Chezy og Manning utviklet ligninger som brukes til å bestemme gjennomsnittlig volumstrømningshastighet i åpne kanaler. Denne artikkelen forklarer en laboratoriemetode som ble utviklet og testet for å identifisere og kvantifisere parametrene som utgjør grovhetskoeffisientene til disse ligningene. Denne metoden bruker en hydraulisk flume, og gjør bruk av teknikken med dimensjonal homogenitet og en ny eksponentiell form av en ligning for instrumentkalibrering.
Nøyaktig måling av gjennomsnittshastigheter i kanaler eller kulverter med overflater åpne for atmosfæren har vært en utfordring i århundrer. Jo større strømningstverrsnittområdet er, desto større er unøyaktigheten eller usikkerheten ved målingen.
Åpen kanalstrøm styres av Froude-forholdet, forholdet mellom treghetskrefter og gravitasjonskrefter. Dermed ble det anerkjent tidlig i hydraulikkhistorien at formelen for en slik gjennomsnittshastighet måtte være en balanse mellom tyngdekraften, forårsaker strømmen og kanalruhet, og søker å forsinke strømmen. Det ble også anerkjent at en slik formel måtte være for jevn strømning, det vil si for jevn strømning, slik at vanndybden i forhold til bunnen av vannveien er en konstant, eller d(y)/dx = 0.
det bemerkes at i rør eller trykkstrøm har ordet uniform en annen betydning. I den applikasjonen betyr det at hastighetsprofilen har en konstant hastighet over hele tverrsnittet. På den annen side har åpen kanalhydraulikk ikke noe ord for konstant hastighet over et tverrsnitt. I denne artikkelen betyr «normal» den første av disse to definisjonene, det vil si steady state og konstant dybde. Alle enheter i denne artikkelen er tekniske enheter som vanligvis brukes i USA
Ligninger Utviklet Av Chezy Og Manning
Den første anerkjente og mest varige «motstandsformelen» for steady state, åpen kanalstrøm krediteres Antoine Chezy. Han fikk i oppgave å bestemme tverrsnittet og beregne utslipp For Paris vannforsyning, og øke dens strømningshastighet. Han gjorde det i 1768 ved å sammenligne strømningsforhold mellom To vassdrag, Courpalet Kanalen og Seinen. Hans resulterende formel ble publisert i sin rapport Om Canal de L ‘ Yvette som:
Vavg = C x R1 / 2 x S1 / 2
hvor Vavg er gjennomsnittshastigheten i fot per sekund; C Er Chezys faktor for strømningsmotstand i føtten1 / 2 / sek; R er den hydrauliske radiusen (tverrsnittsarealet dividert med den fuktede omkretsen) i føtter; og S er skråningen, som er dimensjonsløs. Men Chezys arbeid fikk liten oppmerksomhet før mange år etter hans død.
I 1889 presenterte En Ire Ved Navn Robert Manning, Som Var Sjefingeniør Ved Irlands Office Of Public Works, en artikkel med tittelen » Om Vannstrømmen I Åpne Kanaler og Rør. Selv om hans hovedinteresse ser ut til å ha vært hydrologi, utledet han en gjennomsnittlig «motstandsformel» for åpne kanaler fra alle de forskjellige motstandsformlene som ble publisert frem til den tiden. I dagens format er denne ligningen, som vi kaller Ligning 1 for fremtidig referanse,:
Vavg = (1.486 / n) x R2 / 3 x S1 / 2
hvor n Er mannings grovhetskoeffisient, som er det samme numerisk i ENTEN AMERIKANSKE eller metriske dimensjonale systemer. I DET AMERIKANSKE systemet har den enheter av andre / føtter1 / 3. Hvis du bruker metriske enheter, erstattes 1,486 med 1,0 og enhetene er andre / meter1 / 3.
Mannings ligning har vært den mest vellykkede av alle open-channel empiriske ligninger, basert på motstand mot strømning og avledet fra observasjon. Faktisk er det ingen overdrivelse å si at det er hjørnesteinen i dagens vitenskap om hydraulikkteknikk.
men i klassisk forstand har Både Chezys og Mannings ligninger flere lignende mangler. For det første har de ikke dimensjonal homogenitet, det vil si at enhetene på venstre side ikke er de samme som enhetene på høyre side. Slike ligninger er vanligvis avledet ved eksperimentering eller observasjon og raskt miste nøyaktighet hvis ekstrapolert utover deres utvalg av observasjon. Det er kjent At mannings ligning mister nøyaktighet med svært bratte eller grunne bakker. For det andre, for å oppnå dimensjonal homogenitet, er deres konstanter eller koeffisienter ikke rene tall, men er kunstig tildelte enheter.
Videre antyder Mannings ligning at gjennomsnittshastigheten er mer følsom for den hydrauliske radiusen enn for skråningen. Dette er virkelig en inkompatibilitet, fordi selve naturen av åpen kanalstrøm er en funksjon av tyngdekraften. Formen på vannpassasjen, beregnet av den hydrauliske radiusen, utøver en effekt på den absolutte ruheten, men det er ikke en primær effekt på gjennomsnittshastigheten selv. Jo lavere hydraulisk radiusforhold, desto større prosentandel av strømmen som er i kontakt med grensens grovhet.
I Tillegg er ligningenes natur en motsetning. Ligningene beskriver en gjennomsnittshastighet som eksisterer i et tverrsnitt vinkelrett på strømmen. Et slikt tverrsnitt har en uendelig tykkelse i strømningsretningen, mens ligningene stole på koeffisienter som refereres til som » grovhetskoeffisienter.»Men effekten av slik grovhet trenger en endelig lengde for å eksistere-den kan ikke ha en effekt over en uendelig tykkelse. Dette betyr at ruheten selv må virke på en annen parameter som kan eksistere over en uendelig lengde for å forsinke strømningshastigheten.
Teori Bak Et Laboratorieeksperiment
nøyaktigheten av Både Chezys og Mannings ligninger avhenger av valget av deres individuelle grovhetskoeffisienter. Dette gjøres vanligvis ved sammenligning med kjente lignende strømmer eller fra en referanse bok med bilder av bekker. Men i artikkelen med tittelen «Dimensjonalt Homogen Form Av Chezy Og Manning Ligninger,» publisert Av Hydro Review i April 2014, foreslo jeg en ny eksperimentell metode for å bestemme de bestanddelene som utgjør disse ruhet koeffisienter.
for å demonstrere teknikken presenterte jeg for en utdannet klasse I Fornybar Energiteknikk som var registrert i Hydraulic Laboratory-kurset Ved Oregon Institute of Technology (OIT) I Wilsonville, Oregon, et eksperiment designet for å identifisere og kvantifisere komponentene i grovhetskoeffisientene. Dette eksperimentet ville konsentrere Seg Om Mannings ligning, og var basert på å bruke prinsippet om dimensjonal homogenitet. OIT – studentene som deltok i dette laboratorieeksperimentet var Joshua Couch, Cole Harrington, Karissa Hilsinger, Tai Huynh, Krystal Locke, William Perreira, Cullen Ryan, Pauloi Santos Vasconcelos Jr., Anurak Sitthiwong og Asmitha Velivela.
først ble to parametere dannet: Hv / S og R. Hv representerer hastighetshodet, Det Vil si Hv = (α x Vavg2) /(2 x g), hvor α kalles hastighetshodekorrigeringsfaktoren eller Coriolisfaktoren. Denne multiplikatoren representerer den ekstra energien som finnes i enten åpen overflate eller lukket trykkstrøm som eksisterer når en hastighetsprofil ikke er konstant over et tverrsnittsområde. Dette er fordi fluidenergi er en funksjon av kvadratet av hastigheten, og summen av kvadratene i hvert fluidstrømrør er større enn kvadratet av summen av hastighetene i hvert strømrør.
Numerisk α er alltid lik eller større enn en og er dimensjonsløs. Hellingen Eller S kunne ha dukket opp på begge parametriske sider, men ble tildelt hv-parameteren, fordi i hydraulikk er det mer enn rikelig bevis på at gjennomsnittshastigheten er en funksjon av kvadratroten Av skråningen, det Vil Si Vavg ≈ S1/2. Deretter ble et laboratorieeksperiment designet som ville tillate data å bli oppnådd og plottet Som Hv/s versus R, som begge har enheter av føtter. Derfor bør enhver resulterende eksperimentell ligning ha dimensjonal homogenitet.
enhetene Av Hv, fra Bernoullis ligning, er fotpund per pund eller «spesifikk energi», men er fortsatt homogene Med R, som har enheter av føtter. Det skal bemerkes at Når R blir større, blir den fuktede omkretsen (P) mindre i forhold til området (A). Dette betyr at friksjonsmotstanden til strømmen må bli mindre, og derfor bør gjennomsnittshastigheten bli større. Med andre ord bør et lineært forhold Mellom Hv / S og R ha en positiv helling.
Testapparat
en liten vippbar-seng laboratorium flume med et svømmebasseng resirkulerende pumpe, som en student hadde beleilig bygget forrige semester, ble tilpasset for bruk. Det var umiddelbart tydelig at måling av hastighetshodekorrigeringsfaktoren i en så liten røyk ville være umulig. Det beste alternativet var å bare måle helling, gjennomsnittshastighet og vanndybde for kritisk og jevn strømning.
ved kritisk strømning, hvor Froude-tallet er lik en, er den minste hydrauliske energien inneholdt for en gitt mengde flytende væske. Følgelig bør det ikke være noen ekstra energi tilgjengelig for å danne en ikke-konstant hastighetsprofil, og hastighetshodekorrigeringsfaktoren bør være nær en. I tillegg, fordi flume var kort, energien i væsken inn i flume måtte matches til energinivået ønsket for en gitt strømningshastighet i flume, slik at uniform eller steady state flow ble umiddelbart oppnådd.
det var ikke mulig å justere svømmebassengpumpen så fint. Følgelig valgte forskerlaget å bringe inn en annen vanntank, ha pumpeutløpet i den tanken, og deretter forsiktig siphon fra den tanken inn i røret. En sonisk strømningsmåler koblet til slangen mellom tanken og flume ga volumetrisk strømningshastighet. Det tok en betydelig mengde tid og krefter for å få alt balansert for et enkelt datapunkt med stabil tilstand, uniform og kritisk strømning i en så liten flume. Imidlertid ble det til slutt samlet tre datapunkter, som var tilstrekkelige for å demonstrere denne metoden for dataanalyse (Tabell 1 og 2).
Tabell 1. Denne tabellen viser data samlet inn under tre åpenkanalforsøk utført i laboratoriet ved hjelp av en flume. Kilde: Lee H. Sheldon, PE
Tabell 2. Denne tabellen viser data samlet inn under tre åpenkanalforsøk utført i laboratoriet ved hjelp av en flume. Kilde: Lee H. Sheldon, PE
det understrekes at disse datapunktene var tett fordelt i form av volumetrisk strømningshastighet. Dette skyldes at en fem-tommers bred flume-operert for både ensartede og kritiske strømmer – ikke ga et bredt spekter av strømningsvariabilitet. Også dette eksperimentet ble gjort i en veldig jevn Pleksiglas flume hvor Mannings n ble målt som bare 0.009, mens 0.012 er den jevneste verdien i den publiserte tabellen over prototype vannkanaler. Derfor bør noen numeriske resultater betraktes som bare å gjelde for dette svært smale hydrauliske regimet.
det er imidlertid også understreket at målet med dette laboratorieeksperimentet bare var å demonstrere om denne metoden kunne brukes i fremtiden, mer omfattende forskning for å gi ytterligere innsikt og nøyaktighet i sammensetningen av komponentene I Chezys og spesielt Mannings ligninger.
Datareduksjonsteknikk
plotting av disse tre datapunktene ble gjort på samme måte som instrumentkalibreringsligningen beskrevet i en artikkel jeg skrev med tittelen «A New Calibration Equation For Winter-Kennedy Piezometer System», som Ble publisert Av Hydro Review i oktober 2013. Denne metoden gir en kalibreringsligning direkte i eksponentiell form for klar sammenligning med de vanlige åpenkanalligningene, det vil si log10 (Hv / S) ble plottet som ordinat eller y-akse og log10R ble plottet som abscissen eller x-aksen (Figur 1).
1. Dette diagrammet viser modellflommen ved kritisk og jevn strømning. Kilde: Lee H. Sheldon, PE
disse punktene tilnærmet en rett linje og ga en ligning av formen: y = mx + b.
log10 (Hv/S) = mlog10R + b = log10 (Rm) + b
Heve begge sider av ligningen som krefter på 10 utbytter:
10^(log10Hv/S) = 10^(log10Rm + b) = 10b x 10^(log10Rm)
deretter, ved logaritmisk identitet:
Hv/s = 10b X Rm
eller
Hv = 10b X S X Rm
hv resultater i:
aVavg2/2g = 10b x S X Rm
Omorganisere vilkårene gir:
Vavg = (2g10b/α)1/2 X S1/2 X Rm/2
Erstatte numeriske verdier av m = 0.7497 og b = 1.7328 Fra Figur 1 gir:
vavg = (2g x 101.7328/α)1/2 X S1/2 X (R0.7497)1/2
det bemerkes at skråningen (m) er positiv som forutsatt tidligere. Derfor:
Vavg = (108.1011 g / α) 1/2 X S1 / 2 X R0. 3749
Resulterer i følgende ligning, som vi kaller Ligning 2 for fremtidig referanse:
Vavg = 10.3972 (gS/α)1/2 x R3 / 8
nå, i denne formen, inneholder åpenkanalligningen bare parametere som kan bestemmes over et uendelig tynt tverrsnittsareal. Sammenligning Av Ligning 2 med Ligning 1 gir innsikt i forholdene til parametrene i Mannings ligning.
Vavg = 10.3972 x (gS/α)1/2 x R3/8 = (1.486/n) x R2/3 x S1/2
nå, likestille bare de to uttrykkene og avbryte s1/2 vilkår gir:
10.3972 x (g/α)1/2 x R3/8 = (1.486/n) x r2/3
kombinere r-termene, resulterer i:
10.3972 x (g/Α)1/2 = (1.486/n) x R7 / 24
som resulterer i følgende, som vi kaller Ligning 3 for fremtidig referanse:
= 0.1429 x (α/g)1/2 x R7/24
Det bemerkes At Ligning 2 ikke har nøyaktig dimensjonal homogenitet. Forsinkelse av verdiene av numeriske koeffisienter, hvis eksponenten Til R hadde vært 4/8 i stedet for 3/8, og med inkludering av enheter for g (gravitasjonsakselerasjon), ville den ha hatt nøyaktig homogenitet. Separat er Det bemerket at for Mannings ligning å ha dimensjonal homogenitet, hadde enhetene av n I Ligning 1 historisk blitt tildelt kunstig som sekunder / føtter1 / 3 eller sekunder / føtter8 / 24. I Ligning 3, nå, også inkludert enheter for g, har n enheter av sekunder / føtter5 / 24.
det vurderes at disse to forskjellene I mannings ligning og Mannings n kan skyldes usikkerheten eller unøyaktigheten av datamålingen i den begrensede testflommen som er tilgjengelig for studentene. Derfor er det igjen understreket at de endelige numeriske resultatene av dette eksperimentet sannsynligvis har en grad av usikkerhet, men metoden for å nøyaktig kvantifisere Mannings ligning er tydelig demonstrert.
begrepet s (g) er skråningstidene gravitasjonsakselerasjon. Når hellingen, d (y) / dx, blir større, er det en større gravitasjonskraft som virker for å akselerere strømmen.
Som nevnt tidligere, Er mannings ligning et gjennomsnitt av alle open-channel ligninger publisert før 1889. Det faktum at det ikke inkluderte effekten av hastighetshodekorrigeringsfaktoren, er ganske forståelig. Det var ikke før så sent som i 1877 At Coriolis hastighet hodet korreksjon faktor ble anerkjent for å være en variabel og ikke en konstant.
relasjonene I Ligning 2 viser At Mannings n er en metrisk for hastighetshodekorrigeringsfaktoren, det vil si at n er proporsjonal med α 1 / 2. Teoretisk sett, hvis n dobles, økes hastighetshodekorrigeringsfaktoren fire ganger og gjennomsnittshastigheten halveres. Dette er mekanismen gjennom hvilken ruheten av væskegrensene virker for å forsinke strømningshastigheten over et uendelig tynt tverrsnitt.
Som nevnt er Mannings n direkte påvirket av den hydrauliske radiusen (R7/24). Dette viser at valg av En Bemanning n er ikke bare en funksjon av grovhet, men av tverrsnittsformen til vannbanen. Det faktum at kanaler kan vise noen forskjeller I Mannings n på grunn av deres form alene, samt deres grovhet, har tidligere blitt dokumentert i annen litteratur.
i en artikkel med tittelen «Bestemmelse Av Rugosity Koeffisient For Foret Og Unlined Kanaler» publisert Av Karnataka Engineering Research Station I India, det står, » Flyt i kanaler er komplisert av det faktum at form av ruhet elementer og dermed motstand mot flyt er funksjoner av egenskapene til kanal form og justering. Disse faktorene utgjør koeffisienten av rugositet eller grovhetskoeffisienten.»Årsaken, som nevnt tidligere, er jo mindre hydraulisk radius, desto større er den relative prosentandelen av volumet av strømning som er i direkte kontakt med den gitte absolutte grovheten av grensen. Derfor, jo større dra som grensen pålegger for å forsinke volumetrisk strømningshastighet, jo mer ujevn blir hastighetsprofilen, som beregnet ved α. Dermed er jo mindre hydraulisk radius, desto større energitap. Omvendt, jo større hydraulisk radius, desto mer har hastighetsprofilen en tendens til å bli jevn over tverrsnittet. Chezys C er omvendt proporsjonal Med R1 / 8.
ligningene utviklet Av Chezy og Manning kan synes å være veldig enkle; imidlertid representerer de komplekse interaksjoner av hydrauliske parametere av væsker i åpne kanaler. Den eksperimentelle prosessen som presenteres i denne artikkelen kan brukes til å studere disse interaksjonene. Bruken av denne eksperimentelle metoden, på den svært begrensede og smale basis beskrevet ovenfor, antyder at forskjellen mellom Chezys og Mannings ligninger kanskje ikke er så stor som den ser ut. Den virkelige forskjellen kan være mer i graden av avhengighet som hver koeffisient av strømningsmotstand har på hastighetshodekorrigeringsfaktoren og den hydrauliske radiusen.
—Lee H. Sheldon, PE er en vannkraftingeniør med 50 års erfaring. Han har publisert 33 tekniske artikler og en høyskole lærebok om vannkraft engineering, og har jobbet på hver føderale vannkraftprosjekt I Pacific Northwest, blant andre. Han var tidligere professor VED OIT, hvor han underviste i vannkraft og væskemekanikk.