六次元空間

三次元における変換編集

三次元空間における剛体変換は、六つの自由度を持ち、三つの座標軸に沿った三つの平行移動と回転群SO(3)からの三つの平行移動を持つ。 多くの場合、これらの変換は非常に異なる幾何学的構造を持つため別々に処理されますが、それらを単一の6次元オブジェクトとして扱う方法があ

ねじ理論では、角度と線速度がねじれと呼ばれる六つの次元の物体に組み合わされます。 レンチと呼ばれる同様のオブジェクトは、六次元の力とトルクを兼ね備えています。 これらは、参照フレームを変更するときに線形に変換する6次元ベクトルとして扱うことができます。 平行移動と回転はこの方法で行うことはできませんが、べき乗によるねじれに関連しています。

位相空間は、粒子の位置と運動量で構成される空間であり、量の関係を強調するために位相図で一緒にプロットすることができます。 三次元で移動する一般的な粒子は、6次元の位相空間を持ち、プロットするには多すぎますが、数学的に分析することができます。

四次元回転

での回転は、4次元の回転群SO(4)は6つの自由度を持つ。 これは、回転を表す4×4行列を考えることによって見ることができます：直交行列であるため、行列は、例えば主対角の上の6つの要素によって符号の変 しかし、このグループは線形ではなく、これまでに見られた他のアプリケーションよりも複雑な構造を持っています。

このグループを見る別の方法は、四元数の乗算です。 4次元のすべての回転は、ベクトルの前と後の単位四元数のペアを乗算することによって達成することができます。 これらの四元数は一意であり、両方の符号の変化までであり、このように使用するとすべての回転を生成するので、それらの群の積S3×S3はSO(4)の二重被覆であり、これは6つの次元を持たなければならない。

私たちが住んでいる空間は三次元と考えられていますが、四次元空間には実用的な応用があります。 四元数(Quaternions)は、三次元における回転を記述する方法の一つで、四次元空間からなる。 たとえば、補間のための四元数間の回転は、4次元で行われます。 三次元空間と一次元空間を持つ時空も四次元であるが、ユークリッド空間とは異なる構造を持つ。

電磁気学編集

電磁気学では、電磁場は一般的に電場と磁場の二つのもので構成されていると考えられています。 それらは両方とも三次元ベクトル場であり、マクスウェルの方程式によって互いに関連している。 第二のアプローチは、単一のオブジェクト、六次元電磁テンソル、電磁場のテンソルまたは二ベクトル値表現でそれらを組み合わせることです。 このマクスウェルの方程式を使うと、4つの方程式から特にコンパクトな単一方程式に凝縮することができる：

∂F=J{\displaystyle\partial\mathbf{F}=\mathbf{J}\,}

ここで、Fは電磁テンソルの二ベクトル形式、Jは四電流、σは適切な微分作用素である。

弦理論編集

物理学における弦理論は、一般相対性理論と量子力学を単一の数学モデルで記述しようとする試みです。 それは私たちの宇宙をモデル化しようとする試みですが、それは私たちが精通している時空の四つよりも多くの次元を持つ空間で行われます。 特に数多くの弦理論が10次元空間で起こり、さらに6次元が追加される。 これらの余分な次元は理論によって必要とされるが、観察することができないので、かなり異なると考えられ、おそらく観察するには小さすぎる特定の幾何学的形状を持つ6次元空間を形成するためにコンパクト化される。

1997年以来、六次元で働く別の弦理論が明るみに出てきました。 小さな弦理論は、10次元の弦理論の限界を考慮するときに生じる5次元および6次元の非重力弦理論です。