Viktige resultater av funksjonell analyse inkluderer:
Uniform boundedness principleEdit
uniform boundedness principle eller Banach–Steinhaus teorem er en av de grunnleggende resultatene i funksjonell analyse. Sammen Med Hahn-Banach-teoremet og open mapping theorem, regnes det som en av hjørnesteinene i feltet. I sin grunnleggende form hevder det at for en familie av kontinuerlige lineære operatører (og dermed avgrensede operatører) hvis domene Er Et Banach-rom, er punktvis grense ekvivalent med ensartet grense i operatørnorm.
teoremet ble først publisert i 1927 Av Stefan Banach Og Hugo Steinhaus, men det ble også bevist uavhengig Av Hans Hahn.
Teorem (Ensartet Grenseprinsipp). La X være Et Banach-rom og Y være et normert vektorrom. Anta At F er en samling av kontinuerlige lineære operatører Fra X Til Y. Hvis for alle x i x har en
Sup T ∈ F ‖ t (x ) ‖ Y <∞, {\displaystyle \ sup \ nolimits _{T \ In F}\|t(x)\/ _ {Y} <\infty,}
deretter
Sup T ∈ F ‖ T ‖ B ( X , Y ) < ∞ {\displaystyle \ sup \ nolimits _{T \ i F}\ / T\/ _ {B (X, Y)} < \infty .}
Spektralteoremetrediger
det er mange teoremer kjent som spektral teorem, men en spesielt har mange anvendelser i funksjonell analyse.
Teorem: La A være en avgrenset selvstendig adjoint operatør på Et Hilbert-rom H. deretter er det et målrom (X, Σ, μ) Og en virkelig verdsatt hovedsakelig avgrenset målbar funksjon f På X og en enhetlig operatør U:H → L2µ(X) slik at
U ∗ T U = a {\displaystyle U^{*}tu=A\;}
Hvor T er multiplikasjonsoperatøren:
( x ) = f ( x ) φ ( x ) . {\displaystyle (x) = f (x)\varphi (x).\;}
og ‖ T ‖ = hryvnias f ‖ ∞ {\displaystyle \ |t \ | = \ / f \ / _{\infty }}
dette er begynnelsen på det store forskningsområdet funksjonell analyse kalt operatørteori; se også spektralmål.
det er også en analog spektral teorem for avgrensede normale operatører På Hilbert mellomrom. Den eneste forskjellen i konklusjonen er at nå f {\displaystyle f}
kan være komplisert verdsatt.
Hahn-Banach teoremrediger
Hahn–Banach teoremet er et sentralt verktøy i funksjonell analyse. Det tillater utvidelse av avgrensede lineære funksjonaler definert på et underrom av noe vektorrom til hele rommet, og det viser også at det er «nok» kontinuerlige lineære funksjonaler definert på hvert normert vektorrom for å gjøre studiet av dobbeltrommet «interessant».
Hahn-Banach teorem: hvis p: V → R er en sublinær funksjon, og φ: U → R er en lineær funksjon på et lineært underrom U ⊆ V som domineres av p På U, dvs.
φ ( x ) ≤ p ( x ) ∀ x ∈ U {\displaystyle \varphi (x)\leq p(x)\qquad \forall x\i U}
da det eksisterer en lineær utvidelse ψ : V → R av φ til hele plassen V, dvs., det eksisterer en lineær funksjonelle ψ slik at
ψ ( x ) = φ ( x ) ∀ x ∈ U , {\displaystyle \psi (x)=\varphi (x)\qquad \forall x\i U,}
ψ ( x ) ≤ p ( x ) ∀ x ∈ V . {\displaystyle \ psi (x) \ leq p (x)\qquad \ forall x \ i V.}
Åpent kartleggingsteoremrediger
Det åpne kartleggingsteoremet, også kjent som Banach–Schauder-teoremet (oppkalt etter Stefan Banach Og Juliusz Schauder), er et grunnleggende resultat som sier at hvis en kontinuerlig lineær operatør mellom banach mellomrom er surjektiv, er det et åpent kart. Mer presist:
Åpen kartleggingsteorem. Hvis X og Y er Banach mellomrom Og A: X → Y Er en surjektiv kontinuerlig lineær operatør, Så Er A et åpent kart (dvs. Hvis U er et åpent sett I X, er A(U) åpent I Y).
beviset bruker baire kategori teoremet, og fullstendighet Av Både X Og Y er avgjørende for teoremet. Setningen av teoremet er ikke lenger sant hvis enten plass bare antas å være et normert rom, men er sant Hvis X Og Y er Tatt For Å Være Fré mellomrom.
Lukket grafteoremrediger
lukket grafteorem sier følgende:Hvis X er et topologisk rom og Y er et Kompakt Hausdorff-rom, lukkes grafen Til et lineært kart T fra X Til Y hvis Og bare Hvis T er kontinuerlig.