기능 분석의 중요한 결과는 다음과 같습니다:
균일 결합 원리
균일 결합 원리 또는 바나흐–스타인하우스 정리는 기능 분석의 기본 결과 중 하나입니다. 한-바나흐 정리와 오픈 매핑 정리와 함께,그것은 필드의 초석 중 하나로 간주됩니다. 기본 형태에서는 도메인이 바나흐 공간 인 연속 선형 연산자(및 따라서 경계 연산자)의 계열에 대해 점적 바인딩은 연산자 규범의 균일 한 바인딩과 동일합니다.
이 정리는 1927 년 스테판 바나흐와 휴고 스타인하우스에 의해 처음 출판되었으나 한스 한이 독자적으로 입증했다.
정리(균일 결합 원리). 하자 엑스 바나흐 공간 과 와이 표준 벡터 공간. 가정 에프 의 모음입니다 연속 선형 연산자…에서 엑스…에 와이. 면에 대한 모든 x X 중 하나는
sup T∈F 핚 T(x)핚 Y<∞,{\displaystyle\sup\nolimits_{T\F}\|T(x)\|_{Y}<\infty,}
다음
sup T∈F 핚 T 핚 B(X,Y)<∞. 1406 년 12 월 15 일,1406 년 12 월 15 일,1406 년 12 월 15 일,1406 년 12 월 15 일,1406 년 12 월 15 일,1406 년 12 월 15 일,1406 년 12 월 15 일 2018 년 11 월 1 일(토)~2018 년 12 월 15 일(일)~2018 년 12 월 15 일(일)~2018 년 12 월 15 일(일)~2018 년 12 월 15 일(일)~2018 년 12 월 15 일(일)
스펙트럼 이론편집
이 스펙트럼 정리로 알려진 많은 정리가 있지만,하나는 특히 기능 분석에 많은 응용 프로그램을 가지고있다.
정리:하자 경계가 자기 인접 연산자 힐베르트 공간에 에이.그런 다음 측정 공간(엑스 ,,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000\;
여기서 티 이다 티 곱셈 연산자:
(엑스)=에프(엑스)엑스(엑스)(엑스). 디스플레이 스타일\;}
나는 이것이 내가 할 수있는 최선의 방법이라고 생각한다.}}
이 연산자 이론이라는 기능 분석의 광대 한 연구 영역의 시작이다;또한 스펙트럼 측정을 참조하십시오.
힐베르트 공간에서 제한된 정규 연산자에 대한 유사한 스펙트럼 정리도 있습니다. 결론에서 유일한 차이점은}
복잡한 가치가있을 수 있습니다.
한–바나흐 이론편집
한–바나흐 정리는 기능 분석의 중심 도구입니다. 그것은 일부 벡터 공간의 부분 공간에 정의 된 제한된 선형 함수를 전체 공간으로 확장 할 수있게하며,또한 이중 공간의 연구를”흥미롭게”만들기 위해 모든 표준 벡터 공간에 정의 된”충분한”연속 선형 함수가 있음을 보여줍니다.
Hahn–Banach 정리:당 p:V→R sublinear 기능,그리고 φ:U→R 은 선형에서 기능 선형 하위 공간 U⊆V 에 의해 지배되는 p U,i.e
φ(x)≤p(x)∀x∈U{\displaystyle\varphi(x)\배경 p(x)\qquad\forall x\U}
그 다음에는 존재 선형 확장 ψ:V→R 의 φ 전체 공 V,즉 가 존재한 선형 기능 ψ 는
ψ(x)=φ(x)∀x∈U,{\displaystyle\psi(x)=\varphi(x)\qquad\forall x\U,}
ψ(x)≤p(x)∀x∈V. -네-네-네-네-네-네-네-네-네-네-네-네-네-네-네-네-네-네-네-네-네-네-네-네-네-네-네-네-네-네-네-네 이 부분의 본문은 오픈 매핑 정리(기능 분석)입니다.
바나흐–샤우더 정리(스테판 바나흐와 줄리우스 샤우더의 이름을 따서 명명)입니다.)는 바나흐 공간 사이의 연속 선형 연산자가 객관적 인 경우 열린 맵이라는 근본적인 결과입니다. 보다 정확하게는:
오픈 매핑 정리. 만약 엑스 과 와이 이다 바나흐 공백 그리고 ㅏ:엑스 엑스 와이 이다 추문 연속 선형 연산자,다음 ㅏ 이다 오픈 맵(즉. 만약 유 오픈 세트 에 엑스,다음(유)오픈 와이).
이 증명은 베이어 범주 정리를 사용하며,둘 다의 완전성 엑스 과 와이 정리에 필수적입니다. 정리의 진술은 더 이상 사실이 아닙니다.만약 어느 공간이 단지 표준 공간으로 가정된다면,그러나 만약 사실 엑스 과 와이 로 취해진 다.
닫힌 그래프 정리편집
닫힌 그래프 정리는 다음을 나타냅니다:만약 엑스 위상 공간이고 와이 컴팩트 하우스도르프 공간,선형 맵의 그래프 티…에서 엑스…에 와이 닫힌 경우에만 티 연속적입니다.