i et perfekt optisk system i den klassiske teorien om optikk, stråler av lys som går fra et objektpunkt forenes i et bildepunkt; og derfor er objektrommet gjengitt i et bildeområde. Innføringen av enkle hjelpebetingelser, på Grunn Av Gauss, kalt brennvidder og brennvidder, tillater bestemmelse av bildet av ethvert objekt for ethvert system. Den Gaussiske teorien er imidlertid bare sant så lenge vinklene som er laget av alle stråler med den optiske aksen (systemets symmetriske akse) er uendelig små, dvs. med uendelige objekter, bilder og linser; i praksis kan disse forholdene ikke realiseres, og bildene som projiseres av ukorrigerte systemer, er generelt dårlig definert og ofte uskarpe hvis blenderåpningen eller synsfeltet overskrider visse grenser.
undersøkelsene Til James Clerk Maxwell og Ernst Abbe viste at egenskapene til disse reproduksjonene, dvs. den relative posisjonen og størrelsen på bildene, er ikke spesielle egenskaper av optiske systemer, men nødvendige konsekvenser av antagelsen (per Abbe) av gjengivelsen av alle punkter i et rom i bildepunkter, og er uavhengig av måten gjengivelsen utføres på. Disse forfatterne viste imidlertid at ingen optisk system kan rettferdiggjøre disse antagelsene, siden de er i strid med de grunnleggende lovene om refleksjon og brytning. Følgelig gir Den Gaussiske teorien bare en praktisk metode for å tilnærme virkeligheten; realistiske optiske systemer faller kort av dette uoppnåelige idealet. For tiden er alt som kan oppnås projeksjon av et enkelt plan på et annet plan; men selv i dette skjer aberrasjoner alltid, og det kan være usannsynlig at disse noen gang vil bli helt korrigert.
Aberrasjon av aksiale punkter (sfærisk aberrasjon i begrenset forstand)Rediger
La S (fig. 1) være noe optisk system, stråler som går fra et aksepunkt O under en vinkel u1 vil forene i aksepunktet O’1; og de under en vinkel u2 i aksen punkt O’2. Hvis det er brytning på en kollektiv sfærisk overflate, eller gjennom en tynn positiv linse, vil O’2 ligge foran O’1 så lenge vinkelen u2 er større enn u1( under korreksjon); og omvendt med en dispersiv overflate eller linser (over korreksjon). Kaustikken, i det første tilfellet, ligner tegnet >(større enn); i den andre <(mindre enn). Hvis vinkelen u1 er veldig liten, Er O’1 Det Gaussiske bildet; Og O’1 O’ 2 kalles langsgående aberrasjon, OG O ‘ 1R den laterale aberrasjonen av blyantene med blenderåpning u2. Hvis blyanten med vinkelen u2 er den for maksimal aberrasjon av alle blyantene som overføres, så er det i et plan vinkelrett på aksen Ved O’1 en sirkulær disk med forvirring av radius O’1R, og i et parallelt plan Ved O’ 2 en annen av radius O ‘ 2R2; mellom disse to ligger disken med minst forvirring.
den største åpningen av blyantene, som deltar I gjengivelsen Av O, dvs. vinkelen u, bestemmes vanligvis av marginen til en av linsene eller ved et hull i en tynn plate plassert mellom, før eller bak linsene i systemet. Dette hullet kalles stopp eller membran; Abbe brukt begrepet blenderåpning stopp for både hullet og begrensningsmargin av linsen. Komponenten s1 i systemet, som ligger mellom blenderstoppet og objektet O, projiserer et bilde av membranen, betegnet Av Abbe inngangspupillen; utgangspupillen er bildet dannet av komponenten S2, som er plassert bak blenderstoppet. Alle stråler som utgår Fra O og passerer gjennom blenderstoppet, passerer også gjennom inngangs-og utgangspillene, siden disse er bilder av blenderstoppet. Siden den maksimale blenderåpningen til blyantene som utstedes Fra O er vinkelen u subtendert av inngangspupillen på dette punktet, vil størrelsen på aberrasjonen bestemmes av inngangspupillens posisjon og diameter. Hvis systemet er helt bak blenderstoppet, er dette selv inngangspupillen( frontstopp); hvis helt foran, er det utgangspupillen (bakstopp).
hvis objektpunktet er uendelig fjernt, er alle stråler mottatt av det første elementet i systemet parallelle, og deres kryss, etter å ha krysset systemet, varierer i henhold til deres vinkelrette forekomsthøyde, dvs. deres avstand fra aksen. Denne avstanden erstatter vinkelen u i de foregående hensynene; og blenderåpningen, dvs. radius av inngangspupillen, er dens maksimale verdi.
Aberrasjon av grunnstoffer, dvs. minste objekter i rett vinkel mot aksenrediger
hvis stråler utgår Fra O (fig. 1) er samtidig, følger det ikke som peker i en del av et plan vinkelrett På o til aksen vil også være samtidig, selv om delen av flyet er svært liten. Etter hvert som linsens diameter øker (dvs. med økende blenderåpning), vil nabopunktet N bli reprodusert, men deltatt av avvik som er sammenlignbare i størrelse TIL ON. Disse avvikene unngås hvis, Ifølge Abbe, sinus tilstanden, sin u’1/sin u1=sin u’2/sin u2, holder for alle stråler som gjengir punktet O. Hvis objektpunktet O er uendelig fjernt, skal u1 og u2 erstattes av h1 og h2, de vinkelrette høyder av forekomst; sinus tilstanden blir da sin u’1/h1=sin u’2 / h2. Et system som oppfyller denne tilstanden og fri for sfærisk aberrasjon kalles aplanatisk (gresk a-, privativ, plann, en vandrende). Dette ordet ble først brukt Av Robert Blair for å karakterisere en overlegen akromatisme, og senere av mange forfattere for å betegne frihet fra sfærisk aberrasjon også.
siden aberrasjonen øker med avstanden til strålen fra midten av objektivet, øker aberrasjonen etter hvert som linsens diameter øker (eller tilsvarende med blenderens diameter), og dermed kan minimeres ved å redusere blenderåpningen, på bekostning av også å redusere mengden lys som når bildeplanet.
Aberrasjon av laterale objektpunkter (punkter utenfor aksen) med smale blyanter — astigmatismediit
et punkt O (fig. 2) på en endelig avstand fra aksen (eller med et uendelig fjernt objekt, et punkt som subtends en endelig vinkel på systemet) er generelt, selv da ikke skarpt gjengitt hvis blyanten av stråler som kommer fra den og krysser systemet, blir gjort uendelig smal ved å redusere blenderstoppet; en slik blyant består av strålene som kan passere fra objektpunktet gjennom den nå uendelig små inngangspupillen. Det ses (ignorerer unntakstilfeller) at blyanten ikke møter brytnings-eller reflekterende overflate i rette vinkler; derfor er det astigmatisk (Gr. a -, privative, stigmia, et punkt). Navngi den sentrale strålen som passerer gjennom inngangspupillen aksen til blyanten eller hovedstrålen, det kan sies: blyantens stråler skjærer, ikke på ett punkt, men i to fokallinjer, som kan antas å være vinkelrett på hovedstrålen; av disse ligger man i flyet som inneholder hovedstrålen og aksen til systemet, dvs. i den første hovedseksjonen eller meridional-delen, og den andre i rette vinkler mot den, dvs. i den andre hovedseksjonen eller sagittal-delen. Vi mottar derfor ikke i et enkelt avskjærende plan bak systemet, som for eksempel en fokuseringsskjerm, et bilde av objektpunktet; på den annen side er linjene O’ og O» i hver av to plan dannet separat (i naboplan er ellipser dannet) og i et plan Mellom O ‘og O» en sirkel med minst forvirring. Intervallet O ‘O», betegnet den astigmatiske forskjellen, øker generelt med vinkelen W laget Av hovedstrålen OP med systemets akse, dvs. med synsfeltet. To astigmatiske bildeflater svarer til ett objektplan; og disse er i kontakt ved aksepunktet; på den ene ligger fokallinjene av den første typen, på den andre av den andre. Systemer der de to astigmatiske overflatene sammenfaller kalles anastigmatisk eller stigmatisk.
Sir Isaac Newton var sannsynligvis oppdageren av astigmation; plasseringen av de astigmatiske bildelinjene ble bestemt Av Thomas Young; og teorien ble utviklet Av Allvar Gullstrand. En bibliografi av P. Culmann er gitt I Moritz von Rohrs Die Bilderzeugung in optischen Instrumentet.
Aberrasjon av laterale objektpunkter med brede blyanter — comaEdit
ved å åpne stoppet bredere, oppstår lignende avvik for laterale punkter som allerede er diskutert for aksiale punkter; men i dette tilfellet er de mye mer kompliserte. Strålenes forløp i den meridionale delen er ikke lenger symmetrisk til blyantens hovedstråle; og på et avskjærende plan vises det, i stedet for et lyspunkt, en lapp av lys, ikke symmetrisk om et punkt, og viser ofte likhet med en komet som har halen rettet mot eller bort fra aksen. Fra dette utseendet tar det navnet sitt. Den usymmetriske formen av meridional blyant-tidligere den eneste som anses-er koma i smalere forstand bare; andre feil i koma har blitt behandlet Av Arthur Kö Og Moritz von Rohr, og senere Av Allvar Gullstrand.
Krumning av bildets feltrediger
hvis de ovennevnte feilene elimineres, er de to astigmatiske overflatene forenet, og et skarpt bilde oppnådd med en bred blenderåpning—det er fortsatt nødvendig å korrigere krumningen av bildeflaten, spesielt når bildet skal mottas på en plan overflate, for eksempel i fotografering. I de fleste tilfeller er overflaten konkav mot systemet.
Forvrengning av bildetrediger
selv om bildet er skarpt, kan det bli forvrengt i forhold til ideell pinhullsprojeksjon. I pinhole projeksjon er forstørrelsen av et objekt omvendt proporsjonal med avstanden til kameraet langs den optiske aksen, slik at et kamera som peker direkte på en flat overflate gjengir den flate overflaten. Forvrengning kan betraktes som å strekke bildet ujevnt, eller ekvivalent, som en variasjon i forstørrelse over feltet. Mens «forvrengning» kan inkludere vilkårlig deformasjon av et bilde, er de mest uttalt forvrengningsmodusene som produseres av konvensjonell bildeoptikk «fatforvrengning», hvor midten av bildet forstørres mer enn omkretsen (figur 3a). Omvendt, hvor omkretsen er forstørret mer enn midten, er kjent som «pincushion forvrengning» (figur 3b). Denne effekten kalles linseforvrengning eller bildeforvrengning, og det er algoritmer for å korrigere det.
systemer uten forvrengning kalles ortoskopisk (orthos, høyre, skopein å se) eller rettlinjet (rette linjer).
denne aberrasjonen er ganske forskjellig fra reproduksjonens skarphet; i uskarp, reproduksjon, oppstår spørsmålet om forvrengning hvis bare deler av objektet kan gjenkjennes i figuren. Hvis det i et uskarpt bilde tilsvarer et objektpunkt, kan tyngdepunktet til lappen betraktes som bildepunktet, dette er punktet hvor flyet som mottar bildet, for eksempel en fokuseringsskjerm, skjærer strålen som går gjennom midten av stoppet. Denne antagelsen er berettiget hvis et dårlig bilde på fokuseringsskjermen forblir stasjonært når blenderåpningen er redusert; i praksis skjer dette vanligvis. Denne strålen, Oppkalt Av Abbe en hovedstråle (ikke å forveksle Med de Viktigste strålene I Gaussisk teori), passerer gjennom midten av inngangspupillen før den første brytningen, og midten av utgangspupillen etter den siste brytningen. Av dette følger at korrektheten av tegningen avhenger utelukkende av de viktigste stråler; og er uavhengig av skarphet eller krumning av bildefeltet. Med henvisning til fig. 4, vi HAR O ‘Q’ / OQ = a ‘tan w’/a tan w = 1 / N, Hvor N er skalaen eller forstørrelsen av bildet. For At N skal være konstant for alle verdier av w, må en’tan w’ /en tan w også være konstant. Hvis forholdet a’/a er tilstrekkelig konstant, som ofte er tilfelle, reduseres forholdet ovenfor Til Tilstanden Luftig, dvs. tan w’ / tan w= en konstant. Dette enkle forholdet (Se Camb. Phil. Trans., 1830, 3, s. 1) er oppfylt i alle systemer som er symmetriske med hensyn til deres membran (kort kalt symmetriske eller holosymmetriske mål), eller som består av to like, men forskjellige størrelser, komponenter, plassert fra membranen i forholdet mellom deres størrelse, og presenterer den samme krumningen til den (hemisymmetriske mål); i disse systemene tan w’ / tan w = 1.
konstansen av a’/a nødvendig for dette forholdet å holde ble påpekt Av R. H. Bow(Brit. Journ. Fotog., 1861), Og Thomas Sutton (Fotografiske Notater, 1862); det har blitt behandlet Av O. Lummer og Av M. von Rohr (Zeit. f. Instrumentenk., 1897, 17 og 1898, 18, s. 4). Det krever at midten av blenderstoppet gjengis i sentrene til inngangs-og utgangselever uten sfærisk aberrasjon. M. von Rohr viste at for systemer som oppfyller Verken Luftig eller Bue-Sutton-tilstanden, vil forholdet a ‘cos w’ / a tan w være konstant for en avstand av objektet. Denne kombinerte tilstanden er nøyaktig oppfylt av holosymmetriske mål som reproduserer med skalaen 1, og ved hemisymmetrisk, hvis reproduksjonsskalaen er lik forholdet mellom størrelsene til de to komponentene.
Zernike-modellen for aberrasjonrediger
Sirkulære bølgefrontprofiler assosiert med aberrasjoner kan modelleres matematisk Ved Hjelp Av zernike-polynomer. Utviklet Av Frits Zernike på 1930-tallet, Er zernikes polynomer ortogonale over en sirkel av enhetsradius. En kompleks, aberrert bølgefrontprofil kan være kurvemontert Med zernike-polynomer for å gi et sett med tilpasningskoeffisienter som individuelt representerer forskjellige typer avvik. Disse Zernike-koeffisientene er lineært uavhengige, og dermed kan individuelle aberrasjonsbidrag til en samlet bølgefront isoleres og kvantifiseres separat.
det er partall og oddetall zernike polynomer. De jevne Zernike-polynomene er definert som
Z n m (ρ, ϕ ) = r n m ( ρ ) cos ( m\,\phi) {\displaystyle Z_{n}^{m} (\rho, \phi )=r_{n}^{m} (\rho)\,\cos(m\, \ phi)\!}
Og de ulike zernike − polynomene som
Z n-m (ρ , ϕ ) = r n m ( ρ ) sin ( m\,\phi), {\displaystyle Z_{n}^{-m} (\rho, \phi )=r_{n}^{m} (\rho)\,\sin(m\, \ phi),\!}
hvor m og n er ikke-negative heltall med n ≥ m {\displaystyle n\geq m}
, Φ er den azimutale vinkelen i radianer, og ρ er den normaliserte radialavstanden. De radiale polynomene R n m {\displaystyle R_{n}^{m}}
har ingen azimutal avhengighet, og er definert Som r n m ( ρ ) = ∑ k = 0 ( nm ) / 2 (−1 ) k ( nk ) ! k ! ((n + m) / 2-k)! ((nm) / 2-k)! ρ n-2 k hvis n-m er jevn {\displaystyle r_{n}^{m} (\rho )=\!\sum _{k = 0}^{(nm)/2}\!\!\!{\frac {(-1)^{k}\, (nk)!{k!\,((n+m)/2-k)!\,((nm)/2-k)!}}\; \ rho ^{n-2\, k} \ quad {\mbox{if }} nm{\mbox{ er jevn}}}
og r n m ( ρ ) = 0 {\displaystyle r_{n}^{m} (\rho )=0}
hvis n − m {\displaystyle n-m}
er merkelig.
De første Få Zernike-polynomene, multiplisert med deres respektive tilpasningskoeffisienter, er:
en 0 × 1 {\displaystyle a_{0} \ ganger 1}
 |
«Stempel», lik den gjennomsnittlige verdien av bølgefronten |
en 1 × ρ cos (ϕ ) {\displaystyle a_{1}\times \rho \cos (\phi )}
 |
«X-Tilt», avviket fra den totale strålen i sagittalretningen |
en 2 × ρ sin (ϕ ) {\displaystyle a_{2}\times \rho \sin (\phi )}
 |
«Y-Tilt», avviket fra den totale strålen i tangentiell retning |
en 3 × (2 ρ 2 − 1 ) {\displaystyle a_{3} \ ganger(2 \ rho ^{2}-1)}
 |
«Defocus», en parabolisk bølgefront som følge av å være ute av fokus |
en 4 × ρ 2 cos (2 ϕ ) {\displaystyle a_{4}\ganger \rho ^{2}\cos (2 \ phi )}
 |
«0° Astigmatisme», en sylindrisk form langs x-eller y-aksen |
en 5 × ρ 2 synd (2 ϕ) {\displaystyle a_{5} \ ganger \ rho ^{2} \ sin(2 \ phi )}
 |
«45° Astigmatisme», en sylindrisk form orientert til ±45° fra X-aksen |
en 6 hryvnias (3 ρ 2-2 ) hryvnias cos ( ϕ ) {\displaystyle a_{6}\ganger (3\rho ^{2}-2)\rho \cos (\phi )}
 |
«X-Coma», comatic bilde fakling i horisontal retning |
en 7 × ( 3 ρ 2 − 2 ) ρ sin ( ϕ ) {\displaystyle a_{7} \ ganger (3 \ rho ^{2}-2) \ rho \ sin (\phi )}
 |
«Y-Coma», comatic bilde fakling i vertikal retning |
en 8 × (6 ρ 4 − 6 ρ 2 + 1 ) {\displaystyle a_{8} \ ganger (6 \ rho ^{4}-6\rho ^{2}+1)}
 |
«Tredje ordens sfærisk aberrasjon» |
hvor ρ {\displaystyle \ rho }
er den normaliserte elevradiusen med 0 ≤ ρ ≤ 1 {\displaystyle 0 \ leq \ rho \leq 1}
, ϕ {\displaystyle \phi }
er den azimutale vinkelen rundt eleven med 0 ≤ ϕ ≤ 2 π {\displaystyle 0\leq \phi \leq 2\pi }
, og tilpasningskoeffisientene a 0 , … , a 8 {\displaystyle a_{0},\ldots ,a_{8}}
er bølgefrontfeilene i bølgelengder.
Som I Fourier-syntese ved hjelp av sines og cosines, kan en bølgefront være perfekt representert av et tilstrekkelig stort antall høyere rekkefølge zernike-polynomer. Imidlertid er bølgefronter med svært bratte gradienter eller svært høy romlig frekvensstruktur, som produsert ved forplantning gjennom atmosfærisk turbulens eller aerodynamiske flowfields, ikke godt modellert Av Zernike-polynomer, som har en tendens til lavpassfilter fin romlig definisjon i bølgefronten. I dette tilfellet kan andre monteringsmetoder som fraktaler eller singular verdi dekomponering gi forbedrede monteringsresultater.
sirkelpolynomene ble introdusert Av Frits Zernike for å evaluere punktbildet av et aberrert optisk system med hensyn til effekten av diffraksjon. Det perfekte punktbildet i nærvær av diffraksjon hadde allerede blitt beskrevet Av Airy, så tidlig som 1835. Det tok nesten hundre år å komme fram til en omfattende teori og modellering av punktbildet av aberrerte systemer (Zernike og Nijboer). Analysen av Nijboer og Zernike beskriver intensitetsfordelingen nær det optimale fokusplanet. En utvidet teori som tillater beregning av punktbildets amplitude og intensitet over et mye større volum i fokusområdet ble nylig utviklet (Utvidet Nijboer-Zernike-teori). Denne Utvidede Nijboer-Zernike-teorien om punktbilde eller’ punktspredningsfunksjon ‘ -formasjon har funnet applikasjoner innen generell forskning på bildedannelse, spesielt for systemer med høy numerisk blenderåpning, og i å karakterisere optiske systemer med hensyn til deres avvik.