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Stress deviatoric e invarianti

Inviato da: Pantelis Liolios / Sept. 16, 2020

Il tensore di stress può essere espresso come la somma di due tensori di stress, vale a dire: il tensore di stress idrostatico e il tensore di stress deviatorico. In questo articolo definiremo la parte idrostatica e deviatorica del tensore di stress e calcoleremo gli invarianti del tensore del deviatore di stress. Gli invarianti dello sforzo deviatoric sono usati frequentemente nei criteri di guasto.

Considera un tensore di stress \( \sigma_{ij} \) che agisce su un corpo. Il corpo stressato tende a cambiare sia il suo volume che la sua forma. La parte del tensore di stress che tende a modificare il volume del corpo è chiamata tensore di stress idrostatico medio o tensore di stress volumetrico. La parte che tende a distorcere il corpo è chiamata tensore del deviatore di stress. Quindi, il tensore di stress può essere espresso come:

\
(1)

dove \( \delta_{ij} \) è la delta di Kronecker (con \( \delta_{ij}=1 \) se \( i=j \) e \( \delta_{ij}=0 \) se \( i\neq j \) ), \( p \) è la media di stress dato da:

\
(2)

dove \( I_{1} \) è il primo invariante del tensore di sforzo (vedi anche: tensioni Principali e stress invarianti). Il prodotto \ (p \ delta_{ij}\) è il tensore di stress idrostatico e contiene solo tensioni normali. Il tensore di stress deviatoric può essere ottenuto sottraendo il tensore di stress idrostatico dal tensore di stress:

\\fine {matrice} \]
(3)

Per calcolare gli invarianti del tensore del deviatore di stress seguiremo la stessa procedura utilizzata nell’articolo Tensioni principali e invarianti di stress. Va detto che le direzioni principali del tensore del deviatore di stress coincidono con le direzioni principali del tensore di stress. L’equazione caratteristica per \ (s_{ij} \) è:

\
(4)

dove \ (J_{1}\), \ (J_{2}\) e \( J_{3}\) sono rispettivamente il primo, il secondo e il terzo invarianti di stress deviatorico. Le radici del polinomio sono le tre principali sollecitazioni deviatoriche \ (s_{1}\), \ (s_{2}\) e \(s_{3}\). \ (J_{1}\), \ (J_{2}\) e \( J_{3}\) possono essere calcolati con le seguenti espressioni:

\\\&+\sigma_{12}^2+\sigma_{23}^2+\sigma_{31}^2\\=&\frac{1}{3}I_{1}^{2}-I_{2}\\J_{3}=&\det(s_{ij})\\=&\frac{1}{3}s_{ij}s_{jk}s_{ki}\\=&\frac{2}{27}I_{1}^{3}-\frac{1}{3}I_{1}I_{2}+I_{3}\end{array} \]
(5)

dove \( I_{1} \), \( I_{2} \) e \( I_{3} \) sono i tre invarianti del tensore di sforzo e \( \det(s_{ij}) \) è il determinante di \( s_{ij} \). Va detto che poiché \ (J_ {1} = s_ {kk} = 0\), il tensore del deviatore di stress descrive uno stato di puro taglio.

Esempio

Calcola il tensore del deviatore di stress e i suoi invarianti per il seguente tensore di stress:

\ \]
(6)

Mostra soluzione…

in Primo luogo si calcola la pressione media \( p \):

\
(7)

Dall’equazione (3) si calcola lo stress deviatore tensore:

\ \]
(8)

Per lo stress deviatore invarianti del tensore possiamo utilizzare le equazioni (5) e otteniamo:

\
(9)

Infine l’equazione caratteristica è:

\
(10)

Tags: algebra| autovalori| invarianti| meccanica| tensori

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