutti i progetti idroelettrici federali nel Pacifico nord-occidentale, tra gli altri. In precedenza era professore all’OIT, dove insegnava ingegneria idroelettrica e meccanica dei fluidi.