in een perfect optisch systeem in de klassieke optica verenigen lichtstralen die van elk objectpunt uitgaan zich in een beeldpunt en daarom wordt de objectruimte gereproduceerd in een beeldruimte. De introductie van eenvoudige hulptermen, te wijten aan Gauss, genaamd de brandpuntsafstanden en brandpuntsvlakken, maakt de bepaling van het beeld van een object voor elk systeem. De Gaussiaanse theorie is echter slechts waar zolang de hoeken gemaakt door alle stralen met de optische as (de symmetrische as van het systeem) oneindig klein zijn, dat wil zeggen met oneindig kleine objecten, beelden en lenzen; in de praktijk kunnen deze voorwaarden niet worden gerealiseerd, en de beelden geprojecteerd door ongecorrigeerde systemen zijn in het algemeen slecht gedefinieerd en vaak wazig als de opening of het gezichtsveld bepaalde grenzen overschrijdt.Het onderzoek van James Clerk Maxwell en Ernst Abbe toonde aan dat de eigenschappen van deze reproducties, d.w.z. de relatieve positie en grootte van de beelden, zijn geen speciale eigenschappen van optische systemen, maar noodzakelijke gevolgen van de veronderstelling (per Abbe) van de reproductie van alle punten van een ruimte in beeldpunten, en zijn onafhankelijk van de manier waarop de reproductie plaatsvindt. Deze auteurs toonden echter aan dat geen enkel optisch systeem deze veronderstellingen kan rechtvaardigen, omdat ze tegenstrijdig zijn met de fundamentele wetten van reflectie en breking. Bijgevolg biedt de Gaussiaanse theorie alleen een handige methode om de werkelijkheid te benaderen; realistische optische systemen schieten tekort bij dit onbereikbare ideaal. Op dit moment is alles wat kan worden bereikt de projectie van een enkel vlak op een ander vlak; maar zelfs in deze, aberraties vindt altijd plaats en het kan onwaarschijnlijk zijn dat deze ooit volledig zal worden gecorrigeerd.
aberratie van axiale punten (sferische aberratie in beperkte zin)bewerken
laten S (vijg. 1) zijn elk optisch systeem, stralen die van een as punt O onder een hoek U1 zal verenigen in de as punt O ‘ 1; en die onder een hoek u2 in het aspunt O ‘ 2. Als er breking is op een collectief bolvormig oppervlak, of door een dunne positieve lens, ligt O ‘2 voor O’ 1 zolang de hoek u2 groter is dan u1( onder correctie); en omgekeerd met een dispersief oppervlak of lenzen (over correctie). De bijtende stof lijkt in het eerste geval op het teken > (groter dan); in het tweede < (kleiner dan). Als de hoek u1 zeer klein is, is O’1 het Gaussiaanse Beeld; en O ‘1 o’ 2 wordt de longitudinale aberratie genoemd, en O ‘ 1R de laterale aberratie van de potloden met diafragma u2. Als het potlood met de hoek u2 die is van de maximale afwijking van alle verzonden potloden, dan is er in een vlak loodrecht op de as bij o’1 een cirkelvormige schijf van verwarring van straal O’1R, en in een parallel vlak bij o’ 2 een andere van straal O ‘ 2R; tussen deze twee bevindt zich de schijf van de minste verwarring.
de grootste opening van de potloden die deelnemen aan de reproductie van O, d.w.z. de hoek u, wordt in het algemeen bepaald door de rand van een van de lenzen of door een gat in een dunne plaat die tussen, voor of achter de lenzen van het systeem is geplaatst. Dit gat wordt genoemd stop of diafragma; Abbe gebruikte de term diafragmastop voor zowel het gat als de beperkende marge van de lens. De component S1 van het systeem, gelegen tussen de diafragmastop en het object O, projecteert een beeld van het diafragma, door Abbe de ingangspupil genoemd; de uittreepupil is het beeld gevormd door het component S2, dat achter de diafragmastop geplaatst is. Alle stralen die uit O komen en door de diafragmastop gaan, gaan ook door de in-en uitgangen van de pupillen, omdat dit beelden zijn van de diafragmastop. Aangezien de maximale opening van de potloden die uit O komen de hoek u is die door de ingangspupil op dit punt wordt ondertrokken, wordt de omvang van de afwijking bepaald door de positie en de diameter van de ingangspupil. Als het systeem zich volledig achter de diafragmastop bevindt, dan is dit zelf de ingangspupil (voorste stop); als het systeem zich volledig Voor bevindt, is het de uitgangspupil (achterste stop).
als het objectpunt oneindig ver is, zijn alle stralen die door het eerste lid van het systeem worden ontvangen evenwijdig, en hun snijpunten, na het doorkruisen van het systeem, variëren afhankelijk van hun loodrechte insteekhoogte, dat wil zeggen hun Afstand tot de as. Deze afstand vervangt de hoek u in de voorgaande overwegingen; en de opening, dat wil zeggen de straal van de ingangspupil, is de maximale waarde.
aberratie van elementen, d.w.z. kleinste voorwerpen loodrecht op de axisEdit
indien stralen uit O (fig. 1) zijn gelijktijdig, het volgt niet dat punten in een deel van een vlak loodrecht op O op de as ook gelijktijdig zullen zijn, zelfs als het deel van het vlak zeer klein is. Naarmate de diameter van de lens toeneemt (dus bij toenemende diafragma), zal het naburige punt N worden gereproduceerd, maar gevolgd door aberraties die in grootte vergelijkbaar zijn met ON. Deze afwijkingen worden vermeden indien, volgens Abbe, de sinusconditie, sin u ‘1/sin u1=sin u’ 2/sin u2, geldt voor alle stralen die het punt O reproduceren. Als het objectpunt O oneindig ver weg is, moeten u1 en u2 worden vervangen door h1 en h2, de loodrechte hoogten van de inval; de sinusconditie wordt dan sin u’1/h1=sin u’2/h2. Een systeem dat aan deze voorwaarde voldoet en vrij is van sferische aberratie wordt aplanatisch genoemd (Grieks a-, privatief, plann, een zwervende). Dit woord werd voor het eerst gebruikt door Robert Blair om een superieur achromatisme te karakteriseren, en vervolgens door vele schrijvers om ook Vrijheid van sferische aberratie aan te duiden.
aangezien de aberratie toeneemt met de afstand van de straal tot het midden van de lens, neemt de aberratie toe met de diameter van de lens (of, dienovereenkomstig, met de diameter van het diafragma), en kan dus worden geminimaliseerd door het diafragma te verkleinen, ten koste van de hoeveelheid licht die het beeldvlak bereikt.
aberratie van laterale objectpunten (punten voorbij de as) met smalle potloden — astigmatismEdit
een punt O (fig. 2) op een eindige afstand van de as (of met een oneindig ver object, een punt dat een eindige hoek ten opzichte van het systeem subtitelt) wordt in het algemeen zelfs dan niet scherp gereproduceerd als het potlood van stralen die uit het systeem komen en het systeem doorkruisen oneindig smal wordt gemaakt door het diafragma te verminderen; zo ‘ n potlood bestaat uit de stralen die vanuit het objectpunt door de nu oneindig kleine ingangspupil heen kunnen. Men ziet (het negeren van uitzonderlijke gevallen) dat het potlood niet voldoet aan het brekende of reflecterende oppervlak loodrecht; daarom is het astigmatisch (Gr. a -, privatief, stigmia, een punt). Het noemen van de centrale straal die door de ingangspilpil de as van het potlood of de hoofdstraal passeert, kan worden gezegd: de stralen van het potlood snijden, niet in één punt, maar in twee brandpuntslijnen, die kunnen worden verondersteld loodrecht op de hoofdstraal te zijn; van deze ligt een in het vlak dat de hoofdstraal en de as van het systeem bevat, d.w.z. in de eerste hoofdsectie of meridionale sectie, en de andere loodrecht daarop, dat wil zeggen in de tweede hoofdsectie of sagittale sectie. We ontvangen daarom in geen enkel onderscheppend vlak achter het systeem, zoals bijvoorbeeld een scherpstelscherm, een beeld van het objectpunt; aan de andere kant worden in elk van twee vlakken lijnen O’ en O” afzonderlijk gevormd (in naburige vlakken worden ellipsen gevormd), en in een vlak tussen O’ en O” een cirkel van de minste verwarring. Het interval O ‘O”, het astigmatische verschil genoemd, neemt in het algemeen toe met de hoek W die door de hoofdstraal op wordt gemaakt met de as van het systeem, d.w.z. met het gezichtsveld. Twee astigmatische beeldvlakken komen overeen met één objectvlak; en deze staan in contact op het aspunt; op de ene liggen de brandpuntslijnen van de eerste soort, op de andere die van de tweede. Systemen waarbij de twee astigmatische oppervlakken samenvallen worden anastigmatisch of stigmatisch genoemd.Sir Isaac Newton was waarschijnlijk de ontdekker van astigmatie .; de positie van de astigmatische beeldlijnen werd bepaald door Thomas Young en de theorie werd ontwikkeld door Allvar Gullstrand. Een bibliografie van P. Culmann staat in Moritz von Rohr ‘ s Die Bilderzeugung in optischen Instrumenten.
aberratie van laterale objectpunten met brede potloden — comaEdit
door de stop breder te openen, ontstaan soortgelijke afwijkingen voor laterale punten als reeds besproken voor axiale punten; maar in dit geval zijn ze veel ingewikkelder. De loop van de stralen in het meridionale gedeelte is niet langer symmetrisch met de hoofdstraal van het potlood; en op een onderscheppend vlak verschijnt er, in plaats van een lichtpunt, een stuk licht, niet symmetrisch over een punt, en vaak vertonen een gelijkenis met een komeet waarvan de staart gericht naar of weg van de as. Aan deze verschijning ontleent het zijn naam. De onsymmetrische vorm van het meridionale potlood—voorheen de enige die wordt overwogen—is alleen coma in de engere zin; andere fouten van coma zijn behandeld door Arthur König en Moritz von Rohr, en later door Allvar Gullstrand.
kromming van het veld van het beelddit
als de bovenstaande fouten worden geëlimineerd, zijn de twee astigmatische oppervlakken verenigd, en een scherp beeld verkregen met een brede opening-er blijft de noodzaak om de kromming van het beeldoppervlak te corrigeren, vooral wanneer het beeld op een vlak oppervlak moet worden ontvangen, bijvoorbeeld bij Fotografie. In de meeste gevallen is het oppervlak hol naar het systeem toe.
vervorming van de afbeeldingdit
zelfs als het beeld scherp is, kan het worden vervormd in vergelijking met ideale pinhole projectie. Bij pinhole projectie is de vergroting van een object omgekeerd evenredig met de afstand tot de camera langs de optische as, zodat een camera die direct op een vlak oppervlak wijst dat vlakke oppervlak reproduceert. Vervorming kan worden gezien als het uitrekken van het beeld niet-uniform, of, gelijkwaardig, als een variatie in Vergroting over het veld. Terwijl ” vervorming “willekeurige vervorming van een beeld kan omvatten, is de meest uitgesproken vervormingsmodi die worden geproduceerd door conventionele beeldoptiek” vatvervorming”, waarbij het midden van het beeld meer wordt vergroot dan de omtrek (figuur 3a). Het omgekeerde, waarbij de omtrek meer wordt vergroot dan het centrum, staat bekend als “speldenkussen vervorming” (figuur 3b). Dit effect heet lensvervorming of beeldvervorming, en er zijn algoritmen om het te corrigeren.
vervormingsvrije systemen worden orthoscopisch (orthos, rechts, skopein om te kijken) of rechtlijnig (rechte lijnen) genoemd.
deze aberratie is heel verschillend van die van de scherpte van de reproductie; in onscherpe reproductie rijst de vraag van vervorming als slechts delen van het object in de figuur kunnen worden herkend. Als in een onscherp beeld een stuk licht overeenkomt met een objectpunt, kan het zwaartepunt van de vlek worden beschouwd als het beeldpunt, dit is het punt waar het vlak dat het beeld ontvangt, bijvoorbeeld een scherpstelscherm, de straal snijdt die door het midden van de stop gaat. Deze veronderstelling is gerechtvaardigd als een slecht beeld op het scherpstelscherm stil blijft staan wanneer de diafragma wordt verminderd; in de praktijk gebeurt dit meestal. Deze straal, door Abbe een hoofdstraal genoemd (niet te verwarren met de hoofdstralen van de Gaussiaanse theorie), gaat door het centrum van de ingangspupil vóór de eerste breking, en het centrum van de uitgangspupil na de laatste breking. Hieruit volgt dat de juistheid van de tekening uitsluitend afhangt van de hoofdstralen en onafhankelijk is van de scherpte of kromming van het beeldveld. Verwijzend naar fig. 4, hebben we O ‘ Q ‘/ OQ = een ’tan w’ /een tan w = 1 / N, waarbij N de schaal of vergroting van het beeld is. Om n constant te houden voor alle waarden van w, moet een tan w/een tan w ook constant zijn. Als de verhouding a’/a voldoende constant is, zoals vaak het geval is, vermindert bovenstaande relatie tot de toestand van luchtig, d.w.z. tan w ‘ / tan w= een constante. Deze eenvoudige relatie (zie Camb. Phil. Transvetzuren., 1830, 3, blz. 1) wordt voldaan in alle systemen die symmetrisch zijn ten opzichte van hun diafragma (kort genoemd symmetrische of holosymmetrische doelstellingen), of die bestaan uit twee soortgelijke, maar van verschillende grootte, componenten, geplaatst van het diafragma in de verhouding van hun grootte, en presenteren dezelfde kromming aan het (hemisymmetrische doelstellingen); in deze systemen tan w’ / tan w = 1.
de bestendigheid van a’/a die nodig is voor deze relatie tot hold werd opgemerkt door R. H. Bow (Brit. Journ. Foto., 1861), en Thomas Sutton (Photographic Notes, 1862); het is behandeld door O. Lummer en door M. von Rohr (Zeit. f.Instrumentenk., 1897, 17, en 1898, 18, p. 4). Het vereist dat het midden van de diafragma-stop wordt gereproduceerd in het midden van de in-en uitgangen van de leerlingen zonder sferische aberratie. M. von Rohr toonde aan dat Voor systemen die noch aan de luchtige noch aan de Bow-Sutton conditie voldoen, de verhouding a’ cos w’/a tan w constant zal zijn voor één afstand van het object. Aan deze gecombineerde voorwaarde wordt precies voldaan door holosymmetrische doelstellingen reproduceren met de schaal 1, en door hemisymmetrische, als de schaal van reproductie gelijk is aan de verhouding van de grootte van de twee componenten.
Zernike model of aberrationsEdit
cirkelvormige golffront profielen geassocieerd met aberraties kunnen wiskundig worden gemodelleerd met behulp van Zernike polynomen. Ontwikkeld door Frits Zernike in de jaren 1930, zijn de veeltermen van Zernike orthogonaal over een cirkel van eenheidsradius. Een complex, geaberreerd golffrontprofiel kan curve-uitgerust zijn met Zernike-veeltermen om een reeks aanpassingscoëfficiënten op te leveren die afzonderlijk verschillende soorten aberraties vertegenwoordigen. Deze Zernike-coëfficiënten zijn lineair onafhankelijk, zodat individuele aberratie-bijdragen aan een globaal golffront afzonderlijk kunnen worden geïsoleerd en gekwantificeerd.
er zijn even en oneven Zernike polynomen. De even Zernike-veeltermen zijn gedefinieerd als
Z n m ( ρ, ϕ) =R n m ( ρ) cos ( m ϕ) {\displaystyle Z_{n}^{m}(\rho ,\phi) = R_{n}^{m}(\rho)\, \cos(m\,\phi)\!}
en de oneven Zernike-veeltermen als
Z n-m (ρ , ϕ) = R n m (ρ ) sin (m ϕ), {\displaystyle Z_{n}^{-m}(\rho, \phi) =R_{n}^{m}(\rho)\, \sin(m\,\phi),\!}
waarbij m en n nnegatieve gehele getallen zijn met n ≥ m {\displaystyle n \ geq m}
, Φ is de azimutale hoek in radialen, en ρ is de genormaliseerde radiale afstand. De radiale veeltermen R n m {\displaystyle r_{n}^{m}}
hebben geen azimutale afhankelijkheid en zijn gedefinieerd als R n m (ρ) = ∑ k = 0 ( n − m) / 2 ( − 1) k ( n − k)! k ! ((n + m − / 2-k)! ((n-m) / 2-k)! ρ n-2 K als n-m even {\displaystyle R_{n}^{m} (\rho)=\!\ sum _{k = 0}^{(n-m)/2}\!\!\!{\frac {(-1)^{k}\, (n-k)!{k!\, ((n+m)/2-k)!\, ((n-m) / 2-k)!}}\; \ rho ^{n-2\, k} \ quad {\mbox{if }} n-m{\mbox{ is even}}}
en R n m (ρ ) = 0 {\displaystyle R_{n}^{m} (\rho )=0}
als n − m {\displaystyle n-m}
oneven is.
de eerste paar Zernike-veeltermen, vermenigvuldigd met hun respectieve aanpassingscoëfficiënten, zijn:
een 0 × 1 {\displaystyle a_{0}\times 1}
 |
“Zuiger”, die gelijk is aan de gemiddelde waarde van de wavefront |
een 1 × ρ cos ( ϕ ) {\displaystyle a_{1}\times \rho \cos(\phi )}
 |
“X-Tilt”, de afwijking van de totale breedte in het sagittale richting |
een 2 × ρ sin ( ϕ ) {\displaystyle a_{2}\times \rho \sin(\phi )}
 |
“Y-Tilt”, de afwijking van de totale breedte in de tangentiële richting |
een 3 × ( 2 ρ 2 − 1 ) {\displaystyle a_{3}\times (2\rho ^{2}-1)}
 |
“Defocus”, een parabolische wavefront als gevolg van de afwezigheid van focus |
een 4 × ρ 2 cos ( 2 ϕ ) {\displaystyle a_{4}\times \rho ^{2}\cos(2\phi )}
 |
“0° Astigmatisme”, een cilindrische vorm langs de X-of Y-as |
een 5 × ρ 2 sin ( 2 ϕ ) {\displaystyle a_{5}\times \rho ^{2}\sin(2\phi )}
 |
“45° Astigmatisme”, een cilindrische vorm een hoek van ±45° t.o.v. de X-as |
een 6 × ( 3 ú 2 − 2 ) ρ cos ( ϕ ) {\displaystyle a_{6}\times (3\rho ^{2}-2)\rho \cos(\phi )}
 |
“X-Coma”, comatic afbeelding affakkelen in de horizontale richting |
een 7 × ( 3 ú 2 − 2 ) ρ sin ( ϕ ) {\displaystyle a_{7}\times (3\rho ^{2}-2)\rho \sin(\phi )}
 |
“Y-Coma”, comatic afbeelding affakkelen in de verticale richting |
een 8 × ( 6 ρ 4 − 6 ρ 2 + 1 ) {\displaystyle a_{8}\times (6\rho ^{4}-6\rho ^{2}+1)}
 |
“Derde orde sferische aberratie” |
waar ú {\displaystyle \rho }
is de genormaliseerde leerling straal met 0 ≤ ρ ≤ 1 {\displaystyle 0\leq \rho \leq 1}
, ϕ {\displaystyle \phi }
is de azimuthal hoek rond de leerling met 0 ≤ ϕ ≤ 2 π {\displaystyle 0\leq \phi \leq 2\pi }
, en de montage coëfficiënten a 0 , … , 8 {\displaystyle a_{0},\ldots ,a_{8}}
zijn de wavefront fouten in golflengten.
zoals bij de Fouriersynthese met sines en cosines, kan een golffront perfect worden weergegeven door een voldoende groot aantal Zernike-veeltermen met een hogere orde. Echter, golfvlakken met zeer steile gradiënten of zeer hoge ruimtelijke frequentiestructuur, zoals geproduceerd door voortplanting door atmosferische turbulentie of aërodynamische stroomvelden, zijn niet goed gemodelleerd door Zernike veeltermen, die de neiging hebben om low-pass filter fijne ruimtelijke definitie in het golffront. In dit geval kunnen andere montagemethoden zoals fractals of enkelvoudige waardedecompositie betere montageresultaten opleveren.
de cirkelpolynomen werden door Frits Zernike geïntroduceerd om het puntbeeld van een geaberreerd optisch systeem te evalueren, rekening houdend met de effecten van diffractie. Het perfecte puntbeeld in aanwezigheid van diffractie werd al in 1835 door Airy beschreven. Het duurde bijna honderd jaar om te komen tot een uitgebreide theorie en modellering van het puntbeeld van geaberreerde systemen (Zernike en Nijboer). De analyse door Nijboer en Zernike beschrijft de intensiteitsverdeling dicht bij het optimale brandpuntsvlak. Een uitgebreide theorie die het mogelijk maakt de amplitude en intensiteit van het puntbeeld te berekenen over een veel groter volume in het focale gebied werd onlangs ontwikkeld (uitgebreide Nijboer-Zernike theorie). Deze uitgebreide Nijboer-Zernike theorie van puntbeeld of’ puntspreidingsfunctie ‘ formatie heeft toepassingen gevonden in algemeen onderzoek naar beeldvorming, in het bijzonder voor systemen met een hoge numerieke apertuur, en in het karakteriseren van optische systemen met betrekking tot hun aberraties.