Tutti i materiali, sia gas, liquidi o solidi presentano qualche variazione di volume quando sono sottoposti a una sollecitazione di compressione. Il grado di compressibilità è misurato da un modulo di elasticità di massa, E, definito come E=δp/ (δρ/ρ) o E=δp/(-δV/V), dove δp è un cambiamento di pressione e δρ o δV è il corrispondente cambiamento di densità o volume specifico. Poiché δp / δρ = c2, dove c è la velocità adiabatica del suono, un’altra espressione per E è E =pc2. Nei liquidi e nei solidi E è in genere un numero elevato in modo che le variazioni di densità e volume siano generalmente molto piccole a meno che non vengano applicate pressioni eccezionalmente grandi.
Se viene fatta un’ipotesi incomprimibile in cui si presume che le densità rimangano costanti, è importante sapere in quali condizioni è probabile che tale ipotesi sia valida. Ci sono, infatti, due condizioni che devono essere soddisfatte prima che gli effetti di compressibilità possano essere ignorati. Definiamo “incompressibilità” come una buona approssimazione quando il rapporto δ ρ/ρ è molto più piccolo dell’unità. Per determinare le condizioni per questa approssimazione dobbiamo stimare l’entità delle variazioni di densità.
Flusso costante
Nel flusso costante, la variazione massima della pressione può essere stimata dalla relazione di Bernoulli come δp=pu2. Combinando questo con le relazioni di cui sopra per il modulo di massa, vediamo che il corrispondente cambiamento di densità è δρ/ρ = u2/c2.
Pertanto, l’ipotesi di incompressibilità richiede che la velocità del fluido sia ridotta rispetto alla velocità del suono,
(1) $latex \ displaystyle u \ ll c.Flow
Flusso instabile
Nel flusso instabile deve essere soddisfatta anche un’altra condizione. Se una variazione significativa della velocità, u, si verifica su un intervallo di tempo t e distanza l, le considerazioni sulla quantità di moto (per un fluido invisibile) richiedono un corrispondente cambiamento di pressione di ordine δp = pul/t . Poiché le variazioni di densità sono correlate alle variazioni di pressione attraverso il quadrato della velocità del suono, δp = c2δρ, questa relazione diventa δρ/ρ = (u/c)l / (ct).
Confrontando con l’espressione (1), vediamo che anche il fattore moltiplicatore (u/c) deve essere molto inferiore a uno.
(2) $lattice 1\ll ct$
Fisicamente, questa condizione si dice che la distanza percorsa da un’onda sonora nell’intervallo di tempo t deve essere molto maggiore della distanza l, in modo che la propagazione di segnali di pressione nel fluido può essere considerato quasi istantanea, rispetto per l’intervallo di tempo oltre il quale il flusso è notevolmente modificata.
Esempio incomprimibile
Un esempio del motivo per cui entrambe le condizioni sono richieste può essere trovato nel collasso di una bolla di vapore. Durante il processo di collasso il liquido circostante può essere trattato come un fluido incomprimibile perché la velocità di collasso è molto inferiore alla velocità del suono. Tuttavia, nel momento in cui la bolla svanisce, tutto lo slancio fluido che corre verso il punto di collasso deve essere fermato. Se ciò accadesse davvero istantaneamente, la pressione di collasso sarebbe enorme, cioè molto più grande di quella che viene effettivamente osservata. Poiché un segnale sonoro richiede tempo per uscire dal punto di collasso per segnalare al fluido in ingresso che deve fermarsi, la Condizione due viene violata (cioè, l > ct ). Un accurato modello numerico del processo di collasso, in grado di prevedere i corretti transitori di pressione, richiede l’aggiunta di una compressibilità di massa nel liquido.