Deviatoric stress og invariants
Skrevet Av: Pantelis Liolios / Sept | 16, 2020
spenningstensoren kan uttrykkes som summen av to spenningstensorer, nemlig: den hydrostatiske spenningstensoren og den avvikende spenningstensoren. I denne artikkelen vil vi definere hydrostatisk og deviatoric delen av stress tensor og vi vil beregne invariants av stress deviator tensor. Invariants av deviatoric stress brukes ofte i feil kriterier.
Vurder en stress tensor \ (\sigma_{ij} \) som virker på en kropp. Den stressede kroppen har en tendens til å endre både volum og form. Den delen av stress tensor som har en tendens til å endre volumet av kroppen kalles middel hydrostatisk stress tensor eller volumetrisk stress tensor. Den delen som har en tendens til å forvride kroppen kalles stressavviker tensor. Derfor kan stress tensor uttrykkes som:
hvor \ (\delta_{ij}\) Er Kronecker delta (med \ (\delta_{ij}=1\) hvis \ (i=j\) og \ (\delta_{ij}=0\) hvis \ (i \ neq j\)), \ (p \) er gjennomsnittlig stress gitt av:
hvor \ (i_{1} \) er den første invarianten av stress-tensoren(se Også: Hovedspenninger og stress-invarianter). Produktet \ (p \ delta_{ij} \) er den hydrostatiske spenningstensoren og inneholder bare normale spenninger. Den avvikende spenningstensoren kan oppnås ved å trekke den hydrostatiske spenningstensoren fra spenningstensoren:
for å beregne invariants av stress deviator tensor vil vi følge samme fremgangsmåte som brukes i artikkelen Principal stresses and stress invariants. Det må nevnes at hovedretningene til stressavvikeren tensor sammenfaller med hovedretningene til stress tensor. Den karakteristiske ligningen for \ (s_{ij} \) er:
hvor \ (J_{1}\), \ (J_{2} \) og \ (J_{3} \) er henholdsvis første, andre og tredje avvikende stressinvarianter. Røttene til polynomet er de tre viktigste avvikende stressene \ (s_{1} \), \ (s_{2}\) og \ (s_{3} \). \ (J_{1}\), \ (J_{2}\) og \( J_{3}\) kan beregnes med følgende uttrykk:
hvor \ (I_{1}\), \ (i_{2} \) og \ (i_{3} \) er de tre invariantene av spenningstensoren og \ (\det (s_{ij}) \) er determinanten av \ (s_{ij} \). Det skal nevnes at siden \( J_{1}=s_{kk}=0\) beskriver stressavvikeren en tilstand av ren skjær.
Eksempel
Beregn stressavvik tensor og dens invariants for følgende stress tensor:
Vis løsning…
for det Første beregner vi gjennomsnittlig trykk \ (p \):
fra ligning (3) beregner vi stressavvikeren tensor:
for stressavvikeren tensor invariants vil vi bruke ligninger (5) og vi får:
til slutt er den karakteristiske ligningen:
Tags: algebra| egenverdier| invariants| mekanikk / tensorer