関数解析の重要な結果は次のとおりです。
一様有界性の原則それ
一様有界性の原則またはBanach–Steinhausの定理は、関数解析の基本的な結果の1つです。 ハーン＝バナッハの定理や開写像の定理とともに、それは体の礎石の一つと考えられている。 その基本的な形では、定義域がバナッハ空間である連続線型作用素（したがって有界作用素）の族に対して、点ごとの有界性は作用素ノルムにおける一様有界性と等価であると主張している。
この定理は1927年にStefan BanachとHugo Steinhausによって最初に出版されましたが、Hans Hahnによって独立して証明されました。
定理（一様有界性原理）。 Xをバナッハ空間とし、Yをノルムベクトル空間とする。 FがXからYへの連続線型作用素の集合であるとする。 X内のすべてのxに対して、
sup T≤F≤T(X)≤Y<≤,{\displaystyle\sup\nolimits_{T\in F}\|T(x)\|_{Y}<\infty,}
それから
sup T≤F≤T≤B(X,Y)<.。 {\displaystyle\sup\nolimits_{T\in F}\|T|B(X,Y)}<\infty.}
スペクトル定理
スペクトル定理として知られている多くの定理がありますが、特に関数解析には多くの応用があります。
定理：Aをヒルベルト空間H上の有界自己随伴作用素とすると、測度空間(X,Μ,μ)とX上の実数値有界可測函数fとユニタリ作用素U:H→L2Μ(X)が存在して、
U∈T U=A{\displaystyle U^{*}TU=A\;}
ここで、tは乗算演算子
(x)=f(x)φ(x)です。 {\displaystyle(x)=f(x)\varphi(x).\;（X）=f（x）\varphi（x）です。 \;
そして、‖T‖=‖f‖ ∞{\displaystyle\|t\|=\|f\|_{\infty}}となります。}}
これが作用素論と呼ばれる関数解析学の広大な研究領域の始まりである。
ヒルベルト空間上の有界正規作用素に対する類似のスペクトル定理もある。 結論の唯一の違いは、今f{\displaystyle f}
複素数値である可能性があります。
ハーン＝バナッハの定理
Hahn-Banachの定理は関数解析の中心的なツールです。 これは、あるベクトル空間の部分空間上で定義された有界線形汎関数の空間全体への拡張を可能にし、また、双対空間の研究を「興味深い」ものにするために、すべてのノルムベクトル空間上で定義された「十分な」連続線形汎関数が存在することを示している。Hahn–Banachの定理：p:V→Rが部分線型関数であり、φ:U→rがu上のpによって支配される線型部分空間U∈V上の線型汎関数であるとき、すなわち、φ:u→Rがu上のpによって支配されるとき、φ:u→rが部分線型汎関数であるとき、φ:u→rが部分線型汎関数であるとき、φ:u→rが部分線型汎関数であるとき、φ:u→rが部分線型汎関数である。
φ(x)≤p(x)∀x∈U{\displaystyle\varphi(x)\leq p(x)九forall x\in U}
そが存在する線形拡張ψ:V→R φのスペースV、 が存在する線形機能ψなる
ψ(x)=φ(x)∀x∈U,{\displaystyle\psi(x)=\varphi(x)九forall x\in U}
ψ(x)≤p(x)∀x∈V. {\displaystyle\psi(x)\leq p(x)\qquad\forall x\in V.
オープンマッピング定理編集
オープンマッピング定理、またBanach–Schauderの定理（Stefan BanachとJuliusz Schauderにちなんで命名）、またBanach-Schauderの定理（Banach-Schauderの定理）とも呼ばれています。は、バナッハ空間の間の連続線型作用素が全射であるならば、それは開写像であるという基本的な結果である。 より正確には、:
開写像定理。 XとYをバナッハ空間とし、A:X→Yを全射連続線型作用素とすると、Aは開写像（すなわち UがXの開集合であれば、A(U)はYの開集合である）。
証明はBaireの圏定理を使用しており、XとYの両方の完全性は定理に不可欠です。 いずれかの空間が単にノルム空間であると仮定されるならば、定理の文はもはや真ではなく、XとYがフレシェ空間であると仮定されるならば真である。
閉グラフ定理
閉グラフ定理は次のように述べています:Xが位相空間でYがコンパクトハウスドルフ空間であれば、XからYへの線型写像Tのグラフが閉であることとtが連続であることは同値である。