belangrijke resultaten van de functionaalanalyse zijn onder meer:
uniform boundedness principleEdit
de stelling van Banach–Steinhaus is een van de fundamentele resultaten in de functionaalanalyse. Samen met de stelling van Hahn–Banach en de open mapping stelling wordt het beschouwd als een van de hoekstenen van het veld. In zijn basisvorm stelt het dat Voor een familie van continue lineaire operatoren (en dus begrensde operatoren) waarvan het domein een Banachruimte is, puntsgewijze boundedness gelijk is aan uniforme boundedness in operator norm.De stelling werd voor het eerst gepubliceerd in 1927 door Stefan Banach en Hugo Steinhaus, maar werd ook onafhankelijk van elkaar bewezen door Hans Hahn.
Stelling (Uniform Boundedness Principle). Zij X een Banachruimte en Y een genormeerde vectorruimte. Stel dat F een verzameling van continue lineaire operatoren van X tot Y is. Als voor alle x in X één
sup T ∈ F ‖ T ( x ) ‖ Y <∞, {\displaystyle \ sup \nolimits _{t\in F}\ / T (x)\|_{Y}<\infty,}
daarna
sup T ∈ F T T B B (X , Y ) < ∞ . {\displaystyle \ sup \ nolimits _{T\in F} \ / T\/ _ {B (X,Y)}<\infty .}
spectrale theoredit
er zijn veel stellingen bekend als de spectrale stelling, maar één in het bijzonder heeft veel toepassingen in de functionaalanalyse.
stelling: laat A een begrensde zelf-adjoint operator zijn op een Hilbertruimte H. dan is er een maatruimte (X, Σ, μ) en een reëel-gewaardeerde wezenlijk begrensde meetbare functie f op X en een unitaire operator U:H → L2µ (X) zodanig dat
U ∗ T U = a {\displaystyle u^{ * } TU = A\;}
waarbij T de vermenigvuldigingsoperator is:
(x) = f ( x) φ ( x). {\displaystyle (x) = f(x)\varphi (x).\;}
en ‖ T ‖ = ‖ f ∞ ∞ {\displaystyle \ / T\| = \|f\ / _{\infty }}
Dit is het begin van het enorme onderzoeksgebied van functionele analyse genaamd operatortheorie; zie ook de spectrale maat.
er is ook een analoge spectrale stelling voor begrensde normale operatoren op Hilbertruimten. Het enige verschil in de conclusie is dat nu f {\displaystyle f}
kan complex zijn.
stelling van Hahn–Banachdit
de stelling van Hahn-Banach is een centraal instrument in de functionaalanalyse. Het staat de uitbreiding toe van begrensde lineaire functionalen gedefinieerd op een subruimte van een bepaalde vectorruimte naar de gehele ruimte, en het laat ook zien dat er “genoeg” continue lineaire functionalen gedefinieerd zijn op elke genormeerde vectorruimte om de studie van de dubbele ruimte “interessant”te maken.Stelling van Hahn-Banach: als p: V → R een sublineaire functie is, en φ: U → R is een lineaire functie op een lineaire subruimte U V V die wordt gedomineerd door p op U, d.w.z.
φ ( x ) ≤ p ( x ) ∀ x ∈ R {\displaystyle \varphi (x)\leq p(x)\qquad \forall x\in U}
dan bestaat er een lineaire extensie ψ : V → R van φ de hele ruimte V, i.e., er bestaat een lineaire functionele zodanig dat ψ
ψ ( x ) = φ ( x ) ∀ x ∈ U , {\displaystyle \psi (x)=\varphi (x)\qquad \forall x\in U,}
ψ ( x ) ≤ p ( x ) ∀ x ∈ V . {\displaystyle\psi (x) \ leq p(x) \ qquad \ forall x\in V.}
open mapping theoremdit
de open mapping theorem, ook bekend als de stelling van Banach–Schauder (vernoemd naar Stefan Banach en Juliusz Schauder), is een fundamenteel resultaat dat stelt dat als een continue lineaire operator tussen Banach-ruimten surjectief dan is het een open kaart. Om precies te zijn:
open mapping theorem. Als X en Y Banachruimten zijn en A: X → Y is een surjectieve continue lineaire operator, dan is A een open kaart (d.w.z. Als U een open verzameling is in X, dan is A(U) open in Y).
het bewijs gebruikt de categoriestelling van Baire, en de volledigheid van zowel X als Y is essentieel voor de stelling. De stelling is niet langer waar als wordt aangenomen dat een van beide ruimte gewoon een genormeerde ruimte is, maar is waar als X en Y worden genomen om Fréchet-ruimten te zijn.
Closed graph theoredit
de closed graph theorem stelt het volgende vast:Als X een topologische ruimte is en Y een compacte Hausdorff-ruimte, dan is de grafiek van een lineaire afbeelding T van X naar Y alleen dan gesloten als T continu is.