L’astronomo Galileo Galilei nel suo Il Saggiatore scrisse che ” è scritto nel linguaggio della matematica, e i suoi caratteri sono triangoli, cerchi e altre figure geometriche.”Gli artisti che si sforzano e cercano di studiare la natura devono prima, secondo Galileo, comprendere appieno la matematica. I matematici, al contrario, hanno cercato di interpretare e analizzare l’arte attraverso la lente della geometria e della razionalità. Il matematico Felipe Cucker suggerisce che la matematica, e in particolare la geometria, è una fonte di regole per la “creazione artistica guidata dalle regole”, anche se non l’unica. Alcuni dei molti filoni della relazione complessa risultante sono descritti di seguito.
La matematica come arte
Il matematico Jerry P. King descrive la matematica come un’arte, affermando che “le chiavi della matematica sono la bellezza e l’eleganza e non l’ottusità e la tecnicità”, e che la bellezza è la forza motivante per la ricerca matematica. King cita il matematico G. H. Hardy del 1940 saggio A Mathematician’s Apology. In esso, Hardy discute perché trova due teoremi dei tempi classici come primo tasso, vale a dire la prova di Euclide ci sono infiniti numeri primi, e la prova che la radice quadrata di 2 è irrazionale. King valuta quest’ultimo contro i criteri di Hardy per l’eleganza matematica: “seriousness, depth, generality, unexpectedness, inevitability, and economy” (corsivo di King), e descrive la prova come “esteticamente piacevole”. Il matematico ungherese Paul Erdős concordò sul fatto che la matematica possedesse la bellezza, ma considerò le ragioni oltre la spiegazione: “Perché i numeri sono belli? È come chiedere perché è bella la nona Sinfonia di Beethoven. Se non capisci perché, qualcuno non può dirtelo. So che i numeri sono bellissimi.”
Strumenti matematici per artEdit
La matematica può essere discernuta in molte delle arti, come la musica, la danza, la pittura, l’architettura e la scultura. Ognuno di questi è riccamente associato alla matematica. Tra le connessioni con le arti visive, la matematica può fornire strumenti per gli artisti, come le regole della prospettiva lineare descritte da Brook Taylor e Johann Lambert, o i metodi della geometria descrittiva, ora applicati nella modellazione software dei solidi, risalenti ad Albrecht Dürer e Gaspard Monge. Gli artisti di Luca Pacioli nel Medioevo e Leonardo da Vinci e Albrecht Dürer nel Rinascimento hanno fatto uso e sviluppato idee matematiche nel perseguimento del loro lavoro artistico. L’uso della prospettiva iniziò, nonostante alcuni usi embrionali nell’architettura dell’antica Grecia, con pittori italiani come Giotto nel xiii secolo; regole come il punto di fuga furono formulate per la prima volta da Brunelleschi nel 1413 circa, la sua teoria influenzò Leonardo e Dürer. Il lavoro di Isaac Newton sullo spettro ottico influenzò la Teoria dei colori di Goethe e a sua volta artisti come Philipp Otto Runge, J. M. W. Turner, i Preraffaelliti e Wassily Kandinsky. Gli artisti possono anche scegliere di analizzare la simmetria di una scena. Gli strumenti possono essere applicati da matematici che stanno esplorando l’arte, o artisti ispirati dalla matematica, come M. C. Escher (ispirato da H. S. M. Coxeter) e l’architetto Frank Gehry, che più tenuamente ha sostenuto che il computer aided design gli ha permesso di esprimersi in un modo completamente nuovo.
L’artista Richard Wright sostiene che gli oggetti matematici che possono essere costruiti possono essere visti ” come processi per simulare fenomeni “o come opere di”computer art”. Egli considera la natura del pensiero matematico, osservando che i frattali erano noti ai matematici per un secolo prima che fossero riconosciuti come tali. Wright conclude affermando che è opportuno sottoporre gli oggetti matematici a qualsiasi metodo utilizzato per “venire a patti con artefatti culturali come l’arte, la tensione tra oggettività e soggettività, i loro significati metaforici e il carattere dei sistemi di rappresentazione.”Dà come esempi un’immagine dal set di Mandelbrot, un’immagine generata da un algoritmo di automa cellulare e un’immagine renderizzata al computer, e discute, con riferimento al test di Turing, se i prodotti algoritmici possono essere arte. La matematica e l’arte di Sasho Kalajdzievski: Un’introduzione alla matematica visiva adotta un approccio simile, esaminando argomenti di matematica opportunamente visivi come tiling, frattali e geometria iperbolica.
Alcune delle prime opere di computer art sono state create da Desmond Paul Henry “Drawing Machine 1”, una macchina analogica basata su un computer a mirino bomba ed esposta nel 1962. La macchina era in grado di creare disegni al tratto complessi, astratti, asimmetrici, curvilinei, ma ripetitivi. Più recentemente, Hamid Naderi Yeganeh ha creato forme suggestive di oggetti del mondo reale come pesci e uccelli, utilizzando formule che vengono successivamente variate per disegnare famiglie di curve o linee angolate. Artisti come Mikael Hvidtfeldt Christensen creano opere di arte generativa o algoritmica scrivendo script per un sistema software come Structure Synth: l’artista dirige efficacemente il sistema per applicare una combinazione desiderata di operazioni matematiche ad un insieme scelto di dati.
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Matematica scultura di Betsabea Grossman, 2007
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Frattale, la scultura 3D Fraktal 03/H/gg da Hartmut Skerbisch, 2003
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Fibonacci parola: dettagli di opere d’arte di Samuel Monnier, 2009
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Computer art, immagine prodotta da Desmond Paul Henry “Disegno a Macchina 1”, esposto 1962
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il Volo di Un Uccello, da Hamid Naderi Yeganeh, 2016, costruite con una famiglia di curve matematiche.
Dalla matematica all’artemodifica
La scienza e l’ipotesi del matematico e fisico teorico Henri Poincaré è stata ampiamente letta dai cubisti, tra cui Pablo Picasso e Jean Metzinger. Avendo familiarità con il lavoro di Bernhard Riemann sulla geometria non euclidea, Poincaré era più che consapevole del fatto che la geometria euclidea è solo una delle molte configurazioni geometriche possibili, piuttosto che come una verità oggettiva assoluta. La possibile esistenza di una quarta dimensione ha ispirato gli artisti a mettere in discussione la prospettiva rinascimentale classica: la geometria non euclidea è diventata una valida alternativa. Il concetto che la pittura potesse essere espressa matematicamente, nel colore e nella forma, ha contribuito al cubismo, il movimento artistico che ha portato all’arte astratta. Metzinger, nel 1910, scrisse che: “delinea una prospettiva libera e mobile, da cui l’ingegnoso matematico Maurice Princet ha dedotto un’intera geometria”. Più tardi, Metzinger scrisse nelle sue memorie:
Maurice Princet si è unito a noi spesso … fu come artista che concettualizzò la matematica, come estetista che invocò i continui n-dimensionali. Amava coinvolgere gli artisti nelle nuove visioni sullo spazio che erano state aperte da Schlegel e da altri. Ci è riuscito.
L’impulso a fare modelli di insegnamento o di ricerca di forme matematiche crea naturalmente oggetti che hanno simmetrie e forme sorprendenti o piacevoli. Alcuni di questi hanno ispirato artisti come i dadaisti Man Ray, Marcel Duchamp e Max Ernst, e dopo Man Ray, Hiroshi Sugimoto.
Man Ray fotografò alcuni dei modelli matematici dell’Institut Henri Poincaré di Parigi, tra cui Objet mathematique (oggetto matematico). Egli ha osservato che questo rappresentava superfici Enneper con curvatura negativa costante, derivato dalla pseudo-sfera. Questo fondamento matematico era importante per lui, in quanto gli permetteva di negare che l’oggetto fosse “astratto”, sostenendo invece che era reale come l’orinatoio che Duchamp trasformò in un’opera d’arte. Man Ray ha ammesso che la formula dell’oggetto “non significava nulla per me, ma le forme stesse erano varie e autentiche come qualsiasi in natura.”Ha usato le sue fotografie dei modelli matematici come figure nella sua serie ha fatto su opere di Shakespeare, come il suo 1934 pittura Antonio e Cleopatra. Il giornalista d’arte Jonathan Keats, scrivendo in ForbesLife, sostiene che Man Ray ha fotografato “i paraboloidi ellittici e i punti conici nella stessa luce sensuale delle sue foto di Kiki de Montparnasse”e” ripropone ingegnosamente i freddi calcoli della matematica per rivelare la topologia del desiderio”. Scultori del ventesimo secolo come Henry Moore, Barbara Hepworth e Naum Gabo hanno preso ispirazione da modelli matematici. Moore scrisse del suo 1938 Stringed Mother and Child: “Indubbiamente la fonte delle mie figure a corda era il Museo della Scienza … Sono rimasto affascinato dai modelli matematici che ho visto lì … Non è stato lo studio scientifico di questi modelli, ma la capacità di guardare attraverso le corde come con una gabbia per uccelli e di vedere una forma all’interno di un’altra che mi ha eccitato.”
Gli artisti Theo van Doesburg e Piet Mondrian fondato il movimento De Stijl, che hanno voluto “stabilire un vocabolario visivo composto da elementari forme geometriche comprensibile da tutti e adattabile a qualsiasi disciplina”. Molte delle loro opere sono visibilmente composte da quadrati e triangoli governati, a volte anche con cerchi. Gli artisti di De Stijl hanno lavorato in pittura, arredamento, interior design e architettura. Dopo la rottura di De Stijl, Van Doesburg fondò il movimento d’avanguardia Art Concrete, descrivendo la sua Composizione aritmetica del 1929-1930, una serie di quattro quadrati neri sulla diagonale di uno sfondo quadrato, come “una struttura che può essere controllata, una superficie definita senza elementi casuali o capricci individuali”, eppure “non manca di spirito, non manca l’universale e non … vuoto come c’è tutto ciò che si adatta al ritmo interno”. Il critico d’arte Gladys Fabre osserva che due progressioni sono al lavoro nel dipinto, vale a dire i quadrati neri crescenti e gli sfondi alternati.
La matematica della tassellazione, poliedri, modellatura dello spazio, e di auto-riferimento fornito il grafico M. C. Escher (1898-1972) con un valore di vita di materiali per le sue xilografie. Nello schizzo di Alhambra, Escher ha mostrato che l’arte può essere creata con poligoni o forme regolari come triangoli, quadrati ed esagoni. Escher utilizzava poligoni irregolari quando piastrellava il piano e spesso usava riflessi, riflessi di planata e traduzioni per ottenere ulteriori pattern. Molte delle sue opere contengono costruzioni impossibili, realizzate con oggetti geometrici che creano una contraddizione tra proiezione prospettica e tre dimensioni, ma sono piacevoli alla vista umana. Ascendente e discendente di Escher si basa sulla “scala impossibile” creata dallo scienziato medico Lionel Penrose e da suo figlio il matematico Roger Penrose.
Alcuni dei molti disegni di tassellazione di Escher sono stati ispirati da conversazioni con il matematico H. S. M. Coxeter sulla geometria iperbolica. Escher era particolarmente interessato a cinque poliedri specifici, che appaiono molte volte nel suo lavoro. I solidi platonici-tetraedri, cubi, ottaedri, dodecaedri e icosaedri—sono particolarmente prominenti nell’Ordine e nel Caos e quattro Solidi Regolari. Queste figure stellate spesso risiedono all’interno di un’altra figura che distorce ulteriormente l’angolo di visione e la conformazione dei poliedri e fornisce un’opera d’arte prospettica multiforme.
La complessità visiva di strutture matematiche come tessellazioni e poliedri hanno ispirato una varietà di opere d’arte matematiche. Stewart Coffin crea puzzle poliedrici in boschi rari e belli; George W. Hart lavora sulla teoria dei poliedri e scolpisce oggetti ispirati a loro; Magnus Wenninger crea modelli “particolarmente belli” di poliedri stellati complessi.
Le prospettive distorte dell’anamorfosi sono state esplorate nell’arte dal XVI secolo, quando Hans Holbein il Giovane incorporò un teschio gravemente distorto nel suo dipinto del 1533 Gli Ambasciatori. Molti artisti da allora, tra cui Escher, hanno fare uso di trucchi anamorfici.
La matematica della topologia ha ispirato diversi artisti in tempi moderni. Lo scultore John Robinson (1935-2007) ha creato opere come Gordian Knot e Bands of Friendship, mostrando la teoria dei nodi in bronzo lucido. Altre opere di Robinson esplorano la topologia dei torus. La genesi si basa su anelli borromei – un insieme di tre cerchi, non due dei quali si collegano ma in cui l’intera struttura non può essere smontata senza rompersi. Lo scultore Helaman Ferguson crea superfici complesse e altri oggetti topologici. Le sue opere sono rappresentazioni visive di oggetti matematici; L’Ottuplice Via si basa sul gruppo lineare speciale proiettivo PSL (2,7), un gruppo finito di 168 elementi. Allo stesso modo lo scultore Bathsheba Grossman basa il suo lavoro su strutture matematiche. L’artista Nelson Saiers incorpora concetti matematici e teoremi nella sua arte da toposi e schemi al teorema dei quattro colori e l’irrazionalità di π.
Un progetto di indagine sulle arti liberali esamina le connessioni tra matematica e arte attraverso la striscia di Möbius, i flexagon, gli origami e la fotografia panoramica.
Oggetti matematici tra cui il collettore Lorenz e il piano iperbolico sono stati realizzati utilizzando arti fibra tra cui uncinetto. La tessitrice americana Ada Dietz scrisse nel 1949 una monografia algebrica Espressioni in tessuti tessuti a mano, definendo modelli di tessitura basati sull’espansione dei polinomi multivariati. Il matematico Daina Taimiņa ha dimostrato le caratteristiche del piano iperbolico all’uncinetto nel 2001. Questo ha portato Margaret e Christine Wertheim all’uncinetto una barriera corallina, costituito da molti animali marini come nudibranchi cui forme si basano su piani iperbolici. Il matematico J. C. P. Miller ha usato la Regola 90 automa cellulare per progettare arazzi raffiguranti sia alberi e modelli astratti di triangoli. I” mathekniticians ” Pat Ashforth e Steve Plummer utilizzano versioni a maglia di oggetti matematici come esaflessagoni nel loro insegnamento, anche se la loro spugna Menger dimostrato troppo fastidioso per lavorare a maglia ed è stato fatto di tela di plastica, invece. Il loro progetto” mathghans ” (afgani per le scuole) ha introdotto il lavoro a maglia nel curriculum di matematica e tecnologia britannico.
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Spazio quadridimensionale al cubismo: Esprit Jouffret del 1903 Traité élémentaire de géométrie à quatre dimensions.
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De Stijl: Theo van Doesburg la Composizione geometrica ho (Ancora in Vita), 1916
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Pedagogia all’arte: Magnus Wenninger con alcuni dei suoi stellated poliedri, 2009
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Un nastro di Moebius sciarpa all’uncinetto, 2007
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Anamorfismo: “Gli Ambasciatori” di Hans Holbein il Giovane, 1533, con gravemente distorta teschio in primo piano
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Uncinetto barriera corallina: molti animali modellati come piani iperbolici con parametri variabili da Margaret e Christine Wertheim. Föhr Reef, Tübingen, 2013
Illustrando mathematicsEdit
La modellazione è lungi dall’essere l’unico modo possibile per illustrare concetti matematici. Il Trittico Stefaneschi di Giotto, 1320, illustra la ricorsione in forma di mise en abyme; il pannello centrale del trittico contiene, in basso a sinistra, la figura inginocchiata del cardinale Stefaneschi, che regge il trittico come offerta. I dipinti metafisici di Giorgio de Chirico come il suo Grande interno metafisico del 1917 esplorano la questione dei livelli di rappresentazione nell’arte raffigurando dipinti all’interno dei suoi dipinti.
L’arte può esemplificare paradossi logici, come in alcuni dipinti del surrealista René Magritte, che possono essere letti come battute semiotiche sulla confusione tra livelli. In La condition humaine (1933), Magritte raffigura un cavalletto (sulla tela reale), senza soluzione di continuità sostenere una vista attraverso una finestra che è incorniciato da “reale” tende nel dipinto. Allo stesso modo, la Print Gallery di Escher (1956) è una stampa che raffigura una città distorta che contiene una galleria che contiene ricorsivamente l’immagine, e così all’infinito. Magritte ha fatto uso di sfere e cuboidi per distorcere la realtà in un modo diverso, dipingendoli insieme a un assortimento di case nella sua Aritmetica mentale del 1931 come se fossero blocchi da costruzione per bambini, ma a misura di casa. Il Guardian ha osservato che l ‘” immagine inquietante toytown “profetizza l’usurpazione del modernismo di” forme tradizionali accoglienti”, ma gioca anche con la tendenza umana a cercare modelli in natura.
Salvador Dalí ultimo quadro, La Coda di Rondine (1983), faceva parte di una serie ispirata a René Thom teoria della catastrofe. Il pittore e scultore spagnolo Pablo Palazuelo (1916-2007) si è concentrato sull’indagine della forma. Ha sviluppato uno stile che ha descritto come la geometria della vita e la geometria di tutta la natura. Costituito da semplici forme geometriche con disegni e colori dettagliati, in opere come Angular I e Automnes, Palazuelo si è espresso in trasformazioni geometriche.
L’artista Adrian Gray pratica il bilanciamento della pietra, sfruttando l’attrito e il baricentro per creare composizioni suggestive e apparentemente impossibili.
Gli artisti, tuttavia, non prendono necessariamente la geometria alla lettera. Come Douglas Hofstadter scrive nel suo 1980 riflessione sul pensiero umano, Gödel, Escher, Bach, dal modo di (tra le altre cose) la matematica dell’arte: “La differenza tra un disegno di Escher e la geometria non Euclidea è che in quest’ultimo, comprensibile interpretazioni possono essere trovati per i termini non definiti, con conseguente comprensibile totale del sistema, mentre per l’ex, il risultato finale non è conciliabile con la propria concezione del mondo, non importa quanto a lungo uno guarda la foto.”Hofstadter discute la galleria di stampe litografiche apparentemente paradossale di M. C. Escher; raffigura una città di mare che contiene una galleria d’arte che sembra contenere un dipinto della città di mare, essendo uno “strano anello, o gerarchia aggrovigliata” ai livelli della realtà nell’immagine. L’artista stesso, osserva Hofstadter, non è visto; la sua realtà e il suo rapporto con la litografia non sono paradossali. Il vuoto centrale dell’immagine ha anche attirato l’interesse dei matematici Bart de Smit e Hendrik Lenstra, che propongono che potrebbe contenere una copia effetto Droste di se stesso, ruotato e ridotto; questo sarebbe un ulteriore esempio di ricorsione al di là di quello notato da Hofstadter.
Analisi della storia dell’artemodifica
L’analisi algoritmica di immagini di opere d’arte, ad esempio utilizzando la spettroscopia a fluorescenza a raggi X, può rivelare informazioni sull’arte. Tali tecniche possono scoprire immagini in strati di vernice successivamente coperti da un artista; aiutare gli storici dell’arte a visualizzare un’opera d’arte prima che si incrinasse o sbiadisse; aiutare a distinguere una copia da un originale o distinguere lo stile della pennellata di un maestro da quelli dei suoi apprendisti.
Lo stile di pittura a goccia di Jackson Pollock ha una dimensione frattale definita; tra gli artisti che potrebbero aver influenzato il caos controllato di Pollock, Max Ernst dipinse le figure di Lissajous direttamente facendo oscillare un secchio di vernice forato su una tela.
Lo scienziato informatico Neil Dodgson ha studiato se i dipinti a strisce di Bridget Riley potessero essere caratterizzati matematicamente, concludendo che mentre la distanza di separazione poteva “fornire una certa caratterizzazione” e l’entropia globale lavorava su alcuni dipinti, l’autocorrelazione falliva poiché i modelli di Riley erano irregolari. L’entropia locale ha funzionato meglio e si è correlata bene con la descrizione fornita dal critico d’arte Robert Kudielka.
La misura estetica del 1933 del matematico americano George Birkhoff propone una metrica quantitativa della qualità estetica di un’opera d’arte. Non cerca di misurare le connotazioni di un’opera, come ciò che un dipinto potrebbe significare, ma si limita agli “elementi di ordine” di una figura poligonale. Birkhoff prima combina (come somma) cinque di questi elementi: se c’è un asse verticale di simmetria; se c’è un equilibrio ottico; quante simmetrie rotazionali ha; quanto è simile alla carta da parati la figura; e se ci sono caratteristiche insoddisfacenti come avere due vertici troppo vicini tra loro. Questa metrica, O, assume un valore compreso tra -3 e 7. La seconda metrica, C, conta elementi della figura, che per un poligono è il numero di diverse linee rette contenenti almeno uno dei suoi lati. Birkhoff definisce quindi la sua misura estetica della bellezza di un oggetto come O / C. Questo può essere interpretato come un equilibrio tra il piacere di guardare l’oggetto dà, e la quantità di sforzo necessario per prenderlo in. La proposta di Birkhoff è stata criticata in vari modi, non ultimo per aver cercato di mettere la bellezza in una formula, ma non ha mai affermato di averlo fatto.
Stimoli alla ricerca matematicamodifica
l’Arte a volte ha stimolato lo sviluppo della matematica, come quando Brunelleschi teoria della prospettiva in architettura e pittura, ha iniziato un ciclo di ricerca, che hanno portato per il lavoro di Brook Taylor e Johann Heinrich Lambert le basi matematiche del disegno in prospettiva, e in ultima analisi, di matematica, di geometria proiettiva di Girard Desargues e Jean-Victor Poncelet.
L’arte giapponese di piegare la carta degli origami è stata rielaborata matematicamente da Tomoko Fusé utilizzando moduli, pezzi di carta congruenti come quadrati, e trasformandoli in poliedri o tilings. Paper-folding è stato utilizzato nel 1893 da T. Sundara Rao nei suoi esercizi geometrici in Paper Folding per dimostrare prove geometriche. La matematica della piegatura della carta è stata esplorata nel teorema di Maekawa, nel teorema di Kawasaki e negli assiomi di Huzita–Hatori.
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Stimolo alla geometria proiettiva: Diagramma di Alberti che mostra un cerchio visto in prospettiva come un’ellisse. Della Pittura, 1435-6
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Mathematical origami: Spring Into Action, di Jeff Beynon, realizzato da un singolo rettangolo di carta.
Illusion to Op artEdit
Illusioni ottiche come la spirale di Fraser dimostrano in modo sorprendente i limiti nella percezione visiva umana, creando quello che lo storico dell’arte Ernst Gombrich ha definito un “trucco sconcertante.”Le corde bianche e nere che sembrano formare spirali sono in realtà cerchi concentrici. La metà del XX secolo Op art o optical art stile di pittura e grafica sfruttato tali effetti per creare l’impressione di movimento e lampeggiante o modelli vibranti visto nel lavoro di artisti come Bridget Riley, Spyros Horemis, e Victor Vasarely.
Geometria sacramodifica
Un filone di arte dall’antica Grecia in poi vede Dio come il geometro del mondo, e la geometria del mondo quindi come sacra. La credenza che Dio abbia creato l’universo secondo un piano geometrico ha origini antiche. Plutarco attribuì la credenza a Platone, scrivendo che “Platone disse che Dio geometrizza continuamente” (Convivialium disputationum, liber 8,2). Questa immagine ha influenzato il pensiero occidentale da allora. Il concetto platonico derivava a sua volta da una nozione pitagorica di armonia nella musica, dove le note erano distanziate in proporzioni perfette, corrispondenti alle lunghezze delle corde della lira; infatti, i Pitagorici sostenevano che tutto era organizzato per Numero. Allo stesso modo, nel pensiero platonico, i solidi regolari o platonici dettano le proporzioni che si trovano nella natura e nell’arte. Un’illuminazione nel 13 ° secolo Codex Vindobonensis mostra Dio disegno fuori l’universo con un paio di bussole, che può riferirsi a un versetto nel Vecchio Testamento: “Quando ha stabilito i cieli io ero lì; quando ha posto una bussola sulla faccia del profondo” (Proverbi 8:27), . Nel 1596, l’astronomo matematico Johannes Kepler modellò l’universo come un insieme di solidi platonici nidificati, determinando le dimensioni relative delle orbite dei pianeti. L’Antico dei giorni di William Blake (raffigurante Urizen, incarnazione di Blake della ragione e della legge) e la sua pittura del fisico Isaac Newton, nudo, curvo e disegno con una bussola, usano il simbolismo delle bussole per criticare la ragione convenzionale e il materialismo come mentalità ristretta.La Crocifissione di Salvador Dalí del 1954 (Corpus Hypercubus) raffigura la croce come un ipercubo, che rappresenta la prospettiva divina con quattro dimensioni piuttosto che le solite tre. Nel Sacramento dell’Ultima Cena di Dalí (1955) Cristo e i suoi discepoli sono raffigurati all’interno di un dodecaedro gigante.
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Dio il geometro. Codex Vindobonensis, c. 1220
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La creazione, con il cuscinetto Pantocratore . Bibbia di San Luigi, c. 1220-40
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giovanni Keplero, solido Platonico modello planetario spaziatura del sistema solare dal Mysterium Cosmographicum, 1596
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William Blake, L’Antico dei Giorni, 1794
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William Blake, Newton, c. 1800