Seksdimensjonalt rom

Transformasjoner i tredimensjonalrediger

i tredimensjonalt rom har en stiv transformasjon seks frihetsgrader, tre oversettelser langs de tre koordinataksene og TRE fra rotasjonsgruppen SO(3). Ofte håndteres disse transformasjonene separat da de har svært forskjellige geometriske strukturer, men det finnes måter å håndtere dem som behandler dem som et enkelt seksdimensjonalt objekt.

Skruteorienrediger

i skrue teori vinkel og lineær hastighet er kombinert i en seks-dimensjonal objekt, kalt en vri. Et lignende objekt kalt en skiftenøkkel kombinerer krefter og momenter i seks dimensjoner. Disse kan behandles som seks-dimensjonale vektorer som transformerer lineært når du endrer referanseramme. Oversettelser og rotasjoner kan ikke gjøres på denne måten, men er relatert til en vri ved eksponering.

Faseavstandrediger

Faserom Er et rom som består av posisjonen og momentumet til en partikkel, som kan plottes sammen i et fasediagram for å markere forholdet mellom mengdene. En generell partikkel som beveger seg i tre dimensjoner har et faserom med seks dimensjoner, for mange til å plotte, men de kan analyseres matematisk.

Rotasjoner i fire dimensjonerrediger

rotasjonsgruppen i fire dimensjoner, SO(4), har seks frihetsgrader. Dette kan ses ved å vurdere 4 × 4 matrisen som representerer en rotasjon: da det er en ortogonal matrise, bestemmes matrisen, opp til en endring i tegn, for eksempel av de seks elementene over hoveddiagonalen. Men denne gruppen er ikke lineær, og den har en mer kompleks struktur enn andre applikasjoner sett så langt.

En annen måte å se på denne gruppen er med quaternion multiplikasjon. Hver rotasjon i fire dimensjoner kan oppnås ved å multiplisere med et par enhetskvaternioner, en før og en etter vektoren. Disse quaternion er unike, opp til en endring i tegn for begge, og genererer alle rotasjoner når de brukes på denne måten, så produktet Av deres grupper, S3 × S3, er et dobbelt deksel AV SO (4), som må ha seks dimensjoner.

selv om rommet vi lever i betraktes som tredimensjonalt, er det praktiske anvendelser for firedimensjonalt rom. Quaternions, en av måtene å beskrive rotasjoner i tre dimensjoner, består av et firedimensjonalt rom. Rotasjoner mellom kvaternioner, for interpolering, for eksempel, finner sted i fire dimensjoner. Spacetime, som har tre romdimensjoner og en tidsdimensjon, er også firedimensjonal, men med en annen struktur Til Euklidisk rom.

Elektromagnetismedit

i elektromagnetisme er det elektromagnetiske feltet generelt tenkt som å være laget av to ting, det elektriske feltet og magnetfeltet. De er begge tredimensjonale vektorfelt, relatert Til Hverandre Av Maxwells ligninger. En annen tilnærming er å kombinere dem i et enkelt objekt, den seks-dimensjonale elektromagnetiske tensor, en tensor eller bivektor verdsatt representasjon av det elektromagnetiske feltet. Ved hjelp Av Denne Maxwells ligninger kan kondenseres fra fire ligninger til en spesielt kompakt enkeltligning:

∂ F = J {\displaystyle \ partial \ mathbf {F} = \ mathbf {J}\,}

Hvor F er bivektorformen til den elektromagnetiske tensoren, J er firestrømmen og ∂ er en egnet differensialoperatør.

Strengteorirediger

i fysikken er strengteori et forsøk på å beskrive generell relativitet og kvantemekanikk med en enkelt matematisk modell. Selv om det er et forsøk på å modellere vårt univers, foregår det i et rom med flere dimensjoner enn de fire spacetime som vi er kjent med. Spesielt finner en rekke strengteorier sted i et ti-dimensjonalt rom, og legger til ekstra seks dimensjoner. Disse ekstra dimensjonene kreves av teorien, men som de ikke kan observeres antas å være ganske forskjellige, kanskje komprimeres for å danne et seksdimensjonalt rom med en bestemt geometri for liten til å være observerbar.

siden 1997 har en annen strengteori kommet frem i lyset som fungerer i seks dimensjoner. Små strengteorier er ikke-gravitasjonelle strengteorier i fem og seks dimensjoner som oppstår når man vurderer grenser for ti-dimensjonal strengteori.