astronomen Galileo Galilei i Sin Il Saggiatore skrev at » er skrevet i matematikkens språk, og dets tegn er trekanter, sirkler og andre geometriske figurer.»Kunstnere som strever og søker å studere naturen må Først, Etter Galileos syn, forstå matematikk fullt ut. Matematikere, omvendt, har søkt å tolke og analysere kunst gjennom linsen av geometri og rasjonalitet. Matematikeren Felipe Cucker antyder at matematikk, og spesielt geometri, er en kilde til regler for «regeldrevet kunstnerisk skapelse», men ikke den eneste. Noen av de mange trådene i det resulterende komplekse forholdet er beskrevet nedenfor.
Matematikk som kunstrediger
Matematikeren Jerry P. King beskriver matematikk som en kunst, sier at «nøklene til matematikk er skjønnhet og eleganse og ikke sløvhet og teknisk», og at skjønnhet er den motiverende kraften for matematisk forskning. King siterer matematikeren G. H. Hardys essay A Mathematician ‘ S Apology Fra 1940. I Den diskuterer Hardy hvorfor han finner to teoremer av klassisk tid som første sats, Nemlig Euklids bevis på at det er uendelig mange primtall, og beviset på at kvadratroten av 2 er irrasjonell. King vurderer dette siste mot Hardys kriterier for matematisk eleganse: «alvor, dybde, generalitet, uventethet, uunngåelighet og økonomi «(King ‘s italics), og beskriver beviset som «estetisk tiltalende». Den ungarske matematikeren Paul Erdő var enig i at matematikk hadde skjønnhet, men vurderte årsakene utover forklaringen: «Hvorfor er tallene vakre ? Det er som å spørre hvorfor Er Beethovens Niende Symfoni vakker. Hvis du ikke ser hvorfor, kan noen ikke fortelle deg. Jeg vet at tall er vakre.»
Matematiske verktøy for artEdit
Matematikk kan skelnes i mange av kunstene, for eksempel musikk, dans, maleri, arkitektur og skulptur. Hver av disse er rikt forbundet med matematikk. Blant forbindelsene til visuell kunst kan matematikk gi verktøy til kunstnere, for eksempel reglene for lineært perspektiv som beskrevet Av Brook Taylor Og Johann Lambert, eller metodene for beskrivende geometri, som nå brukes i programvaremodellering av faste stoffer, dateres Tilbake Til Albrecht Dü og Gaspard Monge. Kunstnere Fra Luca Pacioli i Middelalderen Og Leonardo Da Vinci og Albrecht Dü I Renessansen har benyttet seg av og utviklet matematiske ideer i jakten på sitt kunstneriske arbeid. Bruken av perspektiv begynte, til tross for noen embryonale bruksområder i arkitekturen I Antikkens Hellas, med italienske malere Som Giotto i det 13. århundre; regler som forsvinningspunktet ble først formulert Av Brunelleschi i ca 1413, hans teori påvirker Leonardo og Dü. Isaac Newtons arbeid på det optiske spekteret påvirket Goethes Teori Om Farger og i sin tur kunstnere som Philipp Otto Runge, J. M. W. Turner, Pre-Rafaelittene og Wassily Kandinsky. Kunstnere kan også velge å analysere symmetrien til en scene. Verktøy kan brukes av matematikere som utforsker kunst, eller kunstnere inspirert av matematikk, slik Som M. C. Escher (inspirert Av H. S. M. Coxeter) og arkitekten Frank Gehry, som mer iherdig hevdet at dataassistert design gjorde ham i stand til å uttrykke seg på en helt ny måte.
Kunstneren Richard Wright hevder at matematiske objekter som kan konstrueres kan ses enten » som prosesser for å simulere fenomener «eller som verk av»datakunst». Han vurderer natur matematisk tanke, observere at fraktaler var kjent for matematikere for et århundre før de ble anerkjent som sådan. Wright konkluderer med at det er hensiktsmessig å underkaste matematiske objekter til enhver metode som brukes til å » komme til enighet med kulturelle gjenstander som kunst, spenningen mellom objektivitet og subjektivitet, deres metaforiske betydninger og karakteren av representasjonssystemer.»Han gir som instanser et bilde fra Mandelbrot-settet, et bilde generert av en mobilautomatalgoritme og et datamaskingjengitt bilde, og diskuterer, med Henvisning Til Turing-testen, om algoritmiske produkter kan være kunst. Sasho Kalajdzievski ‘ S Math And Art: En Introduksjon til Visuell Matematikk tar en lignende tilnærming, ser på passende visuelle matematikk emner som tilings, fraktaler og hyperbolsk geometri.
Noen av de første verkene av datakunst ble skapt Av Desmond Paul Henrys «Drawing Machine 1», en analog maskin basert på en bombsight-datamaskin og utstilt i 1962. Maskinen var i stand til å skape komplekse, abstrakte, asymmetriske, krøllete, men repeterende linjetegninger. Mer nylig har Hamid Naderi Yeganeh skapt former som tyder på virkelige objekter som fisk og fugler, ved hjelp av formler som suksessivt varieres for å tegne familier av kurver eller vinklede linjer. Kunstnere som Mikael Hvidtfeldt Christensen lager verk av generativ eller algoritmisk kunst ved å skrive skript for et programvaresystem som Structure Synth: kunstneren styrer effektivt systemet for å bruke en ønsket kombinasjon av matematiske operasjoner til et valgt sett med data.
-
Matematisk skulptur Av Bathsheba Grossman, 2007
-
Fraktal skulptur: 3d Fraktal 03/H/Dd Hartmut Skerbisch, 2003
-
Fibonacci word: detalj av kunstverk Av Samuel Monnier, 2009
-
Computer art bilde produsert Av Desmond Paul Henrys «Tegning Maskin 1», utstilt 1962
-
En Fugl I Flukt, Av Hamid Naderi Yeganeh, 2016, konstruert med en familie av matematiske kurver.
fra matematikk til kunstrediger
matematikeren Og teoretisk fysiker Henri Poincaré Vitenskap og Hypotese ble mye lest Av Kubistene, inkludert Pablo Picasso og Jean Metzinger. Å være godt kjent Med Bernhard Riemanns arbeid med ikke-Euklidsk geometri, Poincaré var mer enn klar over At Euklidsk geometri er bare en av mange mulige geometriske konfigurasjoner, snarere enn som en absolutt objektiv sannhet. Den mulige eksistensen av en fjerde dimensjon inspirerte kunstnere til å stille spørsmål ved klassisk Renessanseperspektiv: ikke-Euklidsk geometri ble et gyldig alternativ. Konseptet om at maleri kunne uttrykkes matematisk, i farge og form, bidro til Kubisme, kunstbevegelsen som førte til abstrakt kunst. Metzinger, i 1910, skrev at: «legger ut et fritt, mobilt perspektiv, hvorfra Den geniale matematikeren Maurice Princet har utledet en hel geometri». Seinere, Metzinger skrev i sine memoarer:
Maurice Princet kom ofte til oss … det var som en kunstner som han begrepsfestet matematikk, som en estetiker som han påkalte n-dimensjonale kontinuum. Han elsket å få kunstnerne interessert i De nye syn på plass Som Hadde blitt åpnet Opp Av Schlegel og noen andre. Han lyktes på det.
impulsen til å lage undervisnings-eller forskningsmodeller av matematiske former skaper naturlig objekter som har symmetrier og overraskende eller tiltalende former. Noen av disse har inspirert kunstnere som Dadaistene Man Ray, Marcel Duchamp Og Max Ernst, og following Man Ray, Hiroshi Sugimoto.
Man Ray fotograferte noen av de matematiske modellene I Institut Henri Poincaré I Paris, inkludert Objet mathematique (Mathematical object). Han bemerket at dette representerte Enneper overflater med konstant negativ krumning, avledet fra pseudo-sfæren. Dette matematiske grunnlaget var viktig for Ham, da det tillot ham å nekte at objektet var «abstrakt», i stedet hevdet at det var like ekte som urinalen Som Duchamp gjorde til et kunstverk. Man Ray innrømmet at objektets formel «betydde ingenting for meg, men formene selv var like varierte og autentiske som noen i naturen.»Han brukte sine fotografier av matematiske modeller som figurer i sin serie han gjorde På Shakespeares skuespill, som hans 1934 maleri Antony og Cleopatra. Kunstreporteren Jonathan Keats, som skriver I ForbesLife, hevder At Man Ray fotograferte «elliptiske paraboloider og koniske punkter i samme sensuelle lys som hans bilder Av Kiki De Montparnasse», og «genialt omarbeider de kule beregningene av matematikk for å avsløre lystens topologi». Tjuende århundre skulptører Som Henry Moore, Barbara Hepworth Og Naum Gabo tok inspirasjon fra matematiske modeller. Moore skrev om Sin Mor og Barn Med Streng I 1938: «Utvilsomt var kilden til mine strengefigurer Vitenskapsmuseet … Jeg ble fascinert av de matematiske modellene jeg så der … Det var ikke den vitenskapelige studien av disse modellene, men evnen til å se gjennom strengene som med et fuglbur og å se en form i en annen som begeistret meg.»
kunstnerne Theo van Doesburg og Piet Mondrian grunnla de Stijl-bevegelsen, som de ønsket å «etablere et visuelt ordforråd bestående av elementære geometriske former forståelig av alle og tilpasningsdyktig til enhver disiplin». Mange av deres kunstverk synlig består av styrte firkanter og trekanter, noen ganger også med sirkler. De Stijl kunstnere jobbet i maleri, møbler, interiørdesign og arkitektur. Etter oppbruddet av De Stijl grunnla Van Doesburg Avantgarde Art Concret movement, som beskrev Sin Aritmetiske Komposisjon fra 1929-1930, en serie på fire svarte firkanter på diagonalen av en kvadrert bakgrunn, som «en struktur som kan styres, en bestemt overflate uten tilfeldige elementer eller individuell caprice», men » mangler ikke i ånd, mangler ikke det universelle og ikke … tom som det er alt som passer til den indre rytmen». Kunstkritikeren Gladys Fabre observerer at to progresjoner er på jobb i maleriet, nemlig de voksende svarte firkantene og de vekslende bakgrunnene.
matematikken i tessellasjon, polyeder, romforming og selvreferanse ga grafikeren M. C. Escher (1898-1972) en levetid verdt av materialer for hans tresnitt. I Alhambra-Skissen viste Escher at kunst kan opprettes med polygoner eller vanlige former som trekanter, firkanter og sekskanter. Escher brukte uregelmessige polygoner ved flislegging av flyet og brukte ofte refleksjoner, gliderefleksjoner og oversettelser for å få ytterligere mønstre. Mange av hans arbeider inneholder umulige konstruksjoner, laget ved hjelp av geometriske objekter som setter opp en motsetning mellom perspektivprojeksjon og tre dimensjoner, men er behagelig for menneskets syn. Eschers Stigende og Synkende er basert på den «umulige trappen» skapt av medisinsk forsker Lionel Penrose og hans sønn matematikeren Roger Penrose.
Noen Av Eschers mange tessellasjonstegninger var inspirert av samtaler med matematikeren Hsm Coxeter om hyperbolsk geometri. Escher var spesielt interessert i fem spesifikke polyeder, som vises mange ganger i sitt arbeid. Platonske faste stoffer-tetraeder—kuber, oktaeder, dodekaeder og ikosaeder – er spesielt fremtredende I Orden Og Kaos og Fire Faste Faste Stoffer. Disse stellated tallene ofte ligge innenfor en annen figur som ytterligere forvrenger synsvinkel og konformasjon av polyhedrons og gir en mangefasettert perspektiv kunstverk.
den visuelle intricacy av matematiske strukturer som tessellations og polyhedra har inspirert en rekke matematiske kunstverk. Stewart Coffin gjør polyhedral puslespill i sjeldne og vakre skoger; George W. Hart arbeider med teorien om polyhedra og sculpts objekter inspirert av dem; Magnus Wenninger gjør «spesielt vakre» modeller av komplekse stellated polyhedra.
de forvrengte perspektivene til anamorfose har blitt utforsket i kunsten siden det sekstende århundre, da Hans Holbein Den Yngre innlemmet en alvorlig forvrengt hodeskalle i hans 1533-maleri Ambassadørene. Mange kunstnere siden Da, inkludert Escher, har gjort bruk av anamorfe triks.
matematikken i topologi har inspirert flere kunstnere i moderne tid. Skulptøren John Robinson (1935-2007) skapte verk Som Gordian Knot og Bands Of Friendship, viser knute teori i polert bronse. Andre verk av Robinson utforsker topologien til toruser. Genesis er basert På Borromean ringer – et sett med tre sirkler – ingen to som link, men der hele strukturen ikke kan tas fra hverandre uten å bryte. Skulptøren Helaman Ferguson skaper komplekse overflater og andre topologiske gjenstander. Hans arbeider er visuelle representasjoner av matematiske objekter; Eightfold Way er basert PÅ den projektive spesielle lineære gruppen PSL (2,7), en endelig gruppe på 168 elementer. Skulptøren Bathsheba Grossman baserer på samme måte sitt arbeid på matematiske strukturer. Kunstneren Nelson Saiers inkorporerer matematiske begreper og teoremer i sin kunst fra toposer og ordninger til four color theorem og irrasjonaliteten til π.
en liberal arts forespørsel prosjekt undersøker sammenhenger mellom matematikk og kunst gjennom Mö stripe, flexagons, origami og panorama fotografering.
Matematiske objekter, inkludert Lorenz manifold og det hyperbolske planet, er laget ved hjelp av fiberkunst, inkludert hekle. Den Amerikanske veveren Ada Dietz skrev En 1949-monografi Algebraiske Uttrykk i Håndvevde Tekstiler, og definerte vevemønstre basert på utvidelsen av multivariate polynomer. Matematikeren Daina Taimiņ demonstrerte egenskaper av det hyperbolske flyet ved hekling i 2001. Dette førte Margaret Og Christine Wertheim å hekle et korallrev, bestående av mange marine dyr som nudibranchs hvis former er basert på hyperbolske fly. Matematikeren Jcp Miller brukte Regel 90 cellular automat til å designe gobeliner som skildrer både trær og abstrakte mønstre av trekanter. «Mathekniticians» Pat Ashforth og Steve Plummer bruker strikkede versjoner av matematiske objekter som hexaflexagons i sin undervisning, selv om Deres Menger svamp viste seg for plagsom å strikke og ble laget av plast lerret i stedet. Deres» mathghans » (Afghans For Schools) – prosjekt introduserte strikking i Britisk matematikk og teknologi læreplan.
-
Firedimensjonalt rom til Kubisme: Esprit Jouffret ‘ s 1903 Trait ④l@l@limentaire de géé slutt dimensjoner.
-
De Stijl: Theo van Doesburgs geometriske Sammensetning I (Stilleben), 1916
-
Pedagogikk til kunst: Magnus Wenninger med noen av hans stellated polyhedra, 2009
-
A Mö strippe skjerf i hekle, 2007
-
Anamorfisme: Ambassadørene av Hans Holbein Den Yngre, 1533, med sterkt forvrengt hodeskalle i forgrunnen
-
Heklet korallrev: mange dyr modellert som hyperbolske fly med varierende parametere Av Margaret Og Christine Wertheim. Fö Rev, Tü, 2013
Illustrerende matematikkrediger
Modellering er langt fra den eneste mulige måten å illustrere matematiske begreper på. Giottos Stefaneschi-Triptyk, 1320, illustrerer rekursjon i form av mise en abyme; det sentrale panelet i triptyket inneholder, nederst til venstre, Den knelende figuren Til Kardinal Stefaneschi, som holder opp triptyket som et offer. Giorgio De Chiricos metafysiske malerier som Hans 1917 Great Metaphysical Interior undersøker spørsmålet om nivåer av representasjon i kunst ved å skildre malerier i hans malerier.
Kunst kan eksemplifisere logiske paradokser, som i noen malerier av den surrealistiske René Magritte, som kan leses som semiotiske vitser om forvirring mellom nivåene. I La condition humaine (1933) skildrer Magritte et easel (på det virkelige lerretet), som sømløst støtter en visning gjennom et vindu som er innrammet av «ekte» gardiner i maleriet. Tilsvarende Er Eschers Print Gallery (1956)en utskrift som viser en forvrengt by som inneholder et galleri som rekursivt inneholder bildet, og så ad infinitum. Magritte benyttet seg av kuler og kuboider for å forvride virkeligheten på en annen måte, male dem sammen med et utvalg av hus i Sin 1931 Mentale Aritmetikk som om de var barnas byggesteiner, men husstørrelse. The Guardian observerte at Det» uhyggelige leketøysbildet «profeterte Modernismens usurpasjon av «koselige tradisjonelle former», men også spiller med den menneskelige tendensen til å søke mønstre i naturen.
Salvador Dalí siste maleri, The Swallow ‘ S Tail (1983), var en del av en serie inspirert Av René Thoms katastrofeteori. Den spanske maleren Og skulptøren Pablo Palazuelo (1916-2007) fokuserte på undersøkelsen av form. Han utviklet en stil som han beskrev som livets geometri og geometrien av all natur. Bestående av enkle geometriske former med detaljert mønster og farging, i verk Som Angular i og Automnes, uttrykte Palazuelo seg i geometriske transformasjoner.
Kunstneren Adrian Gray praktiserer steinbalansering, utnytter friksjon og tyngdepunkt for å skape slående og tilsynelatende umulige komposisjoner.
Kunstnere tar imidlertid ikke nødvendigvis geometri bokstavelig. Som Douglas Hofstadter skriver i sin 1980 reflection on human thought, Gö, Escher, Bach, ved hjelp av (blant annet) kunstens matematikk: «forskjellen mellom En Escher-tegning og ikke-Euklidisk geometri er at i sistnevnte kan forståelige tolkninger bli funnet for de udefinerte vilkårene, noe som resulterer i et forståelig totalt system, mens for førstnevnte er sluttresultatet ikke forenlig med ens oppfatning av verden, uansett hvor lenge man stirrer på bildene.»Hofstadter diskuterer det tilsynelatende paradoksale Litografiutskriftsgalleriet Av M. C. Escher; det viser en kystby som inneholder et kunstgalleri som synes å inneholde et maleri av kystbyen, det er en «merkelig loop, eller flokete hierarki» til nivåene av virkeligheten i bildet. Kunstneren selv, Hofstadter observerer, er ikke sett; hans virkelighet og hans forhold til litografien er ikke paradoksale. Bildets sentrale tomrom har også tiltrukket seg interessen til matematikerne Bart De Smit Og Hendrik Lenstra, som foreslår at Det kan inneholde En Droste-effektkopi av seg selv, rotert og krympet; dette vil være en ytterligere illustrasjon av rekursjon utover Det Som er notert Av Hofstadter.
Analyse av kunsthistorierediger
Algoritmisk analyse av bilder av kunstverk, for eksempel Ved Hjelp Av Røntgenfluorescensspektroskopi, kan avsløre informasjon om kunst. Slike teknikker kan avdekke bilder i lag med maling senere dekket over av en kunstner; hjelpe kunsthistorikere å visualisere et kunstverk før det sprakk eller falmet; bidra til å fortelle en kopi fra en original, eller skille penselstrøk stil av en mester fra de av hans lærlinger.
Jackson Pollocks dryppmalerstil har en bestemt fraktal dimensjon; Blant kunstnerne Som kan ha påvirket Pollocks kontrollerte kaos, malte Max Ernst Lissajous figurer direkte ved å svinge en punktert bøtte med maling over et lerret.
Datavitenskaperen Neil Dodgson undersøkte om Bridget Rileys stripemalerier kunne karakteriseres matematisk, og konkluderte med at mens separasjonsavstand kunne «gi noen karakterisering» og global entropi jobbet på noen malerier, mislyktes autokorrelasjon da Rileys mønstre var uregelmessige. Lokal entropi fungerte best, og korrelerte godt med beskrivelsen gitt av kunstkritikeren Robert Kudielka.
Den Amerikanske matematikeren George Birkhoffs Estetiske Mål fra 1933 foreslår en kvantitativ beregning av den estetiske kvaliteten til et kunstverk. Den forsøker ikke å måle konnotasjonene til et verk, for eksempel hva et maleri kan bety, men er begrenset til «ordenselementene» til en polygonal figur. Birkhoff kombinerer først (som en sum) fem slike elementer: om det er en vertikal symmetriakse; om det er optisk likevekt; hvor mange rotasjonssymmetrier den har; hvordan tapet-lignende figuren er; og om det er utilfredsstillende funksjoner som å ha to hjørner for tett sammen. Denne metriske, O, tar en verdi mellom -3 og 7. Den andre metriske, C, teller elementer i figuren, som for et polygon er antall forskjellige rette linjer som inneholder minst en av sidene. Birkhoff definerer deretter sin estetiske mål på et objekts skjønnhet Som O / C. Dette kan tolkes som en balanse mellom gleden å se på objektet gir, og mengden innsats som trengs for å ta det inn. Birkhoffs forslag har blitt kritisert på ulike måter, ikke minst for å prøve å sette skjønnhet i en formel, men han hevdet aldri å ha gjort det.
Stimuli til matematisk forskningrediger
Kunst har noen ganger stimulert utviklingen av matematikk, som Da Brunelleschis teori om perspektiv i arkitektur og maleri startet en syklus av forskning som førte Til Arbeidet Til Brook Taylor og Johann Heinrich Lambert på det matematiske grunnlaget for perspektivtegning, og til slutt til matematikken til projektiv geometri Av Girard Desargues og Jean-Victor Poncelet.
den Japanske papirfoldingskunsten origami har blitt omarbeidet matematisk Av Tomoko Fusupuncture ved hjelp av moduler, kongruente stykker papir som firkanter, og gjort dem til polyeder eller fliser. Papirfolding ble brukt I 1893 Av T. Sundara Rao I Sine Geometriske Øvelser I Papirfolding for å demonstrere geometriske bevis. Matematikken i papirfolding har blitt utforsket I Maekawas teorem, Kawasakis teorem og Huzita–Hatori-aksiomene.
-
Stimulus til projektiv geometri: albertis diagram som viser en sirkel sett i perspektiv som en ellipse. Della Pittura, 1435-6
-
Matematisk origami: Spring Into Action, Av Jeff Beynon, laget av et enkelt papirrektangel.
Illusion to Op art [Rediger / Rediger kilde]
Optiske illusjoner som Fraser spiral påfallende demonstrere begrensninger i menneskelig visuell persepsjon, skape hva kunsthistorikeren Ernst Gombrich kalt en » uforståelig triks.»De svarte og hvite tauene som ser ut til å danne spiraler, er faktisk konsentriske sirkler. Midten av det tjuende århundre Op art eller optisk kunst stil av maleri og grafikk utnyttet slike effekter for å skape inntrykk av bevegelse og blinkende eller vibrerende mønstre sett i verk av kunstnere Som Bridget Riley, Spyros Horemis, Og Victor Vasarely.
Hellig geometryEdit
En kunststreng fra Antikkens Hellas og fremover ser Gud Som verdens geometer, og verdens geometri derfor som hellig. Troen på At Gud skapte universet i henhold til en geometrisk plan har gammel opprinnelse. Plutark tilskrev Troen Til Platon, og skrev at «Platon sa Gud geometrizes kontinuerlig» (Convivialium disputationum, liber 8,2). Dette bildet har påvirket Vestlig tanke helt siden. Det Platonske konseptet avledet i sin tur fra En Pythagoransk forestilling om harmoni i musikk, hvor notene var fordelt i perfekte proporsjoner, som svarer til lengdene av lyre strenger; Faktisk holdt Pythagoreerne at Alt var ordnet Etter Nummer. På Samme måte, I Platonisk tanke, bestemmer de vanlige Eller Platoniske faste stoffene proporsjonene som finnes i naturen og i kunsten. En belysning I Det 13. århundre Codex Vindobonensis viser Gud tegne ut universet med et par kompass, som kan referere til et vers I Det Gamle Testamente: «Da han etablerte himmelen jeg var der: da han satte et kompass på forsiden av dyp» (Ordspråkene 8:27), . I 1596 modellerte Den matematiske astronomen Johannes Kepler universet som et sett med nestede Platoniske faste stoffer, og bestemte de relative størrelsene til planetens baner. William Blakes Ancient Of Days (som skildrer Urizen, Blakes legemliggjøring av fornuft og lov) og hans maleri av fysikeren Isaac Newton, naken, hunched og tegning med kompass, bruker symbolikken til kompasser for å kritisere konvensjonell grunn og materialisme som trangsynt.Salvador Dalí ‘ S Korsfestelse fra 1954 (Corpus Hypercubus) skildrer korset som en hyperkube, som representerer det guddommelige perspektiv med fire dimensjoner i stedet for de vanlige tre. I Dalí ‘ S Nadverden Av Den Siste Nadver (1955) Er Kristus og hans disipler avbildet inne i en gigantisk dodekaeder.
-
Gud geometer. Codex Vindobonensis, c. 1220
-
skapelsen, Med Pantocrator peiling . Bibelen Av St Louis, c. 1220-40
-
Johannes Keplers Platonske faste modell av planetenes avstand i solsystemet Fra Mysterium Cosmographicum, 1596
-
William Blake Den Gamle Av Dager, 1794
-
William Blake ‘ S Newton, c. 1800