Deviatorische stress en invarianten
gepost door: Pantelis Liolios / Sept. 16, 2020
de spanningssensor kan worden uitgedrukt als de som van twee spanningssensoren, namelijk: de hydrostatische spanningssensor en de deviatorische spanningssensor. In dit artikel zullen we het hydrostatische en deviatorische deel van de stress tensor definiëren en de invarianten van de stress deviator tensor berekenen. De invarianten van de deviatorische stress worden vaak gebruikt in faalcriteria.
beschouw een spanningssensor \ (\sigma_{ij} \) die op een lichaam inwerkt. Het gestresste lichaam heeft de neiging om zowel het volume als de vorm te veranderen. Het deel van de spanningssensor dat de neiging heeft om het volume van het lichaam te veranderen, wordt de gemiddelde hydrostatische spanningssensor of de volumetrische spanningssensor genoemd. Het deel dat de neiging heeft om het lichaam te vervormen heet stress deviator tensor. Daarom kan de spanningssensor uitgedrukt worden als:
waar \( \delta_{ij} \) is de Kronecker delta (met \( \delta_{ij}=1 \) als \( i=j \) en \( \delta_{ij}=0 \) als \ i\neq j \) ), \( p \) is de gemiddelde stress gegeven door:
waar \( I_{1} \) is de eerste invariant van de stress tensor (zie ook: Belangrijkste spanningen en stress invarianten). Het product \ (p\delta_{ij} \) is de hydrostatische spanningssensor en bevat alleen normale spanningen. De deviatorische spanningssensor kan worden verkregen door de hydrostatische spanningssensor af te trekken van de spanningssensor.:
om de invarianten van de spanningsdeviator tensor te berekenen zullen we dezelfde procedure volgen als in het artikel Principal stresss and stress invariants. Vermeld moet worden dat de hoofdrichtingen van de spanningsdeviator tensor samenvallen met de hoofdrichtingen van de spanningssensor. De karakteristieke vergelijking voor \ (s_{ij} \) is:
waar \ (J_{1}\), \ (J_{2} \) en \ (J_{3} \) respectievelijk de eerste, tweede en derde deviatorische spanningsinvarianten zijn. De wortels van de veelterm zijn de drie belangrijkste deviatorische spanningen \( s_{1} \), \( s_{2} \) en \( s_{3} \). \ (J_{1}\), \ (J_{2} \) en \ (J_{3} \) kunnen worden berekend met de volgende uitdrukkingen:
waar \( I_{1} \), \( I_{2} \) en \( I_{3} \) zijn de drie invarianten van de stress tensor en \( \det(s_{ij}) \) is de determinant van \( s_{ij} \). Vermeldenswaard is dat sinds \ (J_{1} = s_{kk} = 0 \), de spanningsafwijkende tensor een toestand van zuivere afschuiving beschrijft.
voorbeeld
Bereken de spanningsdeviator tensor en zijn invarianten voor de volgende spanningssensor:
Toon oplossing…
eerst berekenen we de gemiddelde druk \ (p \):
uit Vergelijking (3) berekenen we de spanningsdeviator tensor:
voor de stress deviator tensor invarianten zullen we vergelijkingen (5) gebruiken en we krijgen:
tenslotte is de karakteristieke vergelijking:
Tags: algebra| eigenwaarden| invarianten| mechanica| tensoren