Come accennato in precedenza, l’estrazione delle onde P dovrebbe essere condotta a livello di corrente elettrica in fonti miocardiche. Il modello per il sistema computazionale cardiaco comprende due parti secondo la linea guida componente in . La prima parte riguarda la mappatura tra potenziali di superficie corporea e TMP intracellulari. Valutare TMPs è considerato un problema inverso difficile data una mappa potenziale di una superficie corporea . La seconda parte mira a vincolare il problema inverso, in cui il vincolo descrive i cambiamenti nelle TMP in termini di propagazione elettrica tra myocardia. La maggior parte dei modelli elettrofisiologici sono sistemi di diffusione–reazione .
Problema inverso
Per prima cosa consideriamo il problema in avanti da fonti di corrente–dipolo equivalenti a potenziali di superficie corporea. Le fonti di correnti bioelettriche attraverso le membrane cellulari eccitano il movimento dei cardiomiociti e inducono campi potenziali, che possono essere rilevati tramite elettrodi di superficie. Il totale densità di corrente è presentata come \(\varvec{J}(\varvec{r}) = \varvec{J}_{s} (\varvec{r}) + \sigma \varvec{E}(\varvec{r})\), dove \(\varvec{J}_{s}\) è la fonte netta di densità di corrente (\(A/m^{2}\)); \(\sigma\) è la conduttività omogenea e costante dielettrica; e \(\varvec{E}\) è il campo elettrico, che espone la relazione \(\varvec{E} = – \nabla \varPhi\) per la potenziale funzione di \(\varPhi (\varvec{r})\). I campi vettoriali sono indicati come simboli in grassetto, come la densità di corrente \(\varvec {J} (\varvec{r})\), che è un campo vettoriale in posizione \(\varvec{r}\). La corrente totale \(\nabla\ cdot \ varvec{J} = 0\) diverge senza corrente esterna in condizioni quasi statiche. Quindi, \(\nabla \ cdot (\sigma \nabla \varPhi) = \nabla \cdot\ varvec{J}_{s}\), e la relazione tra potenziali misurati e sorgenti cardiache viene trasformata in un’equazione di Poisson. Per il volume cardiaco, \(V_{H}\), le potenzialità sono primitivamente espressa in \(\varPhi (\varvec{r}) = \frac{1}{4\pi \sigma }\iiint_{{V_{H} }} {\varvec{J}_{s} (\varvec{r^{\prime}}) \cdot \nabla \left( {\frac{1}{{|\varvec{r} – \varvec{r^{\prime}}|}}} \right)d^{3} \varvec{r^{\prime}}}\).
Per modellare la densità di corrente equivalente, l’intero miocardio è diviso in maglie a griglia. Seguendo il suggerimento in, vengono applicati i metodi degli elementi di contorno. Il potenziale \(\varPhi\) sulla superficie del corpo viene mantenuto come\ (\varPhi\) e TMP è indicato come\(\varvec{u}\). Tessellating e vettorizzando tutte le superfici cardiache e del torace, una matrice discreta Eq. (1) è ottenuto come suggerito in e .
dove \ (\varvec{L}\) è la matrice di trasferimento discretizzata che converte TMP \ (\varvec {u}\) in potenziale di superficie \(\phi_{8}\). Quando i potenziali della superficie corporea vettorizzata vengono campionati solo a otto posizioni degli elettrodi per i segnali ECG standard a 12 derivazioni, i potenziali sono indicati come \ (\varPhi_{8}\) per chiarezza.
La matrice di trasferimento \(\varvec{L}\) è sintetizzata con le geometrie e le conduttività degli organi all’interno del torace. Le coordinate geometriche sono segmentate e discretizzate tramite risonanza magnetica (MRI) o tomografia computerizzata per un paziente specifico. Data la sensibilità numerica e il movimento inevitabile, il modello in avanti può soffrire di errori geometrici e dovrebbe essere incorporato come parte della modellazione . Nel, errori geometrici sono stati suggeriti da superare utilizzando stima MAPPA bayesiana o filtraggio Kalman con errori geometrici gaussiani. Nel presente studio, non ci basiamo sulla precisione della geometria e della conduttività. Stimiamo i parametri insieme al processo di stima delle TMP . La stima bayesiana in covarianza degli errori consente all’analisi delle prestazioni di caratterizzare statisticamente le soluzioni.
Sistemi di reazione—diffusione
La propagazione elettrica tra myocardia è tipicamente modellata in modo diverso in termini di livello di complessità-dal più semplice modello Eikonal a livello tissutale, attraverso modelli bidomain/monodomain e modelli fenomenologici, ai più complicati modelli ionici a livello cellulare. I modelli fenomenologici si concentrano a livello macroscopico e vanno dalle equazioni a 2 variabili al complicato modello di Luo–Rudy a 15 variabili . La risoluzione non è una preoccupazione nell’estrazione delle onde P. La propagazione elettrica viene catturata utilizzando il sistema di reazione-diffusione con la stessa impostazione di quella in . Considerando l’equilibrio tra precisione e calcolo, un sistema semplice è sufficiente per limitare il problema inverso mal posto. Pertanto, adottiamo il sistema da come segue:
dove \(\varvec {u}\) e \(\varvec{v}\) sono i vettori di colonna di TMPS e corrente di ripristino, rispettivamente; e l’operatore \(< , >\) rappresenta una moltiplicazione componente-saggio. \(D\) è il tensore di diffusione; e \(k\),\ (a\) e\ (e\) sono i parametri. Convertendo l’equazione in mesh di elementi finiti , il sistema di reazione–diffusione può quindi essere utilizzato come un vincolo efficace per risolvere il problema inverso. Let \(\varvec{x}= \). Il sistema può quindi essere scritto come \ (\dot {\varvec {x}} = F_{d} (\varvec{x})\), dove \(F_{d} (\varvec{x}) = \left\).
Stima gerarchica
Il nostro problema contiene un gran numero di incertezze e, quindi, le statistiche bayesiane avanzate possono essere un approccio praticabile . L’idea di base è quella di stimare la probabilità posteriore della fonte cardiaca sconosciuta \(P(\varvec{x}_{k} |\phi_{1:k} )\) basata su una distribuzione a priori delle fonti \(P(\varvec{x})\) e un gruppo di parametri che influenzano. Quando (1) e (2) sono combinati, otteniamo il modello di dati come segue (3):
where \(\varvec{H} = \) is the output matrix with uncertainty \(\Delta \varvec{L}\), and \(\varvec{w}\) and \(\varvec{z}\) are two i.i.d. error processes with zero means and covariances \(\varvec{\xi}_{w}\) and \(\varvec{\xi}_{z}\). Dato che il modello non si basa sulla precisione delle geometrie del cuore e del tronco, i termini di errore negli elementi della matrice di trasferimento \(L\) sono incorporati nella matrice con variabili casuali \(\Delta \varvec{L}\). Let \(\theta = (k,a, e)\) per incorporare i parametri nella funzione di reazione–diffusione \(F_{d} ( \cdot )\). Pertanto, i parametri per il processo comprendono \ (\Delta \ varvec{L}\) e \(\theta = (k,a, e)\).
La stima ricorsiva per la densità di probabilità posteriore \(P(\varvec{x}_{k} |\phi_{1:k} )\) può essere concettualmente ottenuta in due fasi. La previsione termine \(P(\varvec{x}_{k} |\phi_{1:k – 1} )\) può essere ottenuta attraverso Chapman–Kolmogorov integrazione di \(\mathop \smallint \nolimits P(\varvec{x}_{k} |\varvec{x}_{k – 1} )P(\varvec{x}_{k – 1} |\phi_{1:k – 1} )d\varvec{x}_{k – 1}\), dato che il posteriore che \(P(\varvec{x}_{k – 1} |\phi_{1:k – 1} )\) è noto da tempo \(k – 1\) e \(P(\varvec{x}_{k} |\varvec{x}_{k – 1} )\) è determinata dall’equazione di sistema. Il tempo corrente posteriore \ (P (\varvec{x}_{k | / \ phi_{1:k} )\) è aggiornato utilizzando la regola di Bayes \(\frac{{P\left( {\phi_{k} |\varvec{x}_{k} } \right)P\left( {\varvec{x}_{k} |\phi_{1:k – 1} } \right)}}{{P\left( {\phi_{k} |\phi_{1:k – 1} } \right)}}\), dove \(P(\phi_{k} |\phi_{1:k – 1} ) = \mathop \smallint \nolimits P(\phi_{k} |\varvec{x}_{k} )P(\varvec{x}_{k} |\phi_{1:k – 1} )d\varvec{x}_{k}\).
Per gestire un gran numero di parametri, la linea guida e indica che la complicata distribuzione congiunta nel modello di dati (3) può essere formulata come un modello gerarchico e fattorizzata in una serie di distribuzioni condizionali. La linea guida suggerisce che le variabili casuali la stima può essere suddiviso in tre fasi, in modo tale che \(p({\text{processo}},{\text{parametri}}|{\text{data}}) \propto\) \(p({\text{data}}|{\text{processo}},{\text{parametri}})\) \(p({\text{processo}}|{\text{parametri}})\) \(p({\text{parametri}})\). Pertanto, la distribuzione posteriore articolare può essere scritta in una forma gerarchica come segue:
Following the suggestion in , a Monte Carlo Markov chain (MCMC) slice sampler is applied in the Bayesian computation model because of the high dimension in our complex problem. Un’analisi bayesiana completa di questo problema si ottiene campionando la distribuzione posteriore articolare (13) utilizzando una tecnica MCMC chiamata slice sampling . Un’altra potenziale soluzione per ridurre gli effetti costrittivi delle conoscenze precedenti è la stima simultanea della dinamica TMP e delle proprietà elettrofisiologiche del miocardio. Questo metodo ha il vantaggio che i modelli vincolanti possono essere modificati in base ai dati raccolti dai pazienti con filtraggio di parametri sconosciuti.
Configurazione dell’esperimento
Per condurre i seguenti esperimenti, sono necessari modelli geometrici 3D di un cuore e un busto completi. I dati geometrici cardiaci sono stati adottati dal set di dati ECGSim, che descriveva un giovane maschio sano e normale utilizzando atri e ventricoli completi (Fig. 1, con 1634 nodi per atri e 1500 nodi per ventricoli). Dato che una rappresentazione 3D non sarà costruita sulla superficie epicardica, il requisito della dimensione della griglia è basso. La risoluzione viene ulteriormente ridotta per evitare l’introduzione di eccessive difficoltà numeriche dalla fonte dell’ECG standard a 12 derivazioni.
Geometrie di cuore e busto
La geometria di un torso è stata adottata dall’archivio di dati PhysioNet, che ha avuto origine anche dai dati di mappatura della superficie corporea dell’Università di Dalhousie . Sebbene la precisione non sia un problema, è necessario specificare la mappatura tra i nodi superficiali e le posizioni degli elettrodi dei cavi standard. Data la registrazione e la documentazione ben preparate nel set di dati, è stata elaborata la mappatura dettagliata dai nodi di superficie ai lead standard 15.
I dati ECG sono stati adottati anche da PhysioNet: ptbdb e incartdb . I segnali sono stati pre-elaborati per eliminare le interferenze elettromagnetiche, il vagabondaggio della linea di base (ad esempio, rumore elettromiografico) e vari artefatti (ad esempio, movimento degli elettrodi) .
I programmi di implementazione per gli esperimenti sono stati sviluppati in MATLAB e R. La matrice di trasferimento è stata prodotta utilizzando l’open source SCIRun / BioPSE dal Scientific Computing and Imaging Institute dell’Università dello Utah .
Questo studio sviluppa un modello che recupera le onde di ripolarizzazione atriale nascoste risolvendo un problema inverso dall’ECG di superficie alle TMP cardiache (Fig. 2), dove un problema mal posto è vincolato da relazioni elettrofisiologiche temporali e spaziali. L’approccio di modellazione può essere mantenuto solo a un livello grossolano perché i dati di origine sono limitati dal numero di canali nell’ECG standard. Al contrario, i segnali elettrici cardiaci possono essere stimati essendo modellati come un processo stocastico con parametri di eccitazione sconosciuti e acquisizione continua di segnali. Nel processo di risoluzione, si incontrano diversi problemi e devono discutere ulteriormente.
TMP e ECG di superficie
L’esperimento presenta buoni risultati. Come mostrato in Fig. 3, il pannello superiore presenta la soluzione inversa per TMPs nella parte atriale del miocardio. La figura riflette la corretta sequenza di eccitazione a partire dall’atrio fino alla fine dell’apice. Quando moltiplichiamo l’intero TMPS alla matrice di trasferimento, il problema in avanti ripristina l’ECG originale, come mostrato nel terzo pannello. La figura mostra una buona approssimazione dell’ECG originale (secondo pannello), ad eccezione di diverse increspature vicino alla fine del ciclo. Questo risultato è considerato buono perché la risoluzione è inferiore a 14 nodi sulla superficie corporea e 20 nodi nel miocardio. Il pannello inferiore mostra le attività elettriche atriali estratte. Ogni linea nel grafico corrisponde a uno dei 14 nodi che costituiscono l’ECG standard a 12 derivazioni.
Risultati di ECG a 12 derivazioni con MCMC. Top: atriale parte di TMP; 2nd: originale ECG; 3rd: simulato ECG; in basso: atriale parte di simulato ECG