Statistiche / Dati di test / t-test

Un professore universitario vuole confrontare i punteggi dei suoi studenti con la media nazionale. Sceglie un semplice campione casuale (SRS) di 20 studenti, che ottengono una media di 50,2 su un test standardizzato. I loro punteggi hanno una deviazione standard di 2.5. La media nazionale sul test è un 60. Vuole sapere se i suoi studenti hanno ottenuto un punteggio significativamente inferiore alla media nazionale.

I test di significatività seguono una procedura in diversi passaggi.

Passaggio 1modifica

Innanzitutto, indica il problema in termini di distribuzione e identifica i parametri di interesse. Menziona il campione. Assumeremo che i punteggi (X) degli studenti nella classe del professore siano approssimativamente distribuiti normalmente con parametri sconosciuti μ e σ

Passaggio 2Edit

Affermano le ipotesi in simboli e parole.

H O: μ = 60 {\displaystyle H_{O}: \ quad \ mu =60}

{\stile di visualizzazione H_ {O}: \ quad \ mu =60}

L’ipotesi nulla è che i suoi studenti abbiano ottenuto un punteggio alla pari con la media nazionale.

H A: μ < 60 {\displaystyle H_{A}: \ quad \ mu <60}

{\stile di visualizzazione H_ {A}: \ quad \ mu 60}

L’ipotesi alternativa è che i suoi studenti abbiano ottenuto un punteggio inferiore alla media nazionale.

Passaggio 3Edit

In secondo luogo, identificare il test da utilizzare. Poiché abbiamo un SRS di piccole dimensioni e non conosciamo la deviazione standard della popolazione, useremo un t-test di un campione.

La formula per la t-statistica T per un test di un campione è la seguente:

T = X − 60 S / 20 {\displaystyle T={\frac {{\overline {X}}-60}{S/{\sqrt {20}}}}}

{\displaystyle T={\frac {{\overline {X}}-60}{S/{\sqrt {20}}}}}

dove X {\displaystyle {\overline {X}}}

{\displaystyle {\overline {X}}}

è la media del campione e S è la deviazione standard del campione.

Un errore abbastanza comune è dire che la formula per la statistica t-test è: Per maggiori informazioni, consulta la nostra informativa sulla privacy.}}}}}

{\ per maggiori informazioni clicca qui}}}}}

Questa non è una statistica, perché μ è sconosciuta, che è il punto cruciale in un tale problema. La maggior parte delle persone non se ne accorge. Un altro problema con questa formula è l’uso di x e s. Sono da considerarsi le statistiche di esempio e non i loro valori.

La formula generale giusta è:Per maggiori informazioni, consulta la nostra informativa sulla privacy.}}}}}

{\ per maggiori informazioni clicca qui}}}}}

in cui c è il valore ipotetico per μ specificato dall’ipotesi nulla.

(La deviazione standard del campione divisa per la radice quadrata della dimensione del campione è nota come “errore standard” del campione.)

Passaggio 4Edit

Indica la distribuzione della statistica del test sotto l’ipotesi nulla. Sotto H0 la statistica T seguirà la distribuzione di uno Studente con 19 gradi di libertà: T τ τ ((20 − 1 ) {\displaystyle T\sim \tau \cdot (20-1)}

{\stile di visualizzazione T \ sim \ tau \ cdot (20-1)}

.

Passo 5Edit

Calcolare il valore osservato t della statistica test T, inserendo i valori, come segue:

t = x − 60 s / 20 = 50.2 − 60.0 2.5 / 20 = − 9.8 2.5 / 4.47 = − 9.8 0.559 = − 17.5 {\displaystyle t={\frac {{\overline {x}}-60}{s/{\sqrt {20}}}}={\frac {50.2-60.0}{2.5/{\sqrt {20}}}}={\frac {-9.8}{2.5/4.47}}={\frac {-9.8}{0.559}}=-17.5}

{\displaystyle t={\frac {{\overline {x}}-60}{s/{\sqrt {20}}}}={\frac {50.2-60.0}{2.5/{\sqrt {20}}}}={\frac {-9.8}{2.5/4.47}}={\frac {-9.8}{0.559}}=-17.5}

Passo 6Edit

Determinare il cosiddetto p-value del valore di t della statistica test T. Possiamo rifiutare l’ipotesi nulla per valori molto piccoli di T, quindi calcoliamo la sinistra p-value:

p-value = P ( T ≤ t, H, 0 ) = P ( T ( 19 ) ≤ − 17.5 ) ≈ 0 {\displaystyle =P(T\leq t;H_{0})=P(T(19)\leq -17.5)\approx 0}

{\displaystyle =P(T\leq t;H_{0})=P(T(19)\leq -17.5) \ ca 0}

La distribuzione dello Studente dà T (19) = 1.729 {\displaystyle T(19)=1.729}

{\stile di visualizzazione T(19)=1.729}

a probabilità 0.95 e gradi di libertà 19. Il valore p è approssimato a 1.777 e-13.

Passaggio 7Edit

Infine, interpretare i risultati nel contesto del problema. Il valore p indica che i risultati quasi certamente non sono accaduti per caso e abbiamo prove sufficienti per respingere l’ipotesi nulla. Gli studenti del professore hanno ottenuto un punteggio significativamente inferiore alla media nazionale.

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