天文学者ガリレオ-ガリレイは、”数学の言語で書かれており、その文字は三角形、円、およびその他の幾何学的図形である。”努力し、自然を研究しようとする芸術家は、最初に、ガリレオの見解では、完全に数学を理解しなければなりません。 数学者は、逆に、幾何学と合理性のレンズを通して芸術を解釈し、分析しようとしてきました。 数学者Felipe Cuckerは、数学、特に幾何学は、唯一のものではないが、「ルール駆動型の芸術的創造」のための規則の源であると示唆している。 得られた複雑な関係の多くのストランドのいくつかを以下に説明します。
芸術としての数学編集
数学者ジェリー P. キングは数学を芸術として説明し、”数学の鍵は美しさと優雅さであり、鈍さと専門性ではない”と述べ、美しさは数学研究の動機づけ力であると述べた。 キングは数学者G.H.ハーディの1940年のエッセイA Mathematician’s Apolayを引用している。 その中で、ハーディは、なぜ古典時代の2つの定理を最初の速度として見つけたのか、すなわちユークリッドの証明は無限に多くの素数があり、2の平方根が非合理的であるという証明について論じている。 王は数学的優雅さのためのハーディの基準に対して、この最後を評価します: “深刻さ、深さ、一般性、予期せぬこと、必然性、経済”（キングの斜体）、および証明を”審美的に喜ばせる”と説明しています。 ハンガリーの数学者パウル-エルデシュは、数学は美しさを持っていたが、説明を超えた理由を考慮したことに同意した：”なぜ数字は美しいですか？ それはなぜベートーヴェンの第九交響曲が美しいのかを尋ねるようなものです。 理由がわからなければ、誰かがあなたに言うことはできません。 私は数字が美しいことを知っています。”
数学は、音楽、ダンス、絵画、建築、彫刻などの芸術の多くで識別することができます。 これらのそれぞれは数学と豊かに関連しています。 視覚芸術への接続の中で、数学は、このようなブルック*テイラーとヨハン*ランバートによって記述された線形遠近法のルール、またはアルブレヒト*デューラーとガスパール*モンジュにさかのぼる、今固体のソフ 中世のLuca PacioliとルネサンスのLeonardo da VinciとAlbrecht Dürerのアーティストは、彼らの芸術作品を追求するために数学的アイデアを利用し、開発しました。 遠近法の使用は、古代ギリシャの建築でいくつかの胚の使用にもかかわらず、13世紀のジョットのようなイタリアの画家と始まりました。 光学スペクトルに関するアイザック-ニュートンの作品は、ゲーテの色の理論に影響を与え、フィリップ-オットー-ルンゲ、J-M-W-ターナー、ラファエル前派、ワッシリー-カンディンスキーなどの芸術家に影響を与えた。 アーティストはまた、シーンの対称性を分析することを選択することができます。 ツールは、芸術を探求している数学者、またはM.C.Escher（H.S.M.Coxeterに触発された）や建築家Frank Gehryのような数学に触発された芸術家によって適用される可能性があり、彼はコンピュータ支援設計により、彼は全く新しい方法で自分自身を表現することができたと主張した。
芸術家のリチャード・ライトは、構築できる数学的オブジェクトは、「現象をシミュレートするプロセス」として、または「コンピュータアート」の作品として見ることができると主張している。 彼は数学的思考の性質を考慮し、フラクタルがそのように認識される前に一世紀にわたって数学者に知られていたことを観察した。 ライトは、”芸術のような文化的遺物、客観性と主観性の間の緊張、その比喩的な意味、表現システムの性格と折り合いをつけるために使用される任意の方法に数学的対象を対象とすることが適切であると結論づけている。”彼は、マンデルブロ集合からの画像、セルラオートマトンアルゴリズムによって生成された画像、およびコンピュータレンダリングされた画像をインスタンスとし、チューリングテストを参照して、アルゴリズム製品が芸術であるかどうかを議論する。 Sasho Kalajdzievskiの数学と芸術: 視覚数学の紹介は、同様のアプローチをとり、タイリング、フラクタル、双曲線幾何学などの適切な視覚数学のトピックを見ています。
コンピュータアートの最初の作品のいくつかは、デズモンド-ポール-ヘンリーの”Drawing Machine1″によって作成され、1962年に展示された爆弾視コンピュータをベースとしたアナログマシンである。 機械は複雑で、抽象的で、非対称的で、曲線的で、しかし反復的な線画を作成することができました。 最近では、Hamid Naderi Yeganehは、曲線や角度のある線の家族を描くために連続して変化する式を使用して、魚や鳥などの現実世界のオブジェクトを示唆する形を作 Mikael Hvidtfeldt Christensenのようなアーティストは、Structure Synthのようなソフトウェアシステムのスクリプトを書くことによって、生成的またはアルゴリズム的な芸術の作品を作
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Bathshebaグロスマンによる数学的彫刻, 2007
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フラクタル彫刻：3D Fraktal03/H/ddハルトムットSkerbischによって, 2003
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フィボナッチの言葉：サミュエル*モニエによるアートワークの詳細, 2009
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デズモンド-ポール-ヘンリーの”ドローイング-マシーン1″が制作したコンピュータアートイメージ1962
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Hamid Naderi Yeganehによる飛行中の鳥、2016、数学的曲線のファミリーで構築されています。
数学から芸術へ編集
数学者で理論物理学者のアンリ-ポアンカレの科学と仮説は、パブロ-ピカソやジャン-メッツィンガーを含むキュビズムによって広く読まれた。 非ユークリッド幾何学に関するベルンハルト-リーマンの研究に完全に精通していたポアンカレは、ユークリッド幾何学が絶対的な客観的真理としてではなく、多くの可能な幾何学的構成の一つに過ぎないことを認識していた。 四次元の存在の可能性は、古典的なルネッサンスの視点を疑問視する芸術家に影響を与えた：非ユークリッド幾何学は有効な代替となった。 絵画が色と形で数学的に表現できるという概念は、抽象芸術につながった芸術運動であるキュビズムに貢献しました。 メッツィンガーは1910年に次のように書いています: “その独創的な数学者モーリスPrincetが全体の幾何学を推論した自由な、移動式見通しをレイアウトする”。 その後、メッツィンガーは彼の回顧録に書いた:
モーリス-プリンセが頻繁に参加してくれました。.. 彼が数学を概念化したのは芸術家として、彼がn次元連続体を呼び出したのは美学者としてであった。 彼はシュレーゲルといくつかの他の人によって開かれていた空間上の新しいビューに興味を持って芸術家を得るのが大好きでした。 彼はそれを成功させた。
数学的な形の教育モデルや研究モデルを作る衝動は、自然に対称性と驚くべきまたは楽しい形を持つオブジェクトを作成します。 これらの中には、ダダイストのマン-レイ、マルセル-デュシャン、マックス-エルンスト、マン-レイに続いて杉本博司などのアーティストに影響を与えたものもある。
マン-レイは、パリのアンリポアンカレ研究所の数学モデルのいくつかを撮影し、Objet mathematique（数学的オブジェクト）を含む。 彼は、これは擬似球から派生した一定の負の曲率を持つEnneper曲面を表していることに注意しました。 この数学的基盤は、オブジェクトが「抽象的」であることを否定することを可能にしたため、デュシャンが芸術作品にした便器と同じくらい本物であると主張することができたため、彼にとって重要でした。 マン-レイは、オブジェクトの公式は”私には何も意味しませんでしたが、フォーム自体は自然の中でどのように変化し、本物でした。”彼はそのような彼の1934年の絵画アントニーとクレオパトラのように、彼はシェイクスピアの演劇でやった彼のシリーズの数字として数学的なモデルの彼の写真を使用しました。 アート・リポーターのジョナサン・キーツはフォーブス・ライフで、マン・レイが「キキ・ド・モンパルナスの写真と同じ官能的な光の中で楕円放物線と円錐点」を撮影し、「欲望のトポロジーを明らかにするために数学のクールな計算を独創的に再利用する」と主張している。 ヘンリー-ムーア、バーバラ-ヘップワース、ナウム-ガボなどの二十世紀の彫刻家は、数学的モデルからインスピレーションを得た。 ムーアは1938年の弦楽器の母と子について、”間違いなく私の弦楽器の数字の源は科学博物館でした。.. 私はそこで見た数学的モデルに魅了されました。.. これらのモデルの科学的研究ではなく、鳥かごのように文字列を見て、別の形を見ることができたことが私を興奮させました。”
芸術家のテオ-ファン-ドスブルクとピエト-モンドリアンは、”すべての人が理解し、あらゆる分野に適応可能な基本的な幾何学的形態で構成される視覚的語彙を確立する”ことを望んでいたデ-スティール運動を設立した。 彼らの作品の多くは、目に見えて、時には円でも、支配された正方形と三角形で構成されています。 De Stijlの芸術家は絵画、家具、インテリア-デザインおよび建築で働いた。 1929年から1930年にかけて、ヴァン-ドスブルクは前衛芸術コンクレット運動を創設し、二乗された背景の対角線上にある四つの黒い正方形のシリーズを”制御できる構造、偶然の要素や個々の気まぐれのない明確な表面”として記述した。.. 内部のリズムに合ったものがすべてあるので、空です”。 美術評論家グラディス-ファーブルは、二つの進行が絵の中で働いていること、すなわち成長している黒い正方形と交互の背景を観察しています。
テッセレーション、多面体、空間の整形、自己参照の数学は、グラフィックアーティストM.C.エッシャー（1898-1972）に彼の木版画のための材料の寿命の価値を提供しました。 アルハンブラのスケッチでは、エッシャーは、芸術は多角形や三角形、正方形、六角形などの規則的な形で作成できることを示しました。 エッシャーは平面をタイルするときに不規則なポリゴンを使用し、さらにパターンを得るために反射、グライド反射、平行移動をよく使用しました。 彼の作品の多くは、透視投影と三次元の間に矛盾を設定する幾何学的なオブジェクトを使用して作られた不可能な構造を含んでいますが、人間の視 エッシャーの昇順と降順は、医学者ライオネル-ペンローズと彼の息子の数学者ロジャー-ペンローズによって作成された”不可能な階段”に基づいています。
エッシャーの多くのテッセレーション図面のいくつかは、双曲線幾何学に関する数学者H.S.M.コクセターとの会話に触発されました。 エッシャーは特に、彼の作品に何度も現れる5つの特定の多面体に興味を持っていました。 プラトニック固体-四面体、立方体、八面体、十二面体、および二十面体—は、秩序およびカオスおよび四つの規則的な固体において特に顕著である。 これらの星状の数字は、多くの場合、さらに多面体の視野角と立体配座を歪め、多面的な遠近法のアートワークを提供する別の図の中に存在します。
テッセレーションや多面体などの数学的構造の視覚的な複雑さは、様々な数学的作品に影響を与えてきました。 ジョージ-W-ハートは、多面体の理論に取り組んで、それらに触発されたオブジェクトをsculpts;マグヌス-ウェニンガーは、複雑な星状多面体の”特に美しい”モデルを作
アナモルフォーシスの歪んだ視点は、ハンス-ホルバインが1533年に描いたアンバサダーの絵にひどく歪んだ頭蓋骨を組み込んだ十六世紀以来、芸術で探求されてきた。 それ以来、エッシャーを含む多くの芸術家はアナモフィックなトリックを利用しています。
トポロジーの数学は、現代のいくつかの芸術家に影響を与えてきました。 彫刻家のジョン・ロビンソン（1935年-2007年）は、ゴーデアン・ノットや友情のバンドなどの作品を制作し、洗練された青銅で結び目理論を展示しました。 ロビンソンの他の作品はトーラスのトポロジーを探求している。 創世記はボロミア環に基づいています–3つの円の集合であり、そのうちの2つはリンクしていませんが、構造全体を壊すことなく分解することはで 彫刻家のHelaman Fergusonは、複雑な表面やその他のトポロジカルオブジェクトを作成します。 彼の作品は、数学的なオブジェクトの視覚的表現であり、八倍の方法は、射影特殊線形群PSL(2,7)、168個の要素の有限群に基づいています。 彫刻家Bathsheba Grossmanは同様に数学的構造に彼女の仕事を基づかせている。 芸術家のネルソン-サイアーは、トポスやスキームから四色定理やπの非合理性まで、数学的概念と定理を彼の芸術に取り入れています。
リベラルアーツの問い合わせプロジェクトは、メビウスストリップ、フレキサゴン、折り紙、パノラマ写真を通じて数学と芸術の関係を調べます。
ローレンツ多様体と双曲線平面を含む数学的オブジェクトは、かぎ針編みを含む繊維芸術を使用して細工されています。 アメリカの織工エイダ・ディーツは1949年のモノグラフ代数式を手織りの織物で書き、多変数多項式の展開に基づいて織りパターンを定義した。 数学者のダイナ・タイミーニャは、2001年に双曲線平面の特徴をかぎ針編みで示した。 これにより、MargaretとChristine Wertheimは、双曲線平面に基づいた形をしたnudibranchsのような多くの海洋動物からなるサンゴ礁をかぎ針編みするようになりました。 数学者のJ・C・P・ミラーは、ルール90セルオートマトンを使って、木と三角形の抽象的なパターンの両方を描いたタペストリーを設計しました。 “Mathekniticians”Pat AshforthとSteve Plummerは、彼らの教えでhexaflexagonsなどの数学的オブジェクトのニットバージョンを使用していますが、彼らのメンガースポンジはニットにはあまりにも面倒で、代わりにプラスティックキャンバスで作られていました。 彼らの”mathghans”（学校のためのアフガニスタン人）プロジェクトは、英国の数学と技術のカリキュラムに編み物を導入しました。
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キュビズムへの四次元空間：エスプリ-ジュフレの1903Traitéélémentaire de géométrie à quatre dimensions。
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デ・スティエル: テオ-ヴァン-ドスブルクの幾何学的構成I(静物画), 1916
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芸術への教育学：彼の星状多面体のいくつかを持つマグヌス-ウェニンガー, 2009
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かぎ針編みのメビウスストリップスカーフ, 2007
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アナモルフィズム：ハンス*ホルバイン若い、1533年によって大使、フォアグラウンドでひどく歪んだ頭蓋骨と
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クロシェットコーラルリーフ: 多くの動物は、MargaretとChristine Wertheimによって様々なパラメータを持つ双曲線平面としてモデル化されました。 テュービンゲン州フェールリーフ・デ・フェールリーフ・デ・テュービンゲン, 2013
数学を説明する編集
モデリングは、数学的概念を説明する唯一の可能な方法からはほど遠いです。 ジョットのStefaneschi三部作、1320は、mise en abymeの形で再帰を示しています;三部作の中央パネルには、左下、枢機卿Stefaneschiのひざまずいた姿が含まれています,提供として三部作を このような彼の1917偉大な形而上学的なインテリアとしてジョルジオ*デ*キリコの形而上学的な絵画は、彼の絵画の中に絵画を描くことによって、芸術
芸術は、シュルレアリスムのルネ-マグリットによるいくつかの絵画のように、論理的なパラドックスを例示することができます。 La condition humaine(1933)では、Magritteはイーゼル（実際のキャンバス上）を描いており、絵の中の”本物の”カーテンに囲まれた窓からの眺めをシームレスに支えています。 同様に、Escher’s Print Gallery（1956）は、絵を再帰的に含むギャラリーを含む歪んだ都市を描いた印刷物であり、無限にあります。 マグリットは、球体と直方体を使用して現実を別の方法で歪ませ、1931年の暗算の家の品揃えと一緒にそれらを子供のビルディングブロックであるかのように描いたが、家の大きさであった。 ガーディアン紙は、”不気味なおもちゃタウンのイメージ”は、モダニズムの”居心地の良い伝統的な形”の簒奪を予言したが、自然の中でパターンを求める人間の傾向にも関与していることを観察した。
サルバドール-ダリの最後の絵画、ツバメの尾（1983年）は、ルネ-トムのカタストロフィー理論に触発されたシリーズの一部でした。 スペインの画家で彫刻家のパブロ-パラズエロ（1916年-2007年）は、フォームの調査に焦点を当てました。 彼は人生の幾何学とすべての自然の幾何学として記述されたスタイルを開発しました。 Palazueloは、Angular IやAutomnesなどの作品で、詳細なパターニングとカラーリングを備えた単純な幾何学的形状からなり、幾何学的変換で自分自身を表現しました。
アーティストのエイドリアン-グレイは、摩擦と重心を利用して、印象的で一見不可能な組成物を作成するために、石のバランスを練習しています。
しかし、芸術家は必ずしも幾何学を文字通り取るわけではありません。 Douglas Hofstadterが1980年のreflection on human thought,Gödel,Escher,Bachに書いているように、（とりわけ）the mathematics of art:「エッシャーの描画と非ユークリッド幾何学の違いは、後者では未定義の用語に対して理解可能な解釈が見られ、その結果、理解可能なトータルシステムが得られることであるが、前者では、最終的な結果は、絵をどれくらい見つめても、世界の概念と調和できないということである。”ホフスタッターは、M.C.エッシャーによって一見逆説的なリトグラフ印刷ギャラリーを議論します; 海辺の町の絵を含んでいるように見えるアートギャラリーを含む海辺の町を描いており、イメージの現実のレベルに”奇妙なループ、または絡み合った階層”があ 彼の現実とリトグラフとの関係は逆説的ではありません。 画像の中央の空隙は、数学者Bart de SmitとHendrik Lenstraの関心を集めており、回転して縮小したDroste効果のコピーを含むことができると提案しています。
美術史の分析編集
蛍光X線分光法を用いた作品の画像のアルゴリズム分析は、芸術に関する情報を明らかにすることができます。 このような技術は、後でアーティストによって覆われた塗料の層で画像を明らかにすることができます。
ポロックの制御された混乱に影響を与えたかもしれないアーティストの間で、マックス*エルンストは、キャンバスの上に塗料の穿刺バケツを振ることに
コンピュータ科学者ニール-ドジソンは、ブリジット-ライリーのストライプ絵画を数学的に特徴付けることができるかどうかを調査し、分離距離は”ある種の特徴付けを提供する”ことができ、大域的エントロピーはいくつかの絵画に取り組んだが、ライリーのパターンが不規則であったため自己相関は失敗したと結論づけた。 ローカルエントロピーは最もよく働き、美術評論家ロバートKudielkaによって与えられた記述とよく相関した。
アメリカの数学者ジョージ-バーコフの1933年の美的尺度は、アートワークの美的品質の定量的なメトリックを提案しています。 それは、絵画が何を意味するかのような作品の意味合いを測定しようとするのではなく、多角形の図の”秩序の要素”に限定されています。 バーコフはまず、垂直対称軸が存在するかどうか、光学的平衡が存在するかどうか、それが持っている回転対称性の数、壁紙のような図形のようなもの、二つの頂点が近すぎるなどの不十分な特徴があるかどうか、という五つの要素を（合計として）結合する。 このメトリックOは、-3から7の間の値をとります。 第二のメトリックCは、ポリゴンの要素をカウントし、その辺の少なくとも一方を含む異なる直線の数です。 これは、オブジェクトを見る喜びが与えると、それを取るために必要な努力の量との間のバランスとして解釈することができます。 バーコフの提案は、少なくとも数式に美しさを入れようとしているために、さまざまな方法で批判されてきましたが、彼はそれをやったと主張したことはありませんでした。
アートは、ブルネレスキの建築と絵画における遠近法の理論が、ブルック-テイラーとヨハンハインリッヒ-ランバートの遠近法描画の数学的基礎、そして最終的にはジラール-デサルグとジャン＝ヴィクトール-ポンセレの射影幾何学の数学につながった研究のサイクルを開始したときのように、数学の発展を刺激した。
日本の折り紙の芸術は、モジュール、正方形のような合同な紙片を使用して、多面体またはタイリングにすることにより、数学的に再加工されています。 紙折りは、1893年にT.Sundara Raoによって幾何学的な証明を実証するために紙折りの幾何学的な演習で使用されました。 紙折りの数学は、前川の定理、川崎の定理、およびフジタ–羽鳥公理で研究されている。
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射影幾何学への刺激：楕円として遠近法で見られる円を示すアルベルティの図。 デッラ・ピットゥーラ, 1435-6
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数学的折り紙：アクションに春、ジェフBeynonによって、単一の紙の長方形から作られました。
幻想Op artEdit
フレーザー・スパイラルのような錯視は、人間の視覚的知覚の限界を顕著に示し、美術史家エルンスト・ゴンブリッヒが「不可解なトリック」と呼んだものを作り出しています。”螺旋を形成するように見える黒と白のロープは、実際には同心円です。 二十世紀半ばのOpアートや絵画やグラフィックスの光学アートスタイルは、動きの印象を作成するために、このような効果を利用し、そのようなブリジ
神聖な幾何学編集
古代ギリシャ以降の芸術の鎖は、神を世界のジオメーターとみなし、世界の幾何学 神が幾何学的な計画に従って宇宙を創造したという信念は古代の起源を持っています。 プルタルコスはこの信念をプラトンに帰し、”プラトンは神が絶えず変化していると言った”（Convivialium disputationum,liber8,2）と書いている。 このイメージはそれ以来西洋の思想に影響を与えてきました。 プラトニックの概念は、音符が抒情詩の弦の長さに対応して完全な割合で間隔をあけられた音楽における調和のピタゴラスの概念から派生した。 同様に、プラトニック思想では、規則的またはプラトニック固体は、自然界と芸術界に見られる割合を決定します。 13世紀のCodex Vindobonensisの照明は、旧約聖書の詩を参照することができるコンパスのペアで宇宙を描く神を示しています：”彼は天を確立したとき、私はそこにいた：彼 1596年、数学者ヨハネス・ケプラーは、惑星の軌道の相対的な大きさを決定する、入れ子にされたプラトニック固体の集合として宇宙をモデル化した。 ウィリアム・ブレイクの『古代の時代』（ブレイクの理性と法の具体化であるUrizenを描いた）と物理学者アイザック・ニュートンの絵画は、裸で、腹を立ててコンパスを使って描いており、コンパスの象徴を使って従来の理性と唯物論を狭義として批判している。サルバドール-ダリの1954年の磔刑（Corpus Hypercubus）は、十字架を超立方体として描いており、通常の三つではなく四つの次元で神の視点を表しています。 ダリの”最後の晩餐の聖餐”（1955年）では、キリストとその弟子たちが巨大な十二面体の中に描かれています。
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ゴッド-ザ-ジオメーター コデックス・ヴィンドボネンシス(Codex Vindobonensis,c. 1220
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Pantocrator軸受けとの作成。 セントルイス、cの聖書. 1220-40
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ヨハネス-ケプラーの太陽系における惑星間隔のプラトニック固体モデルMysterium Cosmographicum, 1596
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ウィリアム-ブレイクの”古代の日々”, 1794
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ウィリアム-ブレイクのニュートンc. 1800