偏差応力と不変量|pantelisliolios.com

逸脱応力と不変量

投稿者：Pantelis Liolios|Sept. 16,2020

応力テンソルは、二つの応力テンソル、すなわち静水圧応力テンソルと偏差応力テンソルの和として表現することができる。 この記事では、応力テンソルの静水圧と逸脱部分を定義し、応力逸脱テンソルの不変量を計算します。 ずれ応力の不変量は破壊基準で頻繁に使用される。

体に作用するストレステンソル\(\sigma_{ij}\)を考えてみましょう。 ストレスを受けた体は、その体積とその形状の両方を変化させる傾向があります。 体の体積を変化させる傾向がある応力テンソルの部分は、平均静水圧応力テンソルまたは体積応力テンソルと呼ばれます。 体を歪ませがちな部分をストレスデヴィエータテンソルといいます。 したがって、応力テンソルは次のように表されます:

ここで、\(\delta_{ij}\)はクロネッカーデルタであり、\(i=j\)の場合は\(\delta_{ij}=1\)、\(i\neq j\)の場合は\(\delta_{ij}=0\)である。:

ここで、\(I_{1}\)は応力テンソルの最初の不変量です（主応力と応力不変量も参照してください）。 積\(p\delta_{ij}\)は静水圧応力テンソルであり、法線応力のみを含む。 ずれ応力テンソルは、応力テンソルから静水圧応力テンソルを減算することによって得ることができる:

応力逸脱テンソルの不変量を計算するために、主応力と応力不変量の記事で使用されているのと同じ手順に従います。 応力逸脱テンソルの主方向は応力テンソルの主方向と一致することに言及しなければならない。 \(S_{ij}\)の特性方程式は次のようになります:

ここで、\(J_{1}\)、\(J_{2}\)、\(J_{3}\)はそれぞれ第1、第2、第3のずれ応力不変量です。 多項式の根は、3つの主な逸脱応力\(s_{1}\)、\(s_{2}\)、\(s_{3}\)です。 \(J_{1}\),\(J_{2}\),\(J_{3}\)は、次の式で計算できます:

ここで、\(I_{1}\)、\(I_{2}\)、\(I_{3}\)は応力テンソルの3つの不変量であり、\(\det(s_{ij})\)は\(s_{ij}\)の行列式である。 \(J_{1}=s_{kk}=0\)なので、応力逸脱テンソルは純粋なせん断の状態を記述することに注意してください。

例

次の応力テンソルに対する応力逸脱テンソルとその不変量を計算します:

ソリューションを表示します。..

タグ：代数/固有値|不変量|力学/テンソル