Spazio a sei dimensioni

Trasformazioni in tridimensionimodifica

Nello spazio tridimensionale una trasformazione rigida ha sei gradi di libertà, tre traduzioni lungo i tre assi delle coordinate e tre dal gruppo di rotazione SO(3). Spesso queste trasformazioni sono gestite separatamente in quanto hanno strutture geometriche molto diverse, ma ci sono modi di trattarle che le trattano come un singolo oggetto a sei dimensioni.

Teoria delle vitemodifica

Nella teoria delle viti la velocità angolare e lineare sono combinate in un oggetto a sei dimensioni, chiamato torsione. Un oggetto simile chiamato chiave inglese combina forze e coppie in sei dimensioni. Questi possono essere trattati come vettori a sei dimensioni che si trasformano linearmente quando si cambia il quadro di riferimento. Le traduzioni e le rotazioni non possono essere fatte in questo modo, ma sono legate a una torsione per esponenziazione.

Phase spaceEdit

Lo spazio di fase è uno spazio costituito dalla posizione e dalla quantità di moto di una particella, che può essere tracciata insieme in un diagramma di fase per evidenziare la relazione tra le quantità. Una particella generale che si muove in tre dimensioni ha uno spazio di fase con sei dimensioni, troppe da tracciare ma che possono essere analizzate matematicamente.

Rotazioni in quattro dimensionimodifica

Il gruppo di rotazione in quattro dimensioni, SO(4), ha sei gradi di libertà. Questo può essere visto considerando la matrice 4 × 4 che rappresenta una rotazione: essendo una matrice ortogonale la matrice è determinata, fino a un cambiamento di segno, ad esempio dai sei elementi sopra la diagonale principale. Ma questo gruppo non è lineare, e ha una struttura più complessa rispetto ad altre applicazioni visto finora.

Un altro modo di guardare a questo gruppo è con la moltiplicazione dei quaternioni. Ogni rotazione in quattro dimensioni può essere ottenuta moltiplicando per una coppia di quaternioni unitari, uno prima e uno dopo il vettore. Questi quaternioni sono unici, fino a un cambiamento di segno per entrambi, e generano tutte le rotazioni quando vengono utilizzati in questo modo, quindi il prodotto dei loro gruppi, S3 × S3, è una doppia copertura di SO(4), che deve avere sei dimensioni.

Sebbene lo spazio in cui viviamo sia considerato tridimensionale, esistono applicazioni pratiche per lo spazio quadridimensionale. I quaternioni, uno dei modi per descrivere le rotazioni in tre dimensioni, consistono in uno spazio quadridimensionale. Le rotazioni tra quaternioni, per l’interpolazione, ad esempio, avvengono in quattro dimensioni. Lo spaziotempo, che ha tre dimensioni spaziali e una dimensione temporale, è anche quadridimensionale, anche se con una struttura diversa dallo spazio euclideo.

ElettromagnetismEdit

In elettromagnetismo, il campo elettromagnetico è generalmente pensato come essendo fatto di due cose, il campo elettrico e campo magnetico. Sono entrambi campi vettoriali tridimensionali, correlati tra loro dalle equazioni di Maxwell. Un secondo approccio è quello di combinarli in un unico oggetto, il tensore elettromagnetico a sei dimensioni, un tensore o bivettore rappresentazione valutata del campo elettromagnetico. Usando questo le equazioni di Maxwell possono essere condensate da quattro equazioni in una singola equazione particolarmente compatta:

F F = J {\displaystyle \partial \mathbf {F} =\mathbf {J} \,}

dove F è la forma bivettrice del tensore elettromagnetico, J è la quattro-corrente e ∂ è un operatore differenziale adatto.

Teoria delle stringemodifica

In fisica la teoria delle stringhe è un tentativo di descrivere la relatività generale e la meccanica quantistica con un singolo modello matematico. Sebbene sia un tentativo di modellare il nostro universo, si svolge in uno spazio con più dimensioni rispetto ai quattro dello spaziotempo che conosciamo. In particolare, un certo numero di teorie delle stringhe si svolgono in uno spazio a dieci dimensioni, aggiungendo altre sei dimensioni. Queste dimensioni extra sono richieste dalla teoria, ma poiché non possono essere osservate si pensa che siano molto diverse, forse compattate per formare uno spazio a sei dimensioni con una particolare geometria troppo piccola per essere osservabile.

Dal 1997 è venuta alla luce un’altra teoria delle stringhe che funziona in sei dimensioni. Le piccole teorie delle stringhe sono teorie delle stringhe non gravitazionali in cinque e sei dimensioni che sorgono quando si considerano i limiti della teoria delle stringhe ten-dimensionale.