Chezy en Manning ontwikkelden vergelijkingen die worden gebruikt om het gemiddelde volumetrische debiet in open kanalen te bepalen. Dit artikel legt een laboratoriummethode uit die werd ontwikkeld en getest om de parameters die deel uitmaken van de ruwheidscoëfficiënten van deze vergelijkingen verder te identificeren en te kwantificeren. Deze methode maakt gebruik van een hydraulische goot, en maakt gebruik van de techniek van dimensionale homogeniteit en een nieuwe exponentiële vorm van een vergelijking voor instrumentkalibratie.Het nauwkeurig meten van gemiddelde snelheden in kanalen of duikers met oppervlakken die open staan voor de atmosfeer is al eeuwenlang een uitdaging. Hoe groter het gebied van de doorstroomdoorsnede, hoe groter de onnauwkeurigheid of onzekerheid van de meting.
open-kanaalstroom wordt bepaald door de verhouding Froude, de verhouding tussen traagheidskrachten en gravitatiekrachten. Zo werd al vroeg in de geschiedenis van de hydraulica erkend dat de formule voor een dergelijke gemiddelde snelheid een evenwicht zou moeten zijn tussen de zwaartekracht, die de stroming veroorzaakt, en de ruwheid van het kanaal, om de stroming te vertragen. Er werd ook erkend dat een dergelijke formule zou moeten zijn voor uniforme stroom, dat wil zeggen, voor steady state stroom, zodanig dat de waterdiepte ten opzichte van de bodem van de waterweg is een constante, of d(y)/dx = 0.
opgemerkt wordt dat in leiding-of drukstroom het woord uniform een andere betekenis heeft. In die toepassing betekent dit dat het snelheidsprofiel een constante snelheid heeft over de gehele doorsnede. Aan de andere kant, open-channel hydraulica heeft geen woord voor constante snelheid over een dwarsdoorsnede. In dit artikel betekent “normaal” de eerste van deze twee definities, dat wil zeggen, steady state en constant depth. Alle eenheden in dit artikel zijn technische eenheden zoals gewoonlijk gebruikt in de Amerikaanse vergelijkingen
ontwikkeld door Chezy en Manning
de eerste erkende en meest blijvende “weerstand” formule voor steady state, open-channel flow wordt toegeschreven aan Antoine Chezy. Hij werd belast met het bepalen van de dwarsdoorsnede en het berekenen van de lozing van de Parijse watervoorziening, en het verhogen van de stroomsnelheid. Hij deed dit in 1768 door de stromingsomstandigheden te vergelijken tussen twee waterlopen, het Courpaletkanaal en de Seine. Zijn resulterende formule werd gepubliceerd in zijn rapport over het Canal de l ‘ Yvette als:
Vavg = C x R1 / 2 x S1 / 2
waarbij Vavg de gemiddelde snelheid in voet per seconde is; C De debietweerstandfactor van Chezy in voet1 / 2 / sec; R De hydraulische straal (de dwarsdoorsnede gedeeld door de bevochtigde omtrek) in voet; en S De Helling is, die dimensieloos is. Echter, Chezy ‘ s werk kreeg weinig aandacht tot vele jaren na zijn dood.In 1889 presenteerde een Ier genaamd Robert Manning, die hoofdingenieur was van het Ierse Office of Public Works, een artikel getiteld “On the Flow of Water in Open Channels and Pipes.”Hoewel zijn voornaamste interesse hydrologie lijkt te zijn geweest, ontleende hij een gemiddelde” weerstand ” formule voor open kanalen uit alle verschillende resistentieformules gepubliceerd tot die tijd. In het huidige formaat is deze vergelijking, die we vergelijking 1 noemen voor toekomstige referentie,:
Vavg = (1.486 / n) x R2/3 X S1/2
waarbij n de ruwheidscoëfficiënt van Manning is, die numeriek gelijk is in Amerikaanse of metrische dimensionale systemen. In het Amerikaanse systeem heeft het eenheden van second / feet1 / 3. Bij gebruik van metrische eenheden wordt de 1.486 vervangen door 1.0 en zijn eenheden zijn tweede / meter1 / 3.Manning ‘ s vergelijking is de meest succesvolle van alle open-channel empirische vergelijkingen, gebaseerd op de weerstand tegen stroming en afgeleid van observatie. In feite is het niet overdreven om te zeggen dat het de hoeksteen is van de huidige wetenschap van de waterbouwkunde.
in de klassieke zin hebben de vergelijkingen van Chezy en Manning echter een aantal soortgelijke tekortkomingen. Ten eerste hebben ze geen dimensionale homogeniteit, dat wil zeggen dat de eenheden aan de linkerkant niet hetzelfde zijn als de eenheden aan de rechterkant. Dergelijke vergelijkingen worden meestal afgeleid door experimenten of observatie en verliezen snel nauwkeurigheid als ze buiten hun waarnemingsbereik worden geëxtrapoleerd. Het is bekend dat Manning ‘ s vergelijking de nauwkeurigheid verliest met zeer steile of ondiepe hellingen. Ten tweede, om dimensionale homogeniteit te bereiken, zijn hun constanten of coëfficiënten geen zuivere getallen, maar kunstmatig toegewezen eenheden.
bovendien suggereert de vergelijking van Manning dat de gemiddelde snelheid gevoeliger is voor de hydraulische straal dan voor de helling. Dit is echt een incompatibiliteit, omdat de aard van de open-kanaalstroom een functie is van de hellingscomponent van de zwaartekracht. De vorm van de waterdoorgang, zoals berekend door de hydraulische straal, heeft wel een effect op de absolute ruwheid, maar is geen primair effect op de gemiddelde snelheid zelf. Hoe lager de hydraulische radiusverhouding, hoe groter het percentage van de stroom dat in contact komt met de ruwheid van de grenzen.
bovendien is de aard van de vergelijkingen een contradictie. De vergelijkingen beschrijven een gemiddelde snelheid die bestaat bij een dwarsdoorsnede loodrecht op de stroom. Een dergelijke doorsnede heeft een infinitesimale dikte in de richting van de stroom, terwijl de vergelijkingen afhankelijk zijn van coëfficiënten die worden aangeduid als “ruwheidscoëfficiënten.”Maar het effect van een dergelijke ruwheid heeft een eindige lengte nodig om te bestaan-het kan geen effect hebben over een infinitesimale dikte. Dit betekent dat de ruwheid zelf moet werken op een andere parameter die kan bestaan over een infinitesimale lengte om de stroomsnelheid te vertragen.
theorie achter een laboratoriumexperiment
de nauwkeurigheid van de vergelijkingen van Chezy en Manning hangt af van de selectie van hun individuele ruwheidscoëfficiënten. Dit wordt meestal gedaan door vergelijking met bekende soortgelijke stromen of uit een naslagwerk van foto ‘ s van stromen. Echter, in het artikel getiteld “dimensioneel homogene vorm van de Chezy en Manning vergelijkingen,” gepubliceerd door Hydro Review in April 2014, Ik stelde een nieuwe experimentele methode voor het bepalen van de samenstellende delen die deze ruwheidscoëfficiënten omvatten.
om de techniek aan te tonen, presenteerde ik aan een graduate class in Renewable Energy Engineering, ingeschreven in de Hydraulic Laboratory course aan het Oregon Institute of Technology (OIT) in Wilsonville, Oregon, een experiment om de componenten van de ruwheidscoëfficiënten te identificeren en te kwantificeren. Dit experiment zou zich concentreren op de vergelijking van Manning, en was gebaseerd op het principe van dimensionale homogeniteit. De OIT afgestudeerde studenten die deelnamen aan dit laboratorium experiment waren Joshua Couch, Cole Harrington, Karissa Hilsinger, Tai Huynh, Krystal Locke, William Perreira, Cullen Ryan, Pauloi Santos Vasconcelos Jr., Anurak Sitthiwong, en Asmitha Velivela.
eerst werden twee parameters gevormd: Hv / S en R. Hv staat voor de snelheidskop, dat wil zeggen Hv = (α X Vavg2) / (2 x g), waarbij α de snelheidskopcorrectiefactor of de Coriolisfactor wordt genoemd. Deze vermenigvuldigingsfactor is de extra energie die aanwezig is in een open-oppervlakte-of een gesloten-drukstroom wanneer een snelheidsprofiel niet constant is over een dwarsdoorsnede. Dit komt omdat vloeibare energie een functie is van het kwadraat van de snelheid, en de som van de kwadraten in elke vloeistofstroombuis groter is dan het kwadraat van de som van de snelheden in elke stroombuis.
numeriek is α altijd gelijk aan of groter dan één en is dimensieloos. De helling of s had aan beide parametrische zijde kunnen verschijnen, maar werd toegewezen aan de Hv parameter, omdat er in de hydraulica meer dan voldoende bewijs is dat de gemiddelde snelheid een functie is van de vierkantswortel van de helling, dat wil zeggen, Vavg ≈ S1/2. Dan, werd een laboratoriumexperiment ontworpen dat gegevens zou toelaten om worden verkregen en als Hv/S versus R worden uitgezet, die beide eenheden van voeten hebben. Daarom moet elke resulterende experimentele vergelijking dimensionale homogeniteit hebben.
de eenheden Hv, uit de vergelijking van Bernoulli, zijn foot-pounds per pound of “specifieke energie”, maar zijn nog steeds homogeen met R, die eenheden van voeten heeft. Opgemerkt moet worden dat naarmate R groter wordt, de bevochtigde omtrek (P) kleiner wordt ten opzichte van het gebied (A). Dit betekent dat de wrijvingsweerstand tegen stroom kleiner moet worden, en daarom moet de gemiddelde snelheid groter worden. Met andere woorden, een lineaire relatie tussen Hv/S en R moet een positieve helling hebben.
testapparatuur
een kleine laboratoriumgoot met kantelbaar bed en een recirculatiepomp voor zwembaden, die een student het voorafgaande semester gemakkelijk had gebouwd, werd voor gebruik aangepast. Het was onmiddellijk duidelijk dat het meten van de correctiefactor van de snelheidskop in zo ‘ n kleine goot onmogelijk zou zijn. Het beste alternatief was om alleen de helling, de gemiddelde snelheid en de waterdiepte te meten voor een kritische en uniforme stroming.
bij kritische stroming, waarbij het getal Froude gelijk is aan 1, wordt voor een bepaalde hoeveelheid bewegende vloeistof de minste hydraulische energie opgenomen. Bijgevolg mag er geen extra energie beschikbaar zijn om een niet-constant snelheidsprofiel te vormen en moet de snelheidskopcorrectiefactor in de buurt van één zijn. Bovendien moest, omdat de goot kort was, de energie in de vloeistof die in de goot terecht kwam, worden afgestemd op het gewenste energieniveau voor een bepaalde stroomsnelheid in de goot, zodat onmiddellijk een gelijkmatige of constante stroom kon worden bereikt.
het was niet mogelijk de zwembadpomp zo fijn af te stellen. Daarom koos het team van onderzoekers ervoor om een tweede watertank in te brengen, de pomp in die tank te laten lozen en vervolgens voorzichtig vanuit die tank in de goot te sifon. Een sonische debietmeter verbonden met de slang tussen de tank en de goot gaf de volumetrische debiet. Het kostte een aanzienlijke hoeveelheid tijd en moeite om alles in balans te krijgen voor een enkel gegevenspunt van steady state, uniform en kritische stroming in zo ‘ n kleine goot. Uiteindelijk werden echter drie gegevenspunten verzameld, die voldoende waren om deze methode van gegevensanalyse aan te tonen (tabellen 1 en 2).
Tabel 1. Deze tabel toont gegevens verzameld tijdens drie open-channel experimenten uitgevoerd in het lab met behulp van een goot. Bron: Lee H. Sheldon, PE
Tabel 2. Deze tabel toont gegevens verzameld tijdens drie open-channel experimenten uitgevoerd in het lab met behulp van een goot. Bron: Lee H. Sheldon, PE
benadrukt wordt dat deze gegevenspunten qua volumetrische debiet zeer uiteen liggen. De reden hiervoor is dat een 5 inch brede goot, die zowel voor uniforme als voor kritische stromen wordt gebruikt, geen grote variabiliteit van de stroming mogelijk maakte. Ook werd dit experiment uitgevoerd in een zeer gladde plexiglas goot waar de n van de Manning werd gemeten als slechts 0,009, terwijl 0,012 de meest gladde waarde is in de gepubliceerde tabel van prototype waterkanalen. Daarom moeten alle numerieke resultaten worden beschouwd als alleen van toepassing op dit zeer smalle hydraulische regime.
er wordt echter ook op gewezen dat het doel van dit laboratoriumexperiment slechts was aan te tonen of deze methode in toekomstig, uitgebreider onderzoek kon worden gebruikt om meer inzicht en nauwkeurigheid te verschaffen in de samenstelling van de componenten van Chezy ’s en in het bijzonder Manning’ s vergelijkingen.
Data Reduction Technique
het plotten van deze drie datapunten gebeurde op dezelfde manier als de instrumentkalibratievergelijking beschreven in een artikel dat ik schreef met de titel “A New Calibration Equation for the Winter-Kennedy Piezometer System,” dat gepubliceerd werd door Hydro Review in oktober 2013. Deze methode levert een kalibratievergelijking direct in exponentiële vorm voor een gemakkelijke vergelijking met de veelgebruikte open-kanaalvergelijkingen, dat wil zeggen, log10(Hv/S) werd uitgezet als de ordinaat of y-as en log10R werd uitgezet als de abscis of x-as (figuur 1).
1. Deze grafiek toont de modelgoot bij kritische en gelijkmatige stroming. Bron: Lee H. Sheldon, PE –
Deze punten nauw benadering op een rechte lijn en leverde een vergelijking van de vorm: y = mx + b.
log10(Hv/S) = mlog10R + b = log10(Rm) + b
het Verhogen van beide zijden van de vergelijking als machten van 10 levert:
10^(log10Hv/S) = 10^(log10Rm + b) = 10b x 10^(log10Rm)
Vervolgens, door logaritmische identiteit:
Hv/S = 10b x Rm
of
Hv = 10b x S x Rm
Vervangen voor Hv-resultaten in:
aVavg2/2g = 10b x S x Rm
Herschikken van termen geeft:
Vavg = (2g10b/α)1/2 x S1/2 x Rm/2
Vervangen door numerieke waarden van m = 0.7497 en b = 1.7328 uit Figuur 1 biedt:
Vavg = (2g x 101.7328/α)1/2 x S1/2 x (R0.7497)1/2
opgemerkt wordt dat de richtingscoëfficiënt (m) is positief als eerder voorspeld. Daarom:
Vavg =(108.1011 g/α)1/2 x S1/2 x R0.3749
resulterend in de volgende vergelijking, die we vergelijking 2 noemen voor toekomstige referentie:
Vavg = 10.3972 (gS/α)1/2 x R3/8
in deze vorm bevat de open-kanaalvergelijking alleen parameters die kunnen worden bepaald over een oneindig dunne doorsnede. Vergelijking 2 Met vergelijking 1 geeft inzicht in de relaties van de parameters in de vergelijking van Manning.
Vavg = 10.3972 x (gS/α)1/2 x R3/8 = (1.486/n) x R2/3 x S1/2
Nu, het gelijkstellen van de twee expressies en het annuleren van de S1/2 voorwaarden:
10.3972 x (g/α)1/2 x R3/8 = (1.486/n) x R2/3
het Combineren van de R-termen, resulteert in:
10.3972 x (g/α)1/2 = (1.486 / n) x R7/24
wat resulteert in het volgende, wat we vergelijking 3 noemen voor toekomstige referentie:
= 0,1429 x (α/g)1/2 x R7/24
opgemerkt wordt dat Vergelijking 2 geen exacte dimensionale homogeniteit heeft. Het verwaarlozen van de waarden van numerieke coëfficiënten, als de exponent van R was 4/8 in plaats van 3/8, en met de opname van eenheden voor g (gravitationele versnelling), zou het exacte homogeniteit hebben gehad. Los daarvan wordt opgemerkt dat de eenheden van n in vergelijking 1 historisch kunstmatig zijn toegewezen als Seconden/feet1/3 of seconden/feet8/24 om de dimensionale homogeniteit van de vergelijking van Manning te hebben. In vergelijking 3, nu ook met eenheden voor g, n heeft eenheden van seconden / feet5 / 24.
men gaat ervan uit dat deze twee verschillen in de vergelijking van Manning en Manning ‘ s n het gevolg kunnen zijn van de onzekerheid of onnauwkeurigheid van de gegevensmeting in de beperkte testgoot waarover de leerlingen beschikken. Daarom wordt nogmaals benadrukt dat de uiteindelijke numerieke resultaten van dit experiment waarschijnlijk een zekere mate van onzekerheid hebben, maar de methode om de vergelijking van Manning nauwkeuriger te kwantificeren is duidelijk aangetoond.
de term S (g) is de helling maal zwaartekrachtversnelling. Als de helling, d (y)/dx, groter wordt, is er een grotere gravitatiekracht die de stroom versnelt.
zoals eerder vermeld, is de vergelijking van Manning een gemiddelde van alle open-kanaalvergelijkingen gepubliceerd vóór 1889. Het feit dat het effect van de velocity head correction factor niet is opgenomen, is heel begrijpelijk. Pas in 1877 werd de Coriolis velocity head correction factor herkend als een variabele en niet als een constante.
de relaties van vergelijking 2 tonen aan dat Manning ‘ s n een metriek is voor de snelheidskopcorrectiefactor, dat wil zeggen dat n evenredig is met α1/2. Theoretisch, als n wordt verdubbeld, de snelheid kop correctie factor wordt verviervoudigd en de gemiddelde snelheid wordt gehalveerd. Dit is het mechanisme waardoor de ruwheid van de vloeistofgrenzen de stromingssnelheid over een infinitesimaal dunne doorsnede remt.
zoals opgemerkt wordt de n van Manning rechtstreeks beïnvloed door de hydraulische radius (R7/24). Hieruit blijkt wel dat het selecteren van de n van een bemanning niet alleen een functie is van de ruwheid, maar van de dwarsdoorsnede van de waterloop. Het feit dat kanalen enige verschillen kunnen vertonen in Manning ‘ s n vanwege hun vorm alleen, evenals hun ruwheid, is eerder gedocumenteerd in andere literatuur.In een artikel getiteld “Determination of Rugosity Coefficient for Lined and Unlined Channels”, gepubliceerd door het Karnataka Engineering Research Station in India, staat: “Flow in channels is complicated by the fact that the form of ruwheid elements and vandaar de weerstand tegen flow zijn functions of the characteristics of channel shape and alignment. Deze factoren vormen de coëfficiënt van rugositeit of de ruwheidscoëfficiënt.”De reden, zoals eerder vermeld, is hoe kleiner de hydraulische straal, hoe groter het relatieve percentage van het debiet dat in direct contact met de gegeven absolute ruwheid van de grens. Hoe groter de weerstand die de grens oplegt om het volumetrische debiet te vertragen, des te ongelijkmatiger wordt het snelheidsprofiel, zoals berekend door α. Dus, hoe kleiner de hydraulische radius, hoe groter het energieverlies. Omgekeerd, hoe groter de hydraulische radius, hoe meer de snelheid profiel neigt uniform over de dwarsdoorsnede. Toevallig is Chezy ‘ S C omgekeerd evenredig met R1 / 8.
de door Chezy en Manning ontwikkelde vergelijkingen kunnen zeer eenvoudig lijken; zij vertegenwoordigen echter complexe interacties van hydraulische parameters van vloeistoffen in open kanalen. Het experimentele proces dat in dit artikel wordt gepresenteerd, kan worden gebruikt om deze interacties te bestuderen. Het gebruik van deze experimentele methode, op de zeer beperkte en smalle basis hierboven beschreven, suggereert dat het verschil tussen Chezy ’s en Manning’ s vergelijkingen misschien niet zo groot als het lijkt. Het werkelijke verschil kan meer zijn in de mate van afhankelijkheid die elke coëfficiënt van stroomweerstand heeft op de snelheidskop correctiefactor en de hydraulische straal.
—Lee H. Sheldon, PE is een waterkrachttechnicus met 50 jaar ervaring. Hij publiceerde 33 technische papers en een college leerboek over waterkracht engineering, en heeft gewerkt aan elk federaal hydro-elektrische project in de Pacific Northwest, onder anderen. Hij was vroeger professor aan de OIT, waar hij waterkrachttechniek en vloeistofmechanica doceerde.