Stress deviatoric e invarianti
Inviato da: Pantelis Liolios / Sept. 16, 2020
Il tensore di stress può essere espresso come la somma di due tensori di stress, vale a dire: il tensore di stress idrostatico e il tensore di stress deviatorico. In questo articolo definiremo la parte idrostatica e deviatorica del tensore di stress e calcoleremo gli invarianti del tensore del deviatore di stress. Gli invarianti dello sforzo deviatoric sono usati frequentemente nei criteri di guasto.
Considera un tensore di stress \( \sigma_{ij} \) che agisce su un corpo. Il corpo stressato tende a cambiare sia il suo volume che la sua forma. La parte del tensore di stress che tende a modificare il volume del corpo è chiamata tensore di stress idrostatico medio o tensore di stress volumetrico. La parte che tende a distorcere il corpo è chiamata tensore del deviatore di stress. Quindi, il tensore di stress può essere espresso come:
dove \( \delta_{ij} \) è la delta di Kronecker (con \( \delta_{ij}=1 \) se \( i=j \) e \( \delta_{ij}=0 \) se \( i\neq j \) ), \( p \) è la media di stress dato da:
dove \( I_{1} \) è il primo invariante del tensore di sforzo (vedi anche: tensioni Principali e stress invarianti). Il prodotto \ (p \ delta_{ij}\) è il tensore di stress idrostatico e contiene solo tensioni normali. Il tensore di stress deviatoric può essere ottenuto sottraendo il tensore di stress idrostatico dal tensore di stress:
Per calcolare gli invarianti del tensore del deviatore di stress seguiremo la stessa procedura utilizzata nell’articolo Tensioni principali e invarianti di stress. Va detto che le direzioni principali del tensore del deviatore di stress coincidono con le direzioni principali del tensore di stress. L’equazione caratteristica per \ (s_{ij} \) è:
dove \ (J_{1}\), \ (J_{2}\) e \( J_{3}\) sono rispettivamente il primo, il secondo e il terzo invarianti di stress deviatorico. Le radici del polinomio sono le tre principali sollecitazioni deviatoriche \ (s_{1}\), \ (s_{2}\) e \(s_{3}\). \ (J_{1}\), \ (J_{2}\) e \( J_{3}\) possono essere calcolati con le seguenti espressioni:
dove \( I_{1} \), \( I_{2} \) e \( I_{3} \) sono i tre invarianti del tensore di sforzo e \( \det(s_{ij}) \) è il determinante di \( s_{ij} \). Va detto che poiché \ (J_ {1} = s_ {kk} = 0\), il tensore del deviatore di stress descrive uno stato di puro taglio.
Esempio
Calcola il tensore del deviatore di stress e i suoi invarianti per il seguente tensore di stress:
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in Primo luogo si calcola la pressione media \( p \):
Dall’equazione (3) si calcola lo stress deviatore tensore:
Per lo stress deviatore invarianti del tensore possiamo utilizzare le equazioni (5) e otteniamo:
Infine l’equazione caratteristica è:
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